高中北师大版数学 新教材 必修第一册 第五章 函数应用 测试卷

第五章综合测试

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.下列函数中没有零点的是（    ）

A. B.  C.   D.

2.方程的实根所在的区间为（    ）

A.    B.    C.    D.

3.函数的零点个数为（    ）

A.0     B.1     C.2     D.3

4.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（    ）

A.118元    B.105元    C.106元    D.108元

5.用二分法求方程在区间内的唯一实数解时，经计算得，则下列结论正确的是（    ）

A.   B.   C.  D.

6.关于的方程在）内有实根，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.   D.或

7.函数只有两个零点，则（    ）

A.    B.    C.   D.或

8.设函数若，则关于的方程的解的个数为（    ）

A.1     B.2     C.3     D.4

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

9.若函数唯一的一个零点同时在区间，，，内，那么下列说法中正确的是（    ）

A.函数在区间内有零点

B.函数在区间或内有零点

C.函数在区间内无零点

D.函数在区间内无零点

10.如下图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距的两城镇间旅行的函数图象.根据这个函数图象，关于这两个旅行者的信息正确的是（    ）

A.骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时

B.骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动

C.骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者

D.骑自行车者实际骑行的时间为6小时

11.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如下表所示：

则下列说法中正确的是（    ）

A.买小包装实惠       B.买大包装实惠

C.卖3小包比卖1大包盈利多    D.卖1大包比卖3小包盈利多

12.已知函数则使函数有零点的实数的取值范围可以是（    ）

A.   B.   C.   D.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）

13.已知函数，则函数的零点是________.

14.放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化.常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为.现测得某种放射性元素的剩余质量随时间变化的6组数据如下：

从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为________.

15.方程的实数根的个数为________.

16.若关于的方程在上有解，则的取值范围是________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）若函数有一个零点3，求函数的零点.

18.（本小题满分12分）在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满.五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金.经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？

19.（本小题满分12分）已知函数为上的连续函数.

（1）若，试判断在内是否有根存在？若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2（即根所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出使这个根存在的区间.

（2）若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围.

20.（本小题满分12分）有时可用函数，描述学习某学科知识的掌握程度，其中表示某学科知识的学习次数表示对该学科知识的掌握程度，正实数与学科知识有关.

（1）证明：当时，掌握程度的增长量总是下降的；

（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的的取值区间分别为.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科（参考数据：）.

21.（本小题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数，且时，.

（1）求的解析式；

（2）若有两个零点，求集合.

22.（本小题满分12分）

如上图，将宽和长都分别为的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为.（注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形.）

（1）求关于的函数解析式；

（2）当取何值时，该正十字形的外接圆面积最小？并求出其最小值.

第五章综合测试

答案解析

一、

1.【答案】C

【解析】由于函数中，对任意自变量的值，均有，故该函数不存在零点.

2.【答案】B

【解析】设函数，故是上的单调递增函数.因为，故函数在区间上有零点，即方程在区间上有实根，故选B.

3.【答案】B

【解析】

如上图，在同一坐标系中作出与的图象：

可知只有一个零点.

4.【答案】D

【解析】设该家具的进货价是元，由题意得，解得元.

5.【答案】C

【解析】由于，则.

6.【答案】C

【解析】只需即可，即解得，选C.

7.【答案】D

【解析】令，由题意函数只有两个零点，即这两个函数图象只有两个交点，利用数形结合思想，作出两函数图象（如下图），可得选D.

8.【答案】C

【解析】依题意是的对称轴，

，

故，令，解得，

方程的解的个数为3.选C.

二、

9.【答案】BC

【解析】由题意可得，函数在内有零点，在内无零点，故选BC.

10.【答案】ABC

【解析】由图象可得，骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，A正确；骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，B正确；骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，C正确；骑自行车者实际骑行的时间为5小时，D错误.故选ABC.

11.【答案】BD

【解析】买小包装时每克费用为元，买大包装时每克费用为（元），，所以买大包装实惠.卖3小包的利润为（元），卖1大包的利润是（元），，所以卖1大包比卖3小包盈利多.因此BD正确，故选BD.

12.【答案】BC

【解析】函数的零点就是方程的根，

作出的图象，如下图所示，

观察它与直线的交点，

得知当或时有交点，

即函数有零点的实数的取值范围是.故选BC.

三、

13.【答案】1或3

【解析】或.

14.【答案】6   

【解析】从题表中数据易知半衰期为6个单位时间，初始质量为，则经过时间的剩余质量为.

15.【答案】2

【解析】分别画出与的图象，有2个交点.

16.【答案】

【解析】依题意，当时，的最小值为；当时，的最大值为1.所以.

四、

17.【答案】函数的一个零点是3.

，即，

令得或，

的零点是或.

18.【答案】设每件棉衣日租金提高个5元，即提高元，则每天棉衣减少出租件，又设棉衣日租金的总收入为元.

，

当时，，这时每件棉衣日租金为，

棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6750元.

19.【答案】（1）当时，，即.

可以求出，则.

又为上的连续函数，

在内必有根存在.

取中点0，计算得，

，取其中点，计算得，

，取其中点，计算得，

，取其中点，计算得.

，又存在的区间为.

（2）函数的对称轴为.

函数在内存在零点的条件为，即，解得.

的取值范围是.

20.【答案】（1）证明：当时，，

设，

易知的图象是抛物线的一部分，在上单调递增，故在上单调递减，

所以当时，掌握程度的增长量总是下降的.

（2）由，可知，

整理得，解得.

又，所以该学科是乙学科.

21.【答案】（1）是上的奇函数，.

设，则，

，

，

，

所以的解析式为

.

（2）画出函数的图象如下图：

由图可得.

22.【答案】（1）由题意可得，则，

，解得.

关于的解析式为.

（2）设正十字形的外接圆的直径为，由图可知，当且仅当时，正十字形的外接圆直径最小，最小值为，则半径的最小值为，正十字形的外接圆面积的最小值为.