初中华师大版第22章 一元二次方程综合与测试导学案

这是一份初中华师大版第22章 一元二次方程综合与测试导学案，共33页。学案主要包含了挑战自我，我学会了，巩固练习等内容，欢迎下载使用。

第二十二章 一元二次方程
23.1 一元二次方程（1课时）
学习目标：
1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
导学流程：
自学课本导图，走进一元二次方程
分析：现设长方形绿地的宽为x米，则长为 米，可列方程
x（ ）= ，去括号得 ①.
你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？
探究新知
【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm,那么剪去的正方形的边长是多少？
设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？
合作交流
动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。

列出的方程是 ② .
自主学习
【做一做】根据题意列出方程：
1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？
2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？
观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
展示反馈
【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。




【我学会了】
1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。
【例2】 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）（2）
【巩固练习】教材第19页练习
归纳小结
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、学习过程中用了哪些数学方法？
3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？
达标测评
（A）1、判断下列方程是否是一元二次方程;
（1）（ ）（2） ( )
(3) （ ） (4) ( )
2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；
（1） ±1 ±2；
（2） ±2， ±4
（B）1、把方程 (化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
2、要使是一元二次方程，则k=_______.
3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。
拓展提高
1、已知关于x的方程。问
（1）当k为何值时，方程为一元二次方程？
（2）当k为何值时，方程为一元一次方程？


2、思考题：你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗？



23.2 一元二次方程的解法（5课时）
第1课时
学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=a(a≥0)或（mx+n）=a(a≥0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程；
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。
导学流程：
自主探索
试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x2＝4； （2）x2－1＝0;
解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得
x=____ ______________＝0，
必有 x－1＝0，或______＝0,
得x1＝___，x2＝_____.
精讲点拨
(1)这种方法叫做直接开平方法.
(2)这种方法叫做因式分解法.
合作交流
（1） 方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？
（2） 方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？
课堂练习 反馈调控
　1.试用两种方法解方程x2－900＝0.
(1)直接开平方法 (2) 因式分解法


2.解下列方程：
（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0.
解（1）移项，得x2＝2. (2) 移项，得_________.
直接开平方，得. 方程两边都除以16，得______
所以原方程的解是 直接开平方，得x＝___.
，. 所以原方程的解是 x1＝___，x2＝___.
3.解下列方程：
（1）3x2＋2x=0； （2）x2＝3x.
解（1）方程左边分解因式，得_______________
所以　　　　　 　__________，或____________
原方程的解是　 　x1＝______，x2＝______
（2）原方程即_____________=0.
方程左边分解因式，得____________＝0.
所以　 __________，或________________
原方程的解是　　x1＝_____，x2＝_________
总结归纳
以上解方程的方法是如何使二次方程转化为一次方程的？用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤分别是什么？
巩固提高
解下列方程：
（1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
分　析　 两个方程都可以转化为（ ）2＝a的形式，从而用直接开平方法求解.
解：（1）原方程可以变形为（_____）2＝____，
（2）原方程可以变形为________________________，
有　　　　________________________.
所以原方程的解是　x1＝________，x2＝_________.
课堂小结
你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？它们之间有何联系与区别？（学生思考整理）
达标测评
(A)1、解下列方程：
（1）x2＝169；　　（2）45－x2＝0；　 （3）12y2－25＝0；


（4）x2－2x＝0； （5）（t－2）（t +1）=0；（6）x（x＋1）－5x＝0.


(7) x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.


(B)2、小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么会少一个解？


拓展提高
1、解下列方程：
（1）+2x-3=0 (2) -50x+225=0
（教师引导学生用十字相乘法分解因式。）


2、构造一个以2为根的关于x 的一元二次方程。



第 2 课 时
学习目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；
难点：配方的过程。
导学流程
自主学习
自学教科书例4，完成填空。
精讲点拨
上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
练一练 ：配方.填空：
（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2；
（2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；
（3）x2＋x＋（ ）＝（x＋ ）2；
从这些练习中你发现了什么特点?
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
合作交流
用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0；　　　　　（2）x2＋3x＋1＝0.
解（1）移项，得x2－6x＝____.
方程左边配方，得x2－2·x·3＋__2＝7＋___，
即 （______）2＝____.
所以 x－3＝____.
原方程的解是　　　　　　　x1＝_____，x2＝_____.
（2）移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得x2＋3x＋（ ）2＝－1＋____，
即 _____________________
所以 ___________________
原方程的解是： x1＝______________x2＝___________
总结规律
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？

