河南省郑州市金水区实验中学2022-2023学年九年级上学期第一次段考数学试卷(含答案)

这是一份河南省郑州市金水区实验中学2022-2023学年九年级上学期第一次段考数学试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省实验中学九年级（上）第一次段考数学试卷
一、选择题（每小题2分，共10个小题，共20分）
1．（2分）下列方程是一元二次方程　　
A． B．
C． D．
2．（2分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是　　
A．对边平行 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
3．（2分）把方程化成的形式，则，的值是　　
A．4，13 B．，19 C．，13 D．4，19
4．（2分）下列判断错误的是　　
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．四条边都相等的四边形是菱形
5．（2分）根据下列表格的对应值：

1
1.1
1.2
1.3



0.84
2.29
由此可判断方程必有一个根满足　　
A． B． C． D．
6．（2分）在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则的值约为　　
A．12 B．15 C．18 D．20
7．（2分）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
8．（2分）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元升，五月底是8.9元升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是　　
A． B．
C． D．
9．（2分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将沿直线翻折，使点落在点处，交轴于点，若，则点的坐标为　　

A． B． C． D．
10．（2分）如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为　　

A．6 B．6.4 C．7.2 D．8
二、填空题、（每小题5分，共5个小题，共15分）
11．（5分）如果，那么的值为 　　．
12．（5分）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 　　．
13．（5分）如图，，直线、与、、分别相交于点、、和点、、．若，，，则　　．

14．（5分）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的长度为 　　．

15．（5分）如图，在正方形中，是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，并延长交于点，延长交边于点，若，则的值 　　．

三、解答题（本答题共8个小题，满分75分）
16．（7分）先化简，再求值：，其中满足．
17．（16分）解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）．
18．（8分）如图，在中，、分别是边，的中点，是对角线，过点作，交的延长线于点，．求证：四边形是菱形．

19．（8分）进入移动支付时代后，购物方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．为了更好的满足顾客的支付需求，一商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）求出本次调查参与的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有 　　人会选择“刷脸或现金”这种支付方式；
（3）若甲、乙两人在购物时，选择“刷脸或现金”、“刷卡”、“支付宝”、“微信”（分别用、、、表示）付款的可能性相同．请通过列表或画树形图的方法，求两人在购物时，用同一种付款方式的概率．
20．（8分）已知：关于的一元二次方程．
（1）证明无论取何值时方程总有两个实数根．
（2）中，，、的长是这个方程的两个实数根，求为何值时，是等腰三角形？
21．（8分）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）①当　　时，四边形为菱形；
②当　　时，四边形为矩形；

22．（9分）超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 　　件，每天共盈利 　　元；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利最高可以达到元，请你利用学过的△判别式，或利用暑假预习函数配方法，求出的值？
23．（11分）如图，已知在正方形中，，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）试探究的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）当点从点运动到点时，则点运动的路径长为 　　．


2022-2023学年河南省实验中学九年级（上）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共10个小题，共20分）
1．（2分）下列方程是一元二次方程　　
A． B．
C． D．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
【解答】解：、是二元一次方程，故错误；
、方程去括号得：，
整理得：，为一元一次方程，故错误；
、是分式方程，故错误；
、，符合一元二次方程的形式，正确．
故选：．
2．（2分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是　　
A．对边平行 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【分析】菱形与矩形都是平行四边形，故平行四边形的性质二者都具有，因此，，都不能选，对角线中二者不同的是：菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角，而矩形的对角线则相等，故选答案．
【解答】解；菱形与矩形都是平行四边形，，，是平行四边形的性质，
二者都具有，故此三个选项都不正确，
由于菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角，而矩形的对角线则相等，
故选：．
3．（2分）把方程化成的形式，则，的值是　　
A．4，13 B．，19 C．，13 D．4，19
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：



，
故选：．
4．（2分）下列判断错误的是　　
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．四条边都相等的四边形是菱形
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断即可．
【解答】解：．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故正确，不符合题意；
．四个内角都相等的四边形是矩形，故正确，不符合题意；
．两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故错误，符合题意；
．四条边都相等的四边形是菱形，故正确，不符合题意；
故选：．
5．（2分）根据下列表格的对应值：

