江苏省南京市南京师范大学附属中学树人学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案)

这是一份江苏省南京市南京师范大学附属中学树人学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

初三数学
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x－2y＝1 B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则a＋b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．有一直径为AB的圆，且圆上有C、D、E、F四点，其位置如图所示．若AC＝6，AD＝8，AE＝5，AF＝9，AB＝10，则下列弧长关系正确的是（ ）

A．， B．，
C．， D．，
5．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则BD的度数是（ ）

A．30° B．25° C．20° D．30°
6．如图的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接EF，DE，DF．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，BC于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线BP．下列说法不正确的是（ ）

A．射线BP一定过点O B．点O是三条中线的交点
C．若是等边三角形，则 D．点O是三条边的垂直平分线的交点
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．写出一个一元二次方程______，使它的两根分别是3，－2．
8．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是______．
9．若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是______．
10．已知的半径为2，直线l上有一点P满足OP＝2，则直线l与的位置关系是______．
11．点P是所在平面内一点，若点P到上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则的半径是______．
12．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是______．
13．在中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，以点C为圆心，r为半径作圆，如果与AB有唯一公共点，则半径r的值是______．
14．一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是28升，则每次倒出的液体是多少？设每次倒出的液体x升，可列方程为______．
15．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的最小值是______．
16．如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是______．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）用两种方法解方程：．
18.（8分）已知关于x的一元二次方程.
（1）判断该方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程的两个实数根之和等于两根之积，求k的值．
19．（8分）如图，AB是的直径，C，D，E是上的点，若AD＝DC，∠E＝70°，求∠ABC的度数．

20．（8分）“玫瑰香”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，在被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩．
（1）求该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率．
（2）某超市调查发现，当“玫瑰香”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克，已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元．若使销售“玫瑰香”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？
21．（6分）阅读下面的材料，回答问题：
（1）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．
已知，用“降次法”求出的值是______．
（2）是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，
于是原方程可变为，解得：，．
当y＝1时，，∴；当y＝4时，，∴；
∴原方程有四个根：，，，．
请你用（2）中的方法求出方程的实数解．
22．（6分）课本再现
（1）在中，∠AOB是AB所对的圆心角，∠C是AB所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．
图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明；
知识应用
（2）如图4，若的半径为2，PA，PB分别与相切于点A，B，∠C＝60°，则PA的长为______．

23．（8分）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．

（1）若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．
（2）若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．
24．（8分）如图，P是外的一点，PA、PB分别与相切于点A、B，C是AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．

（1）若PA＝4，求的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．
25．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．

（1）求证：AE是的切线；
（2）连接AC交于点P，若，BF＝1，求的半径．
26．（10分）【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于，且每条边均与相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．

【性质初探】
（1）双圆四边形的对角的数量关系是______，依据是____________．
（2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）
（3）在图①中，连接GE，HF，求证．
【揭示关系】
（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
（5）已知P，M分别是双圆四边形BCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝2，BC＝4，∠B＝90°，则PM的长为______．
27．（10分）【概念认识】
与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
【初步理解】
（1）如图①~③，四边形ABCD是矩形，和都与边AD相切，与边AB相切，和都经过点B，经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是______，是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是______．
【计算求解】
（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，请求出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．
【深入研究】
（3）如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作出矩形ABCD的第Ⅰ类圆或第Ⅱ类圆．
（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（第Ⅰ类圆，第Ⅱ类圆任选一个即可）


数学参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共12分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
A
C
B
C
B
二、填空题（每题2分，共20分）
题号
7
8
9
10
11
答案

－2
，
相交或相切
6.5cm或2.5cm
题号
12
13
14
15
16
答案

或



三、解答题（共11题，共88分）
17．（8分）
解：方法一：，，
，或，所以，．
方法二：原方程变形为：，，
，所以，．
18．（8分）
解：（1）∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两根为，，则有，，
∵方程的两个实数根之和等于两根之积，∴，解得：．
19．（8分）
解：连接DB．∵∠E＝70°，∴∠A＝70°，
∵AB是的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°－∠A＝90°－70°＝20°，
∵，∴∠DBC＝∠DBA＝20°，∴∠ABC＝∠DBC＋∠DBA＝20°＋20°＝40°．

20．（8分）
解：（1）设该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为x，
依题意，得，解得：，（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为25%．
（2）设售价应上涨y元，则每天可售出（400－20y）千克，
依题意，得（8－6＋y）（400－20y）＝2240，整理，得，
解得，．∵该水果售价不能超过15元，∴y＝6符合题意．
答：售价应上涨6元．
21．（6分）
解：（1）2022．
（2）设，那么，于是原方程可变为，
解得，．
当y＝－2时，，，∴方程无解；
当y＝4时，，∴；
∴原方程有两个根：，．
22．（6分）
解：（1）如图2，连接CO，并延长CO交于点D，
∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A＋∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B＋∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝2∠ACO＋2∠BCO＝2∠ACB，∴；

如图3，连接CO，并延长CO交于点D，
∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A＋∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B＋∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD－∠BOD＝2∠ACO－2∠BCO＝2∠ACB，∴；

