高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质学案设计

5．3.2　正切函数的图象与性质

教材要点

要点　函数y＝tan x的图象和性质

状元随笔　如何作正切函数的图象

(1)几何法

就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．

(2)“三点两线”法

“三点”是指，(0，0)，；“两线”是指x＝－和x＝.在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)正切函数在整个定义域内是增函数．(　　)

(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．(　　)

(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.(　　)

(4)函数y＝tan x为奇函数，故对任意x∈R都有tan (－x)＝－tan x．(　　)

2．函数y＝tan 的定义域是(　　)

A．             B．

C．    D．

3．已知函数f(x)＝tan ，则函数f(x)的最小正周期为(　　)

A．    B．

C．π    D．2π

4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”)

　正切函数的定义域、周期性、奇偶性

例1　(1)函数f(x)＝tan 的最小正周期为(　　)

A．    B．

C．π    D．2π

(2)函数f(x)＝x·tan x的奇偶性为(　　)

A．奇函数   

B．偶函数

C．非奇非偶函数   

D．既是奇函数又是偶函数

(3)函数y＝的定义域为________________．

方法归纳

(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用正切函数的图象求解．

(2)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常利用此公式来求与正切函数有关的周期．

(3)函数y＝tan x是奇函数，其图象关于原点对称．若函数y＝tan (ωx＋φ)是奇函数，则φ＝(k∈Z)．

跟踪训练1　(1)函数y＝的定义域为(　　)

A．{x|x≠0}    　             B．{x|x≠kπ，k∈Z}

C．    　D．

(2)(多选)关于函数y＝tan ，下列说法正确的是(　　)

A．是奇函数

B．在区间上单调递减

C．为其图象的一个对称中心

D．最小正周期为

　正切函数的单调性及应用

角度1　求正切函数的单调区间

例2　求函数y＝tan 的单调区间．

方法归纳

求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．

(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝

－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

角度2　比较大小

例3　比较tan 1.5，tan 2.5，tan 3.5的大小．

方法归纳

运用正切函数单调性比较大小的方法

(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．

(2)运用单调性比较大小关系．

跟踪训练2　(1)已知a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则(　　)

A．a＜b＜c    B．c＜b＜a

C．b＜c＜a    D．b＜a＜c

(2)函数y＝tan 的单调增区间为________．

题型3　正切函数图象与性质的综合应用

例4　已知函数f(x)＝2tan .

(1)求f(x)的最小正周期、定义域；

(2)若f(x)≥2，求x的取值范围．

方法归纳

解答正切函数图象与性质问题应注意的两点

(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．

(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．

跟踪训练3　设函数f(x)＝tan .

(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；

(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．

易错辨析　不能正确掌握正切函数的对称中心致误

例5　函数y＝tan (2x＋θ)＋n的图象的一个对称中心为，其中θ∈，则点(θ，n)对应的坐标为________.

解析：因为y＝tan x的对称中心为，k∈Z，所以由y＝tan (2x＋θ)＋n的图象的一个对称中心为可知，n＝－1，2×＋θ＝，k∈Z.

又θ∈，所以θ＝.

答案：

易错警示

课堂十分钟

1．函数y＝tan x是(　　)

A．周期为π的偶函数    B．周期为的奇函数

C．周期为的偶函数    D．周期为π的奇函数

2．函数y＝tan (x＋)的单调递增区间是(　　)

A．(k∈Z)

B．(k∈Z)

C．(k∈Z)

D．(k∈Z)

3．已知a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是(　　)

A．a＞b＞c    B．a＜b＜c

C．b＞a＞c    D．b＜a＜c

4．函数y＝tan 的定义域为________．

5．设函数f(x)＝tan .

(1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心；

(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．

5．3.2　正切函数的图象与性质

新知初探·课前预习

要点

　R　kπ(k∈Z，k≠0)　奇函数　(k∈Z)

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．解析：由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.故选D.

答案：D

3．解析：解法一　函数y＝tan (ωx＋φ)的周期T＝，可得T＝＝.