深入探究
用配方法解下列方程：
（1） （2）
这两道题与例5中的两道题有何区别？请与同伴讨论如何解决这个问题？请两名同学到黑板展示自己的做法。


课堂小结
你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？（学生思考后回答整理）
达标测评
（A）用配方法解方程：
（1）x2＋8x－2＝0 （2）x2－5x－6＝0. （3）2x2-x=6


（4）（4）x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).


（5）4x2－6x＋（ ）＝4（x－ ）2＝（2x－ ）2.
拓展提高
已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
第 3 课 时
学习目标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；
3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；
难点：推导求根公式的过程。
导学流程
复习提问：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
推导公式
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
因为a≠0，方程两边都除以a，得
_____________________＝0.
移项，得 x2＋x＝________，
配方，得 x2＋x＋______＝______－,
即 (____________) 2＝___________
因为 a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得
_____________________________.
所以 x＝_______________________
即 x＝_________________________
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：
x＝( b2－4 ac≥0)

精讲点拨
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
合作交流
b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？
展示反馈
学生在合作交流后展示小组学习成果。
① 当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
② 当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③ 当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
巩固练习
1、做一做：
(1)方程2x-3x+1=0中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）
(2)方程(2x-1) =-4中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）.
(3)方程3x-2x+4=0中，=（ ）,则该一元二次方程（ ）实数根。
(4)不解方程，判断方程x-4x+4=0的根的情况。


2、应用公式法解下列方程:
(1) 2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；
(3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x.
解　(1)这里a＝___，b＝___，c＝______，
b2－4ac＝____________ ＝_________
所以x＝＝_________＝____________
即原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____
(2)将方程化为一般式，得_________________＝0.
因为 b2－4ac＝_________
所以 x＝_____________＝_______________
原方程的解是 x1＝________，x2＝_____
(3)因为 ___________________，
所以 　　 x＝____________＝__________＝__________
原方程的解是 x1＝________，x2＝__________.
(4)整理，得_______________＝0.
因为 b2－4ac＝_________，
所以 　　 x1＝x2＝________
课堂小结
1、一元二次方程的求根公式是什么？
2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
达标测评
（A）1、应用公式法解方程：
(1) x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6；

(3)4x2－3x－1＝x－2； (4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1).

5）（x-2）（x+5）＝8；　　　 （6）（x＋1）2＝2（x＋1）.

（B）2、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m.
(1)养鸭场的面积能达到150m吗？能达到200 m吗？
(2)能达到250 m吗？
拓展提高
m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0
有两个相等的实数根？



第4课时 一元二次方程根的判别式（选学）
学习目标
1、 了解什么是一元二次方程根的判别式；
2、 知道一元二次方程根的判别式的应用。
重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；
难点：根的判别式的变式应用。
导学流程
复习引入
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac___0时才有实数根
观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：
① 当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
②当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
精讲点拨
这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根；
合作交流
方程根的判别式应用
1、不解方程，判断方程根的情况。
（1）x2＋2x－8＝0； 　　　（2）3x2＝4x－1；

（3）x（3x－2）－6x2＝0；　　　（4）x2＋(＋1)x＝0；　　


（5）x（x＋8）＝16；　　　　　　（6）（x＋2）（x－5）＝1；　　


2．说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根.
解：把化为一般形式得＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
拓展提高
应用判别式来确定方程中的待定系数。
（1）m取什么值时，关于x的方程x2-2x＋m－2＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
解：因为Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿
因为方程有两个相等的实数根
所以Δ＝b2－4ac＿＿＿0，即＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
解得ｍ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
这时方程的根ｘ＝
（2）m取什么值时，关于x的方程x2-(2m＋2)x＋m2-2m－2＝0没有实数根？

