高中北师大版数学 新教材 必修第一册 第三章 指数运算和指数函数 测试卷

第三章综合测试

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，则为（    ）

A.   B.    C.    D.

2.在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（    ）

A.     B.

C.     D.

3.已知关于的不等式，则该不等式的解集为（    ）

A.   B.   C.   D.

4.下列函数中，值域为的是（    ）

A.   B.   C.  D.

5.已知函数若，则（    ）

A.    B.    C.1     D.2

6.已知，则下列不等式正确的是（    ）

A.   B.   C.   D.

7.已知函数，若是偶函数，记，若是奇函数，记，则的值为（    ）

A.0     B.1     C.2     D.

8.在下图中，二次函数与指数函数的图象只可能是（    ）

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

9.若函数（，且）的图象不经过第二象限，则有（    ）

A.    B.   C.    D.

10.已知函数，则（    ）

A.是奇函数   B.是偶函数   C.在上是增函数 D.在上是减函数

11.设指数函数（，且），则下列等式中正确的是（    ）

A.     B.

C.    D.

12.已知，则可能满足的关系是（    ）

A.        B.

C.     D.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）

13.已知函数是指数函数，且，则________.

14.函数的单调递减区间是________，值域为________.

15.已知函数（为常数）.若在区间上是增函数，则的取值范围是________.

16.设函数，则满足的的取值范围是________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）计算下列各式的值：

（1）；

（2）若，则.

18.（本小题满分12分）

函数的图象如图所示，该图象由指数函数与幂函数“拼接”而成.

（1）求的解析式；

（2）比较与的大小；

（3）若，求的取值范围.

19.（本小题满分12分）设是上的偶函数.

（1）求的值；

（2）证明在上是增函数.

20.（本小题满分12分）某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为，试解答下面的问题：

（1）写出年后该城市的人口总数（万人）与年数（年）的函数关系式；

（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万）；

（3）计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万（精确到1年）.

21.（本小题满分12分）已知函数（其中为常数，且）的图象经过点.

（1）试确定；

（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.

22.（本小题满分12分）已知是定义在上的奇函数，当时，.

（1）求在上的解析式；

（2）求的值域.

第三章综合测试

答案解析

1.【答案】B

【解析】.又，

.

2.【答案】C

【解析】，故选C.

3.【答案】B

【解析】依题意可知，原不等式可转化为，由于指数函数为增函数，故，故选B.

4.【答案】B

【解析】选项A中函数的值域为，选项C中函数的值域为，选项D中函数的值域为，故选B.

5.【答案】A

【解析】根据题意可得，解得，故选A.

6.【答案】D

【解析】因为在上单调递减，且，所以.又因为在上单调递增，且，所以.所以.故选D.

7.【答案】B

【解析】当是偶函数时，，即，即①.因为①式对任意实数都成立，所以，即.

当是奇函数时，，即，即②.

因为②式对任意实数都成立，所以，即，所以.

8.【答案】C

【解析】由二次函数常数项为0可知函数图象过原点，排除A，D；B，C中指数函数单调递减，因此，因此二次函数图象的对称轴.故选C.

9.【答案】AD

【解析】由题意当）不过第二象限时，其为增函数，且，即且，故选AD.

10.【答案】AC

【解析】，所以是奇函数，A正确；又为增函数，为减函数，所以为增函数，C正确，故选A、C.

11.【答案】ABC

【解析】因为，所以A正确；，所以B正确；，所以C正确；，所以D错误，故选ABC.

12.【答案】ABC

【解析】由，得，即，又为不相等的正数，，即，故A，B正确；等价于，又，则，故C正确；因为，故D错误.故选A、B、C.

13.【答案】

【解析】设（，且），由得.

14.【答案】   

【解析】令，其单调递增区间为，根据函数是定义域上的减函数知，函数的单调递减区间就是.由，得，所以的值域为.

15.【答案】

【解析】令，则在区间上单调递增，而在上为增函数，所以要使函数在上单调递增，则有，所以的取值范围是.

16.【答案】

【解析】因与在上没有公共点，故由可得，故有或，解得的取值范围是.

17.【答案】（1）原式.

（2）设，则.

.

.

18.【答案】（1）依题意得，解得，

所以.

（2）因为，

指数函数单调递减，

所以，即.

（3）由，得，

解得，所以的取值范围是.

19.【答案】（1）因为是上的偶函数，

所以，即，

故，又不可能恒为0，

所以当时，恒成立，故.

（2）证明：在上任取，

因为

，

又，所以，所以，故，即，所以在上是增函数.

20.【答案】（1）1年后该城市人口总数为；

2年后该城市人口总数为；

3年后该城市人口总数为；……；

年后该城市人口总数为.

（2）10年后该城市人口总数为.

（3）令，则有，

解方程可得.

故大约16年后该城市人口总数将达到120万.

21.【答案】（1）因为的图象过点，

所以

得，又且，所以，

所以.

（2）由（1）知在时恒成立可化为在时恒成立.

令，

则在上单调递减，

所以，

即实数的取值范围是.

22.【答案】（1）当时，.

函数为奇函数，

.

又.

故当时，的解析式为.

（2）因为在上单调递减，从而由奇函数的对称性知在上单调递减.

当时，，

即；

当时，，

即.

而，故函数在上的值域为.