1
1.1
1.2
1.3



0.84
2.29
由此可判断方程必有一个根满足　　
A． B． C． D．
【分析】利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个根满足．
【解答】解：时，，
时，，
时，，
即方程必有一个解满足，
故选：．
6．（2分）在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则的值约为　　
A．12 B．15 C．18 D．20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：的值约为20；
故选：．
7．（2分）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得且△，
解得且．
故选：．
8．（2分）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元升，五月底是8.9元升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】利用该地92号汽油五月底的价格该地92号汽油三月底的价格该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得，
故选：．
9．（2分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将沿直线翻折，使点落在点处，交轴于点，若，则点的坐标为　　

A． B． C． D．
【分析】过点作轴，垂足为，则轴，由矩形的性质及角的直角三角形的性质可求解，，，结合折叠的性质可求解的长，进而求解，由勾股定理可求解，，即可求解，进而求解点坐标．
【解答】解：过点作轴，垂足为，则轴，

四边形为矩形，
，，，
，
，，
由折叠可知：，，
，
，，
，
轴，
，
，，
，
点坐标为，，
故选：．
10．（2分）如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为　　

A．6 B．6.4 C．7.2 D．8
【分析】当点到达点时，的面积为6，此时的高为，则，解得，而，即可求解．
【解答】解：从图象看，当点到达点时，的面积为6，此时的高为，
的面积，解得①，
而从图②看，②，
由①②并解得，，
故选：．
二、填空题、（每小题5分，共5个小题，共15分）
11．（5分）如果，那么的值为 　　．
【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
12．（5分）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分别记为、、、，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，
甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为，
故答案为：．
13．（5分）如图，，直线、与、、分别相交于点、、和点、、．若，，，则　4　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出，进而求出．
【解答】解：，
，
，，，
，
解得：，
，
故答案为：4．
14．（5分）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的长度为 　1　．

【分析】方法一：连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
方法二：设，交于，根据正方形的性质得到，，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，点，分别是，的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：方法一：连接并延长交于，连接，

四边形是正方形，
，，，
，分别是边，的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点，分别是，的中点，
；
方法二：设，交于，
四边形是正方形，
，，
点，分别是边，的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点，分别是，的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：1．

15．（5分）如图，在正方形中，是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，并延长交于点，延长交边于点，若，则的值 　　．

【分析】首先利用已知条件证明，然后连接．根据，求出即可解决问题；
【解答】解：是由折叠得到，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
；
如图，连接．
，
，
由折叠可知，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
设，
，
由折叠可知，
，
，
，
或0（舍弃），
，
．

三、解答题（本答题共8个小题，满分75分）
16．（7分）先化简，再求值：，其中满足．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则进行计算，求出，最后把代入化简的结果，即可求出答案．
【解答】解：原式


，
由得，
原式．
17．（16分）解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）．
【分析】（1）首先去括号，进而利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法直接解方程即可；
（3）利用平方差公式因式分解进而求出方程的根即可；
（4）直接利用公式法解方程得出即可．
【解答】解：（1）
整理得：
，
解得：，；

（2）
配方得：，
故此方程无实数根；

（3）

，
整理得：
解得：，；

（4）
，
故，
则，．
18．（8分）如图，在中，、分别是边，的中点，是对角线，过点作，交的延长线于点，．求证：四边形是菱形．

【分析】首先根据平行四边形的性质可得，．，再根据中点定义可得，进而可证明四边形是平行四边形，然后再证明四边形是矩形，可得，再根据直角三角形的性质可证明，进而可证出四边形是菱形．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，．，
、分别是边，的中点，
，．
，
四边形是平行四边形，
，，，
四边形是矩形，
，
在中
为的中点，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．