课堂小结
1、 使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项？
2、 列举一元二次方程根的判别式的用途。
达标测评
（A）1、方程x2-4x＋4＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；
C.有一个实数根； D.没有实数根.
2、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2＋1＝0 B. x2+x-1＝0 C. x2+2x＋3＝0 D. 4x2-4x＋1＝0
3、若关于x的方程x2-x＋k＝0没有实数根，则（ ）
A.k＜ B.k ＞ C. k≤ D. k≥
4、关于x的一元二次方程x2-2x＋2k＝0有实数根，则k得范围是（ ）
A.k＜ B.k ＞ C. k≤ D. k≥
（B）5、ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0
有两个相等的实数根？求出这时方程的根.


6、说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.


第 5 课 时（习题课）
学习目标
能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。
重点：选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。
难点：理解四种解法的区别与联系。
复习提问
（1）我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？
（2）请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？
精讲点拨
观察方程特点，寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为：直接开平方法 因式分解法 公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法，其中，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙，，适用于任何一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便。
练习一：分别用三种方法来解以下方程
（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0
用因式分解法： 用配方法：


用公式法： 用因式分解法：


用配方法： 用公式法：


练习二：你认为下列方程你用什么方法来解更简便。
（1）12y2－25＝0； （你用_____________法）
（2）x2－2x＝0； （你用_____________法）
（3）x（x＋1）－5x＝0； （你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0； （你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1； （你用_____________法）
（6） 3x2＝4x. （你用_____________法）
对应训练
1、解下列方程
（1）（2x－1）2－1＝0；　　　 （2）（x＋3）2＝2；


（3）x2＋2x－8＝0； 　　（4）3x2＝4x－1；


（5）x（3x－2）－6x2＝0；　　（6）（2x－3）2＝x2.


2、当x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等.




3、用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x；　　　　　　（2）（x＋3）2＝1；


（3）x2＋(＋1)x＝0；　　　　（4）x（x－6）＝2（x－8）；


（5）（x＋1）（x－1）＝；　（6）x（x＋8）＝16；


（7）（x＋2）（x－5）＝1；　　　（8）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.


4、已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？


课堂小结
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下.

拓展提高
1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）
（A）3或-2 （B） -3或2 （C） 3 （D）-2
2、试求出下列方程的解：
（1）(x-x) -5(x-x)+6=0 （2）



3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？


23.3实践与探索（3课时）
第 1 课 时
学习目标
1、会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力。
2、会运用方程模型解决面积问题，并能求出最大面积。
3、进一步经历运用方程解决实际问题的过程，发展应用数学的意识，体会方程是刻画现实世界的数学模型。
重点：一元二次方程在实际问题中的应用，列方程解应用题；
难点：会用含未知数的代数式表示等量关系，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理。
导学流程
复习提问
1、列方程解应用题的步骤是什么？
2、解方程的方法有几种？通常如何进行选择？请解出课本第18页问题1所列方程，并检验结果是否合理。
3、请同学们完成课本第29页例7，并检验结果是否合理？
4、请同学们总结列一元二次方程解应用题的步骤。
情境导入
在开始学习这一章时，我们已经动手实验，直观体验长方体的制作过程，从图中能直观发现长方体的底面是边长为（10-2x）cm的正方形，在本节课我们再来探讨一下这样的长方体侧面积会不会有最大值？你是如何获得这个侧面积最大值的？
自主学习
1、请同学们自学教材第33页问题1，填写表中空格，看谁做得又快又对,与同学们交流你的做法。
思考：（1）从你填表数据中，你认为折合而成的长方体的侧面积会不会有最大值？（2）设剪去的正方形的边长为xcm,则长方体的底面边长为 cm,侧面积为 cm.如果将剪去的正方形的边长x为自变量，折合而成的长方体的侧面积为函数y，则可得到 ①.
（3）对于这个函数，我们并不了解它的性质，你能否在平面直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。
拓展延伸
在上题中，用配方法将得到的①式配方会得出什么结论？能否验证“探索”中的结论？请同学们合作完成。
课堂练习
1、有一个长是宽3倍的矩形铁皮，四周各截去一个完全相同的正方形，做成高是6cm,容积是300cm3的长方体容器，设矩形的宽为xcm,则长为 cm,长方体的底面长为 cm,宽为 cm，则可列方程为 。
2、将进价40元的商品按50元出售时，每月能卖500个，已知该商品每涨价2元，其月销售额就减少20个，为保证每月8000元利润，单价应定为多少？



