高中北师大版数学 新教材 必修第一册 第四章 对数运算和对数函数 测试卷

第四章综合测试

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.函数的定义域是（    ）

A.    B.  C.    D.

2.计算的结果为（    ）

A.3     B.4     C.5     D.6

3.设，则是的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

4.已知函数若，则的值是（    ）

A.2     B.1     C.1或2    D.1或

5.若，则的值是（    ）

A.15    B.75    C.45    D.225

6.函数，若实数满足，则 （    ）

A.1     B.    C.    D.9

7.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（    ）

8.阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10 000以内的素数个数为（，计算结果取整数）（    ）

A.1 089    B.1 086    C.434    D.145

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

9.已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.   B.  C.   D.

10.已知函数，且，则下列结论可能成立的是（    ）

A.  B.  C.   D.

11.当时，使不等式成立的正数的值可以为（    ）

A.    B.    C.2     D.4

12.已知函数，则（    ）

A.在单调递增

B.在单调递减

C.的图象关于直线对称

D.的图象关于点对称

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）

13.已知函数的图象恒过定点，且幂函数的图象经过点，则的值为________.

14.若，则________.

15.已知函数，若的定义域为R，则实数的取值范围是________；若的值域为R，则实数的取值范围是________.

16.给出下列四个结论：

①函数的最大值为；

②已知函数在上是减函数，则的取值范围是；

③在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于轴对称；

④在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称.

其中正确结论的序号是________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）设为奇函数，且当时，.

（1）求当时，的解析式；

（2）解不等式.

18.（本小题满分12分）已知.

（1）设，求的最大值与最小值；

（2）求的值域.

19.（本小题满分12分）函数且.

（1）求该函数的定义域；

（2）若该函数的图象经过点，讨论的单调性并证明.

20.（本小题满分12分）已知函数.

（1）求的解析式，并判断的奇偶性；

（2）解关于的方程.

21.（本小题满分12分）已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

22.（本小题满分12分）已知函数在上有最大值1和最小值0，设.

（1）求的值；

（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.

第四章综合测试

答案解析

一、

1.【答案】B

【解析】若使函数有意义，则，解得且.选B.

答案：B

2.【答案】D

【解析】利用换底公式，则原式.

答案：D

3.【答案】A

【解析】，即，即是的充分不必要条件，故选A.

答案：A

4.【答案】A

【解析】若，则或，解得，故选A.

答案：A

5.【答案】C

【解析】，选C.

答案：C

6.【答案】C

【解析】由题意，，所以为奇函数，故由得，则，故选C.

答案：C

7.【答案】C

【解析】为上的单调递增函数，且，排除B；为上的单调递减函数，且，排除A，D.故选C.

答案：C

8.【答案】B

【解析】由题意知10 000以内的素数个数

，故选B.

答案：B

二、

9.【答案】ACD

【解析】由得，即，所以，故A正确；的符号不能确定，故B错误；.故C、D正确.

答案：ACD

10.【答案】ABC

【解析】由题意得或.当时，显然；当时，有，.综上可知，，故选A、B、C.

答案：ABC

11.【答案】BC

【解析】由题可得，则，在同一坐标系中作出函数与的大致图象如下：

因为，所以第一象限内最上面的曲线表示函数的图象，作出直线，它与两函数图象的交点分别为，由得，即点的横坐标为，由得，即点的横坐标为3，则，故选BC.

答案：BC

12.【答案】ABC

【解析】由题知.令，则函数在时单调递增，在时单调递减.又单调递增，由复合函数单调性判定方法——同增异减，可知在上单调递增，在上单调递减，因此A，B正确.又因为，所以C正确，D不正确，因此选ABC.

答案：ABC

三、

13.【答案】

【解析】令，则恒成立，故函数恒过点，即，则，解得，故.

14.【答案】

【解析】由，得.

15.【答案】   

【解析】要使的定义域为R，则对任意的实数都有恒成立，故有，解得或，即的取值范围为.要使的值域为R，则，且能取得所有正实数，故有，

解得，即的取值范围是.

16.【答案】④

【解析】函数的最大值为1，

的最小值为，①错误；

函数在上是减函数，

，解得的取值范围是，②错误；在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于轴对称，③错误；在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称，④正确.综上，正确结论的序号是④.

四、

17.【答案】（1）当时，，则，又因为为奇函数，所以.

（2）由题意及（1）知，原不等式等价于或，解得或.解集是.

18.【答案】（1）因为函数在上是单调递减函数，所以.

（2）令，则，由（1）得，因此当，即时，；当，即时，.

因此，函数的值域为.

19.【答案】（1）要使函数式有意义，需，即.

当时，可得，所以时，；

当时，可得，所以时，.

（2）因为函数的图象经过点，所以，所以，即，又，所以，所以.显然在上是增函数.证明如下：

任取，则，所以，又在上单调递增，所以，即，所以在上是增函数.

20.【答案】（1）令，则.

所以.

由，解得.

所以，即.

所以.

所以，

所以为奇函数.

（2）由（1），知，

即，解得.

21.【答案】（1）因为，所以，解得，

由，解得，

即函数的定义域为，

令，

则在上单调递增，在上单调递减，

又在上单调递增，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）若满足条件，则有最小值1，

当时显然不成立，即为二次函数，对称轴为，

所以，

解得，故存在实数使的最小值为1，的最小值为0.

22.【答案】（1），

当在上是增函数，

由题意可得，即，

解得，当时，，无最大值和最小值，不符合题意；

当时，在上是减函数，由题意可得

，即，解得，

，故应舍去.

综上可得的值分别为1，0.

（2）由（1）知，

在上有解等价于在上有解，

即在上有解，

令，

则，

记，

.