初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形当堂检测题

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2022人教版八年级数学上册第13章第13.3.2节-带答案和解析

副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画出射线，则(    )

A.
B.
C.
D.

2. 如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为  (    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，，，于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，点，，在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点，，交于点，连接，，下面结论：
   ≌；；为等边三角形；平分，
   其中结论正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 如图，直线，等边三角形的顶点在直线上若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

7. 如图，等边三角形纸片的边长为，，是边上的三等分点．分别过点，沿着平行于，方向各剪一刀，则剪下的的周长是______．

8. 如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分若，则的长是____．

9. 如图，是等边三角形外一点．若，，连接，则的最大值与最小值的差为______．

10. 如图，是等边三角形的中线，，则          ．
     

11. 等腰中，，，以为边作等边，则点到的距离为______．
12. 在中，已知，、分别是边、上的点，且，，，则等于______．

13. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，与的两边相交于点，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点若，，则的长为__________．

三、解答题（本大题共2小题，共16.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 本小题分
    如图，等边三角形中，为上一点，为延长线上一点，交于点，且．
    求证：；
    若，试求的长．

15. 本小题分
    如图，在等边中，交于点，交于点，延长至点，于点，且．
    
    求证：
    求证：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查等边三角形的性质与判定，作一条线段等于已知线段，由作图可知：，即可得到答案．
【解答】
解：由作图可知：，
所以是等边三角形。
所以．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】 

此题考查了含度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．过作，交于点，在直角三角形中，利用含直角三角形的性质得出的长，再由，利用三线合一得到为中点，根据求出的长，由即可求出的长．

【解答】

解：过作，交于点，

在中，，，
，
，

，，，
，

．

故选C 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三个角都为，和三角形的外角的性质．等边三角形的三个角都为，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
【解答】
解：是等边三角形，
，
．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形两腰相等、两底角相等的性质以及三角形外角的性质，同时考查了含角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．根据等腰三角形等边对等角，可求出，再根据三角形外角的性质得出，最后根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求出．
【解答】
解：，
，
又是的一个外角，

在中，，，
，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．，由等边三角形的性质得出，，，得出，由即可证出≌；由≌，得出，根据三角形外角的性质得出；由证明≌，得出对应边相等，即可得出为等边三角形；  证明、、、四点共圆，由圆周角定理得出，即平分．

【解答】
解：、为等边三角形，
，，，
，，
在和中，
≌，故正确；
≌，
，
，
，正确；
在和中，，
≌，
，
为等边三角形，故正确；

，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
即平分，故正确；
综上所述：正确的结论有个．
故选D．

6.【答案】 

【解析】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质有关知识，先过点作，然后再进行解答即可．
【解答】
解：过点作，交于，

，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
故选C．
 

7.【答案】 

【解析】解：等边三角形纸片的边长为，，是边上的三等分点，
，
，，
是等边三角形，
剪下的的周长是．
故答案为：．
根据三等分点的定义可求的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，关键是证明是等边三角形．
 

8.【答案】 

【解析】解：平分，且，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求解即可．
本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，熟记性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，以为边向外作等边，连接，

和是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
≌，
，
，，
在中，，
即，
，
．
则的最大值与最小值的差为．
故答案为：．
以为边向外作等边，连接，可证得≌从而得到，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把转化为从而求解，是一道较好的中考题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
由是等边的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得，，又由，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数，继而求得答案．
【解答】

解：是等边的中线，
，，
，
，
，
．

11.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分两种情况讨论，利用等边三角形的性质和勾股定理可求解．
【解答】
解：当点在的左侧时，设与交于点，

是等边三角形，
，，
又，
，
，
，
，，
；
当点在的右侧时，过点作，交的延长线于点，连接，

是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：点到的距离为或．  

12.【答案】 

【解析】解：延长到使，连接，如图，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，解得，
，
，
，
，
，即，
，，
，
而，
为等边三角形，
，，
在和中
，
≌，
，
，
．
延长到使，连接，如图，先判断为等边三角形得到，，再利用得到，，接着证明，从而可判断为等边三角形，则有，，然后证明≌得到，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数．
分析：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．解决本题的关键是延长到使，构建与全等．
 

13.【答案】 

【解析】略
 

14.【答案】解：如图，作，交于，则，

是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
在和中，

≌，
，
；
，，
，
，，
又≌，
，
，
又，
． 

【解析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．
先作，交于，可得为等边三角形，再判定≌，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；
根据，，可得，由此得出，最后根据即可求得的长．
 

15.【答案】证明：
是等边三角形，
，
是等边三角形，

 

连接
，


又．

．

【解析】本题考查了等边三角形和全等三角形的判定及性质，掌握特殊三角形的判定和基本性质是关键．
利用已知的等边三角形以及一组平行边，证出是等边三角形，利用两个等边三角形的边相等，即，，得出；
由，得出是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质做辅助线，得到；根据垂直平分线的性质和平行线的性质易得，结合证出，从而得到．