（2）．
23．（8分）
解：（1）根据题意得：2x＋y－1＝10，即y＝11－2x，
代入xy＝12得：x（11－2x）＝12，整理得：，
即（2x－3）（x－4）＝0，解得：或x＝4，
当时，y＝11－3＝8>6，不符合题意；当x＝4时，y＝11－8＝3，符合题意，
则AB＝4，BC＝3；
（2）根据题意得：2x＋y－1＜10，即2x＋y＜11，
∵AB，BC为整数，即x，y为整数，且，xy＝12，
∴当y＝6时，x＝2；y＝4时，x＝3，
则满足条件的围建方案为：AB＝2，BC＝6或AB＝3，BC＝4．
24．（8分）
解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，∴DC＝DA．同理EC＝EB，
∵P是外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝PD＋DC＋PE＋BE＝PA＋PB＝2PA＝8．
（2）连接AB，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，
∵∠P＝40°，∴，
∵，BF为圆直径，∴∠ABF＝∠PBF＝90°－70°＝20°，
∴∠AFB＝90°－20°＝70°．

25．（8分）
（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，
在与中，，
∴，∴∠AFC＝∠AEC，·
∵AB是的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，
∵，∴∠BAE＋∠AEC＝180°，∴∠BAE＝90°，∴，
∵OA是的半径，∴AE是的切线；

（2）解：连接BP，∵AB是的直径，∴∠APB＝90°，
∵AB＝CB，，∴，
设的半径为R，∵，，
∴，∴（负值舍去），∴的半径为．

26．（10分）解：
（1）互补；圆内接四边形的对角互补；
（2）双圆四边形的对边的和相等；
（3）证法一：如图1，设HF和GE交点为N．连接HE，PE，PF，PG，PH，
∵四边形ABCD内接于，∴∠B＋∠D＝180°，
∵是四边形ABCD的内切圆，G，H为切点，
∴∠DHP＝∠DGP＝90°．∴∠D＋∠HPG＝180°．
同理∠B＋∠EPF＝180°．∴∠HPG＋∠EPF＝180°．
∵，，
∴，∴∠HNE＝90°，即；

证法二：如图2，设HF和GE交点为N．连接PH，延长HP交于点K，连接HG，GK，HE，EF，
∵四边形ABCD内接于，∴∠B＋∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，H，G为切点，
∴DH＝DG，∠DHP＝90°，即∠DHG＋∠GHP＝90°，
∴，
∵HK是直径，∴∠HGK＝90°，即∠GHP＋∠K＝90°，∴∠DHG＝∠K，
∵∠HEG＝∠K，∴∠DHG＝∠HEG，∴，
同理，∴，
∴∠HNE＝90°，即；

证法三：如图3，设HF和GE交点为N．延长AB，DC，相交于点K，
∵四边形ABCD内接于，∴∠B＋∠D＝180°，
∵是四边形ABCD的内切圆，H、G为切点，∴KG＝KE，∴∠KGE＝∠KEG，
∵∠KGE＋∠DGE＝180°，∴∠KEG＋∠DGE＝180°，同理∠DHF＋∠BFH＝180°，
在四边形DHNG和四边形BFNE中，∴∠HNG＋∠FNE＝2×360°－3×180°＝180°，
∵∠HNG＝∠FNE，∴∠HNG＝90°，即；

（4）阴影区域如下图：

（5）
27．（10分）
解：（1）①，②；
（2）如图1，设AD＝6，AB＝4，切点为E，过点O作交BC于F，交AD于E，
连接BO，设BO＝r，则OE＝r，OF＝4－r，由垂径定理可得，BF＝CF＝3，
在中，，解得；

如图2，设AD＝4，BC＝6，切点为E，过点O作交BC于F，交AD于E，连接BO，
设BO＝r，则OE＝r，OF＝6－r，由垂径定理可得，BF＝CF＝2，
在中，，解得；
综上所述：第Ⅰ类圆的半径是或；

如图3，AD＝6，AB＝4，过点O作交于点M，交BC于点N，连接OC，
设AB边与的切点为G，连接OG，∴，
设OM＝r，则OC＝r，则ON＝4－r，∵OG＝r，∴BN＝r，∴NC＝6－r，
在中，，解得，
∴第Ⅱ类圆的半径是；

（3）①如图4，
第一步，作线段AD的垂直平分线交AD于点E，第二步，连接EC，
第三步，作EC的垂直平分线交EF于点O，第四步，以O为圆心，EO为半径作圆，
∴⊙O即为所求第Ⅰ类圆；
②如图5，
第一步：作∠BAD的平分线；
第二步：在角平分线上任取点E，过点E作，垂足为点F；
第三步：以点E为圆心，EF为半径作圆E，交AC于点G，连接FG；
第四步：过点C作，CH交AD于点H；
第五步：过点H作AD的垂线，交∠BAD的平分线于点O；
第六步：以点O为圆心，OH为半径的圆，即为所求第Ⅱ类圆．