高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用精品巩固练习

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第二册

5.3.4《利用导数研究函数的综合问题》同步练习

一、     单选题：

1.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　      )

A．f(b)>f(c)>f(d)             B．f(b)>f(a)>f(e)

C．f(c)>f(b)>f(a)             D．f(c)>f(e)>f(d)

2.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）

A．有极大值 B．有极小值

C．有极大值 D．有极小值

3.函数有（    ）

A．极大值，极小值 B．极大值，极小值

C．极大值，无极小值 D．极小值，无极大值

4.函数在处有极值为7，则

A．-3或3 B．3或-9 C．3             D．-3

5.已知函数的图象与轴相切于点，则的（    ）．

A．极大值为，极小值为0           B．极大值为0，极小值为负的

C．极小值为，最大值为0         D．极小值为0，极大值为

6.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题:

7.定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式<1的解集为________.

8.设函数，若关于的方程在上恰好有两个相异的实数根，则实数的取值范围为___________.

9.校社团组织图书义卖活动，将部分义卖所得款进行捐赠，对义卖所得款为 (百元)，

的班级，做统一方案，方案要求同时具备以下两个条件：①捐赠款 (百元)随班级义卖所得款 (百元)的增加而增加：②捐赠款不低于义卖所得款的75%，经测算，学校决定采用函数模型为参数作为捐赠方案，则同时满足①②的参数的取值范围是___________.

三、拓展题：

10.时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.

（1）求的值；

（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）

11.已知函数，当时，试讨论函数的零点个数.

四、创新题：

12.已知函数.

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）若曲线与直线有三个不同的交点，求实数的取值范围.

五、探究题：

13.设函数f（x）＝mex﹣x2+3，其中m∈R.

（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；

③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；

（2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求的取值范围.

同步练习答案

一、 选择题：

1.答案：C

解析：导函数的图象可得：在上为正数，

在上为增函数，所以f(c)>f(b)>f(a)．故选C.

2.答案:A

解析:函数的图象如图所示，

∴时，；时，；时，.

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减.          ∴有极大值.       故选：A.

3.答案:C

解析：  

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减

当时，函数取极大值，极大值为；无极小值 .  故选.

4.答案:C

解析：，    ∴，

解得或

时，，

当时，，当时，，是极小值点

时，，

不是极值点．      ∴．       故选C．

5.答案:A

解析：由，得，

因为的图象与轴相切且切点为，

所以，即，，   解得，

所以，则，  令，得或，

当或时，，当时，，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

所以当时，取得极大值，

当时，取得极小值，   故选A.

6.答案：A

解析：由题意得有两个零点    

令 ,       则且

所以，在上为增函数，  

可得，

当，在上单调递减，   

可得，

即要有两个零点有两个零点，实数的取值范围是.  故选：A

二、填空题：

7.答案:{x|x>0}

解析：令g(x)＝        则g′(x)＝＝.

由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减.

又g(0)＝＝1，所以<1，即g(x)<g(0)，

所以x>0，所以不等式的解集为{x|x>0}.

8.答案：.

解析：由题意，方程在上恰好有两个相异的实数根，

设，则的图象与在上恰好有两个不同的交点.

∵      ∴函数在上单调递减，在上单调递增.

又，得.

∴需使，即.

故所求实数的取值范围是.    

9.答案:.

解析：因为

要满足条件①则有在上单调递增，

所以在上恒成立，  所以在上恒成立

因为在上单调递减，所以，

即

要满足条件②则有在上恒成立，

所以在上恒成立，  因为在上单调递增，  

所以         所以

综上：同时满足①②的参数的取值范围是.

三、拓展题：

10.答案:（1）10.

（2）当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.

解析：（1）因为时，，

代入关系式，得， 解得.

（2）由（1）可知，套题每日的销售量，

所以每日销售套题所获得的利润

，从而.

令，得,     且在上,，函数单调递增；

在上，，函数单调递减，

所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，

所以当时，函数取得最大值.

故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.

11.答案：只有一个零点

解析：由求导得：，

当时，，则在上单调递增，且

，       因此，在内有唯一的零点，

当时，显然在上单调递减，

又，，即存在唯一的，

使得，

当时，，在上单调递增，

当时，， 在上单调递减，

而，，即，，

于是得在上无零点，       

综上，当时，函数有且只有一个零点，且在内，

所以函数在内只有一个零点.

四、创新题：

12.答案：（1）；        （2）.

解析：（1）∵，      ∴      

又，          ∴，

∴函数的图象在点处的切线方程为，  

 即.

（2）由题意，可得， 即有三个不同的实数根.

设，则.    

 令，得或，

∴在，上单调递增，     令，得，

∴在上单调递减.    又，，  

 ∴的图象如图所示：

由图象知：当，即时，  

曲线与直线有三个不同的交点. 故实数的取值范围为.

五、探究题：

13.答案：（1）答案见解析；（2），

解析：（1）若满足条件①是偶函数，则 ，且函数的定义域为，        对恒成立，，

此时函数，在单调递减，

满足条件③在单调递减；

若不满足①，则，，

所以f（x）在（0，1）不可能单调递减，即不满足③，

同时满足条件：①是偶函数；③在单调递减，

此时，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

时，函数取到极大值，极大值为（1），

时，函数取到极小值，极小值为；

（2）令，则有，

函数在区间，上有三个零点，

等价于直线与曲线在区间，上有三个交点，

，，，

令，则或，    令，则，

令，则或，

函数在区间，上单调递增,在上单调递减.在，上单调递增.

又，，（3），（4），

画出函数在，上的大致图象，如图所示：

由图可知，当时，

直线与曲线在区间，上有三个交点，

即函数在区间，上有三个零点      的取值范围为：，．