课堂小结
请盘点你在本节课中的收获。
达标测评
（A）1、一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？



（B）2、某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？
（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？
（2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？
（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？



第 2 课 时
学习目标
1、继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力。
2、会运用方程模型解决增长率问题，
3、了解增设辅助未知数的方法，明确辅助未知数的作用。
重点：运用一元二次方程知识解决增长率的问题。
难点：设辅助未知数。
导学流程
课前热身
（1）某磷肥厂今年一月份的磷肥产量为4万吨，若二月份的产量增长率为x,则二月份产量为（ ）,若三月份的产量的增长率是二月份的两倍，则三月份的产量为（ ）。
（2）某林场现有的木材蓄积量为立方米，预计在今后两年内木材蓄积量的年平均增长率为,那么两年后该临场木材蓄积量为（ ）立方米。
探究新知
例1：（第18页，问题2）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
设这两年的年平均增长率为x，则今年年底的图书数是__________万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的_______倍，即_________________________________万册.可列得方程
____________________＝7.2
请同学们自己整理出做题步骤，注意检验结果的合理性。
例2：（第34页，问题2）阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
精讲点拨
①财政净收入翻一番，意味着净收入增长到原来的两倍。
②财政净收入和平均年增长率都是未知数，其中财政净收入是一个辅助未知数，列出方程后，辅助未知数自动消去。
反馈矫正
请一名同学黑板演练，写出完整的步骤。
完成课本“探索” 部分的问题，（关键在于找出不同增长率之间的关系，要求同学分别列出方程即可。）


课堂练习
1、 （教材第30页例8）某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元。已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。


2、哈尔滨市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44，这两年平均每年面积的增长率是（ ）。
拓展延伸
请同学们认真阅读下面的题目，说出这道题与前面所做例题的区别与联系，然后根据相等关系列出方程。
市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.


课堂小结
请说出你在本节课收获了什么？
达标测评
（A）1、某工厂一月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？




2、某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月平均增长的百分率.






（B）3、为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）





第 3 课 时
学习目标
1、 掌握一元二次方程根与系数的关系，运用根与系数的关系解决相关待定系数的值。
2、 通过对一元二次方程根与系数关系的探讨，经历和体验数学的发现过程，提高探究性学习的能力。
重点：运用根与系数的关系求相关待定系数的值。
难点：运用根与系数的关系解题必须是在b2-4ac不小于0的情况下。
导学流程
复习引入
1、一元二次方程的一般形式是什么？
2、一元二次方程的解法有几种？
3、如何判断一元二次方程根的情况？
4、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？
探究新知
1、解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？
（1）－2x＝0；（2）　＋3x－4＝0；（3）　2－5x-7＝0．
方程




　－2x＝0




＋3x－4＝0




2－5x-7＝0




2、请根据以上表格中的观察、发现进一步猜想：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是、，则= ，= ，并加以证明。（学生分组交流、讨论，然后归纳总结）
精讲点拨
应用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x=，可以分别求出与的值。
一般地，如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有两个根x1、x2 ，那么：
=-， = .这就是一元二次方程根与系数的关系。
反馈练习
1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？
①-3y+1=0 ② 3-2x=2 ③2+3x=0 ④4p(p-1)=3
2、关于x的方程x2-4x+5=0,下列叙述正确的是（ ）。
A、两根的积是-5； B、两根的和是5；
C、两根的和是4； D、以上答案都不对
3、若1和3是方程x2-px+q=0的两根，则p= ;q= .
思考：通过以上练习，可以发现利用一元二次方程根与系数的关系做题时，应注意哪些事项？
拓展提高
1、已知、是方程2+3x-4=0的两个实数根，则++的值是
。
2、已知反比例函数，当x＞0时,y随着x的增大而增大，则关于x的方程a－2x＋b＝0的根的情况是（ ）。
A、有两个正根； B、有两个负根；
C、有一个正根，一个负根； D、没有实数根。
3、已知关于x的方程（k-1）+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根、.（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在求出k的值；如果不存在，请说明理由。