19．（8分）进入移动支付时代后，购物方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．为了更好的满足顾客的支付需求，一商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）求出本次调查参与的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有 　300　人会选择“刷脸或现金”这种支付方式；
（3）若甲、乙两人在购物时，选择“刷脸或现金”、“刷卡”、“支付宝”、“微信”（分别用、、、表示）付款的可能性相同．请通过列表或画树形图的方法，求两人在购物时，用同一种付款方式的概率．
【分析】（1）由选择“支付宝”支付的人数除以所占百分比求出本次调查参与的人数，即可解决问题；
（2）由某假期该商场进行购物支付的总人数乘以选择“刷脸或现金”这种支付方式的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有16种等可能的情况，其中甲、乙两人在购物时，用同一种付款方式的情况有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查参与的人数为：（人，
则用“银行卡”支付的人数为：（人，
将条形统计图补充完整如下：

（2）（人，
即若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有300人会选择“刷脸或现金”这种支付方式，
故答案为：300；
（3）画树状图如下：

共有16种等可能的情况，其中甲、乙两人在购物时，用同一种付款方式的情况有4种，
甲、乙两人在购物时，用同一种付款方式的概率为．
20．（8分）已知：关于的一元二次方程．
（1）证明无论取何值时方程总有两个实数根．
（2）中，，、的长是这个方程的两个实数根，求为何值时，是等腰三角形？
【分析】（1）表示出方程根的判别式，根据根的判别式的正负即可确定出方程根的情况；
（2）由（1）得到，分与两种情况求出的值即可．
【解答】（1）证明：△，
无论取何值时方程总有两个实数根．
（2）解：方程的解为：
，即，，
、是方程的两个实数根，
，
，
当，或时，是等腰三角形，
或4，
故当为3或4时，是等腰三角形．
21．（8分）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）①当　10　时，四边形为菱形；
②当　　时，四边形为矩形；

【分析】（1）由题意得，，，再由含角的直角三角形的性质得，得到，然后证，即可得出结论；
（2）①由，得四边形为菱形，得，进而求得的值；
②时，四边形为矩形，得到，再证，得，即可得出结论．
【解答】（1）证明：由题意可知，，
，，
，
．
，，
．
又，，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：①，，
．
，，
四边形为平行四边形，
要使平行四边形为菱形，则需，
即，
解得，
当时，四边形为菱形，
故答案为：10．
②要使四边形为矩形，则，
，
．
，，
，
，
即，
解得．
即当时，四边形为矩形，
故答案为：．
22．（9分）超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 　40　件，每天共盈利 　　元；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利最高可以达到元，请你利用学过的△判别式，或利用暑假预习函数配方法，求出的值？
【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价5元，可多售出件，盈利的钱数原来的盈利降低的钱数；
（2）根据日盈利每件商品盈利的钱数（原来每天销售的商品件数降价的钱数），列出方程求解即可；
（3）根据题意列出方程，利用根的判别式进行判断即可．
【解答】解：（1）降价5元，销售量达到件，
当天盈利：（元；
故答案为：40，1800；
（2）根据题意，得：，
解得：或，
该商场为了尽快减少库存，
降的越多，越吸引顾客，
选，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；
（3）根据题意可得，
整理得到：．
则△，
解得．
故超市每天盈利最高可以达到2112.5元．
23．（11分）如图，已知在正方形中，，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）试探究的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）当点从点运动到点时，则点运动的路径长为 　4　．

【分析】（1）作于点，于点，先由四边形是正方形证明，则，再证明，得，即可证明矩形是正方形；
（2）由，，，证明，得，则为定值，再根据勾股定理求出的长即可；
（3）由（2）可知，由全等三角形的性质得，再由正方形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：作于点，于点，则，
当点在边上时，如图1，当点在边的延长线上时，如图2，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
四边形是矩形，
，
，
，
，
矩形是正方形．
（2）解：的值是定值，
理由：，
，
，，
，
，
，
的值是定值，
，，
，
，
这个定值是4．
（3）解：由（2）可知，
，
的大小始终不变，
点的运动轨迹是线段，
，
，
，
，，
，
点从点运动到点时，，
，
故答案为：4．