解法二　由诱导公式可得tan

＝tan ＝tan ，

所以f＝f(x)，所以周期为T＝.

故选B.

答案：B

4．解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y＝tan x在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan 135°＜tan 138°.

答案：＜

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)由T＝，

得T＝＝2π.故选D.

(2)因为函数f(x)＝x·tan x的定义域为，关于原点对称，

且f(－x)＝(－x)·tan (－x)＝(－x)·(－tan x)＝x·tan x＝f(x)，

所以函数f(x)＝x·tan x是偶函数．故选B.

(3)由题意知

解得

所以函数的定义域为(k∈Z)

答案：(1)D　(2)B

(3)(k∈Z)

跟踪训练1　解析：(1)函数y＝有意义时，需使

所以函数的定义域为＝.故选D.

(2)函数y＝tan 是非奇非偶函数，A错误；在区间上单调递增，B错误；因为当x＝时，tan ＝0，所以为其图象的一个对称中心，C正确；最小正周期为，D正确．

答案：(1)D　(2)CD

例2　解析：y＝tan ＝－tan .

由－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)，得－<x<(k∈Z)．

所以函数y＝tan 的单调递减区间为(k∈Z)．

例3　解析：tan 2.5＝tan (2.5－π)，tan 3.5＝tan (3.5－π)，又－<2.5－π<3.5－π<1.5<，y＝tan x在上是增函数．故tan (2.5－π)<tan (3.5－π)<tan 1.5，即tan 2.5<tan 3.5<tan 1.5.

跟踪训练2　解析：(1)a＝tan 1>0，b＝tan 2＝－tan (π－2)<0，c＝tan 3＝－tan (π－3)<0，∵>π－2>π－3>0，且y＝tan x在上单调递增，∴tan (π－2)>tan (π－3)>0，∴－tan (π－2)<－tan (π－3)<0，故a>0>c>b.故选C.

(2)y＝tan ，由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，所以函数y＝tan 的递增区间是，k∈Z.

答案：(1)C　(2)，k∈Z

例4　解析：(1)对于函数f(x)＝2tan ，它的最小正周期为＝2π，由≠kπ＋，求得x≠2kπ＋，故它的定义域为.

(2)f(x)≥2，即tan ≥1，故＋kπ≤<kπ＋，解得2kπ＋≤x<2kπ＋，故x的取值范围为，k∈Z.

跟踪训练3　解析：(1)由≠＋kπ(k∈Z)．得x≠＋2kπ(k∈Z)．

所以f(x)的定义域是.

因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π.

由－＋kπ<<＋kπ(k∈Z)，

得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)．

所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

由＝(k∈Z)，得x＝kπ＋π(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是，k∈Z.

(2)由－1≤tan ，

得－＋kπ≤＋kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．

所以不等式－1≤f(x)≤的解集是.

[课堂十分钟]

1．解析：函数的周期T＝＝，函数y＝tan x是奇函数．故选B.

答案：B

2．解析：∵y＝tan x的单调递增区间为(k∈Z)，

令kπ－＜x＋＜kπ＋，解得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，

∴函数y＝tan (x＋)的单调递增区间是(k∈Z)．故选B.

答案：B

3．解析：tan 5＝tan [π＋(5－π)]＝tan (5－π)，

由正切函数在上为增函数且π>3>2>5－π>，可得tan 3>tan 2>tan (5－π)．故选C.

答案：C

4．解析：由＋6x≠kπ＋(k∈Z), 得x≠(k∈Z)．

答案：

5．解析：(1)f＝tan ，T＝＝3π，

令＝，k∈Z，解得x＝π＋kπ，k∈Z，

故对称中心为.

(2)令＝0，解得x＝π，

令＝，解得x＝，

令＝－，解得x＝，

令＝，解得x＝，

令＝－，解得x＝－，

所以函数f＝tan 的图象与x轴的一个交点坐标为，图象上的点有两点，

在这个周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为x＝－和x＝，

从而得到函数f在一个周期内的简图(如图)．