课堂小结
1、 一元二次方程根与系数的关系是什么？
2、 使用一元二次方程根与系数的关系应注意哪些事项？
达标检测
（A）1、已知、是方程-x-3=0的两个实数根，则= ,
= .
2、若方程x2+px+2=0的一个根是2，则另一个根是 ，p= .
3、下列方程中两根之和是2的方程是（ ）
A、+2x+4=0 B、-2x-4=0 C、+2x-4=0 D、-2x+4=0
4、已知、是方程-2x-3=0的两个实数根，则= , 。
（B）5、先阅读下列材料，然后按要求解答有关问题。
若关于x的一元二次方程+（m+1）x+m+4=0两实数根的平方和为2，求m的值。
解：设方程的两实根为x,x,那么=-（m+1）, =m+4,
所以 ，
即=9，解得m=3.
请指出上述解题过程中的错误和不完整之处，并写出正确解答
过程。
6、已知是方程＋2x-5＝0的实数根，求的值。





一元二次方程（复习课）
复习目标
1． 了解一元二次方程的有关概念。
2． 能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
3． 会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
4． 掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
5． 通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。
重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
复习流程
回忆整理
1．方程中只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________ ( )其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项 。
例如： 一元二次方程7x－3=2x2化成一般形式是
___________________其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项是 。
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________________ （2）
（3） （4）求根公式法，求根公式是
___________________________________________
3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的根的判别式是 ，当 时，它有两个不相等的实数根；当 时，它有两个相等的实数根；当 时，它没有实数根。
例如：不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) x(5x+21)=20 (2) x2+9=6x (3)x2 —3x = —5



4．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的两个根分别为x1，x2 则x1 +x2= ；x1 ·x2= ____________
例如：方程2x2+3x —2=0的两个根分别为x1，x2 则x1+x2= ；x1 ·x2= _________
交流提高
请同学们之间相互交流，形成本章的知识结构。



典例精析
例1：已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.
分析：根据根的意义，把x=0代入方程，可得m2－4=0
则m1=2 , m2 = —2，但应注意m－2≠0，则m ≠2因此m = —2.
请问你还可以用什么方法来解决这个问题？
例2：解下列方程:
(1)2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；


(3)5x2－4x－12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1－8x.


（5）（x＋1）（x－1）＝（6）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.


分析：解题时应抓住各方程的特点，选择较合适的方法。
例3：已知关于x的一元二次方程（m—1）x2 —（2m+1）x+m=0,当m取何值时：
（1）它没有实数根。
（2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。
（3）它有两个不相等的实数根。
分析：在解题时应注意m—1≠0这个隐含的条件。



巩固练习
(A)1．关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是
2．已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值



3．m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0
有两个相等的实数根？求出这时方程的根.



4．解下列方程：（1） x2＋(＋1)x＝0；（2）（x＋2）（x－5）＝1 ；



（3）3（x－5）2＝2（5－x）。


5.说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根。



6、已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.(请用两种方法来解)



（B）7、写一个根为x=1，另一个根满足—1 8、x1，x2是方程x2+5x —7= 0的两根，在不解方程的情况下，求下列代数式的值：
（1）x12+x22 （2） （3）（x1—3）（x2—3）

课堂总结
1、这节课我们复习了什么？
2、通过本节课的学习大家有什么新的感受？


答案：
23.1一元二次方程
达标检测（A）
1．（1）是一元二次方程；（2）（3）（4）不是一元二次方程。
2．（1）3x2-x-2=0；二次项系数是3；一次项系数是-1，常数项是-2.
（2）2x2-7x+3=0；二次项系数是2；一次项系数是-7；常数项是3.
（3）-3x2+8x-1=0；二次项系数是-3；一次项系数是8；常数项是-1.
3.（1）-1和2；（2）2和-4.
（B）1. (m+n)x2+(m-n)x+p-q；二次项系数是m+n；一次项系数是m-n，常数项是p-q.
2．k=1；
3.m=-2；
拓展提高
1.（1）k≠3是一元二次方程；（2）k=3是一元一次方程.
2.只含有一个未知数并且未知数的最高次数是3的整式方程式是一元三次方程，它的一般形式是ax3+bx2+cx+d=0.


