人教A版高中数学选修二 第五章《一元函数的导数》章节能力强化卷

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第二册

第五章《一元函数的导数》章节能力强化卷

一、单选题:

1．已知是的极小值点，则实数的取值范围是（    ）

A．   B．

C． D．

2.已知函数的值域与函数的值域相同，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

3.已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

4.已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．

5.若函数在区间D上是增函数，且函数在区间D上也是增函数(其中 是函数的导函数)，那么称函数是区间D上“快增函数”，区间D叫做“快增区间”.则函数在区间上的“快增区间”为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：

6.设函数，若关于的方程在上恰好有两个相异的实数根，则实数的取值范围为___________.

三、拓展题：

7. 已知函数.（ ）

（1）求函数的单调区间；

（2）若，的图象与轴交于点，求在点处的切线方程；

（3）在（Ⅱ）的条件下，证明：当时，恒成立．

四、创新题：

8.已知函数．

（1）判断函数的单调性；

（2）记，试证明：当时，．

五、探究题：

9. 已知函数，是的导数，且.

（1）求的值，并讨论在上的单调性；

（2）讨论函数在上的零点个数.

同步练习答案

一、 单选题：

1.答案：D

解析：因为，

所以

，

由得或，

(1)若，则时，，即单调递增；

时，，即单调递减；

时，，即单调递增；

所以是极大值点，不满足题意；

(2)若，则时，，即单调递增；

时，，即单调递减；

时，，即单调递增；   满足是极小值点；

若，则恒成立，

故在定义域上单调递增，无极值；     综上，.    故选D.

2.答案:D

解析:由题可知，函数的定义域为.

∵，

∴，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴      即的值域为(.

要使的值域也为，则只要，

则，即，        故选：D.

3.答案:A

解析：∵，令，

∴，∴时，在单调递增；

∴时，在单调递减.     

∴     

∴当时，，∴，在上单调递增，不成立

当时，在上单调增减，成立；

当时，有两个根，，

∵当时，，；

当时，，；

当时，，，

∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立

综上，.         故选：A

4.答案:

解析：因为，

所以，

当时，，当时，，

所以  

因为开口方向向下，

所以在区间上的最小值的端点处取得，

所以要使对，，使得成立，

只需，即或，

即或，     解得，

所以a的取值范围是，     故答案为： .

5.答案:A

解析：，，

所以，

因为恒成立，

当时，所以，所以为增函数，

当时，所以，所以为减函数，

令，，

则，

令，则

，

所以是，即时，单调递增，

所以函数在区间上的“快增区间”为

故选：A .

二、填空题：

6.答案：

解析：由题意，方程在上恰好有两个相异的实数根，

设，则的图象与在上恰好有两个不同的 交点.      ∵，     

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

又，得.

∴需使，即.

故所求实数的取值范围是.     

三、拓展题：

7.答案：（1）时，单调增区间为，无单调减区间，

时，单调增区间为，单调减区间为.

       （2）     （3）证明见解析

解析：（1），

当时，恒成立，所以在上单调递增，

当时，令，解得.

当变化时，，的变化情况如下表：

所以时，在上单调递减，在上单调递增.

综上所述，时，单调增区间为，无单调减区间，

时，单调增区间为，单调减区间为.

（2）时，    令，得，则，

因为，所以，

所以在点处的切线方程为，即.

（3）证明：令，

则.  令，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增；

所以，

即恒成立.  所以在上单调递增，

所以， 所以，

即当时，恒成立．

四、创新题：

8.答案：（1）在上单调递增；（2）证明见解析.

解析：（1）由题意，得的定义域为，．

令，则．

当时，，在区间上单调递增；

当时，，在区间上单调递减．

在处取得唯一的极小值，即为最小值．

即，    ，

∴在上单调递增．

（2）由（1）知在上单调递增，

故当时，，故．

，

∵，∴，∴，即在上单调递减

∴当时，．

∴，即．

五、探究题：

9.答案：（1），在上单调递增；    （2）有一个零点.

解析：（1）由题意知，因为，

所以，解得，  所以.

令，则，

当时，，故在上单调递减，

所以，故在上单调递增.

（2）由（1）知，

令，

因为，所以与有相同的零点个数.

，

当时，

，则，故，

所以在上单调递减，

因为，，，

所以由零点存在定理可知，在上只有一 个零点，  故函数在上只有一个零点.