23.2 一元二次方程的解法（5课时）
第1课时
达标测评
（A）1.(1)=13,=-13 (2)=3,=-3
(3)= ,=- (4) =0,=2
(5) =2,=-1 (6) =0,=4 (7) =6,=-
（B）不对。
拓展提高
1. （1）=-3,=1 （2）=45,=5
2．答案不唯一。
第2课时
达标测评
（A）(1) =,= (2) =-1,=6
(3) =2,=
(B)(4)x= (5)
拓展提高
当x=时，代数式的值最小，最小值是.
第3课时
达标测评
（A）1．(1) =3+2,= (2) =2,=
(3) ==- (4) x1= ，x2=
(5) =-6,=3 (6) =1,=-1
（B）2.（1）能达到150m2和200 m2（2）不能达到250 m2
拓展提高
m=2或m=10
第4课时 （选学）
拓展提高
1．12-4m, = , 12-4m =0 , 3, 1
2. m＜-
达标测评
（A）1．B 2.B 3.B 4.C
（B）5.k=2或k=10 ；当k=2时，x1=x2=,当k=10时，x1=x2=.
6.提示：b2－4 ac=4k2+5＞0.
第5课时 (习题课)
对应训练
1. (1)=1,=0 (2) =-5,=-1 (3) =2,=-4
(4)=,=1 (5) =-,=0 (6) =1,=3
2. (1)=3,=-3 (2) =-1,=
3. (1)=2,=0 (2) =-3+,=-3- (3) =0,= -1-
(4)==4 (5) =+,=-
(6) =-4+4,=-4-4 (7) =,=
(8) =-,=
4.x=1或x=-
拓展提高
1. C
2.(1)=2,=-1,x3=x4= (2)=-,=1
3.120套。
23.3实践与探索（3课时）
第 1 课 时
达标测评
（A）1.长约增加12.4米，宽约增加8.3米。
2.（1）设定价（52+x）元，则每销售1个，获利润（52+x-40）元，共销售（180-10x）个。
（2）解得方程的解为=8,=-2，符合题意的解为=8,定价为60元时，进货100个。
（3）当定价为55元时，获利最大，此时应进货150个。
第 2课 时
拓展延伸
平均增长率为25.
达标测评
（A）1. 平均月增长的百分率为9.5.
2. 4月份增长15.5月份增长20.
（B）每年平均增长率约为62.
第 3课 时
拓展提高
1.- 2.C 3.(1)k＜,且k≠1.(2)不存在.
达标测评
（A）1. 1,-3； 2. 1，-3； 3.B 4. 10, -
（B）5.首先由m2=9,可解得m=±3.其次运用根与系数的关系解题应验证根的判别式，当m=3时，b2－4ac＜0，方程无实根，应舍去；当m=-3时，b2－4ac=0，符合题意，所以，m=-3.
6. 0
一元二次方程(复习课)
巩固练习
（A）1.m≠1.
2.p=-3,q=0.
3.m=2或m=10；当m=2时，==1，当m=10时，==3.
4.（1）=0,=--1.
（2）=,=.
（3）=5,=.
5.略
6.方程的另一个根是4，p=-1或p=3.
(B)7.答案不唯一。
8.（1）39 （2） （3）17
第24章 图形的相似







观察以上图形结合阅读本章的题目以及导语，提出你的猜想：看谁最具有创造力：
1、
2、
3、
4、
5、


利用课余时间通读本章内容：大体写出本章中所学的知识与思想方法，或者你的收获：