广东省广州市华南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题及答案

华南师大附中2023届高三年级第一次月考

数  学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则=(    )

A．    B．   C．   D．

2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    )

A．  B．   C．   D．

3．“”是“函数在上单调递增”的(   )

A．充分不必要条件         B．必要不充分条件

C．充要条件           D．既不充分也不必要条件

4．某农学院研究员发现，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均相同的条件中，成熟后甜瓜的甜度（单位：度）与昼夜温差（单位：℃，）近似满足函数模型．当温差为30℃时，成熟后甜瓜的甜度约为（参考数据：）(    )

A．14.4           B．14.6           C．14.8             D．15.1

5．函数的图像大致为(    )

6．已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数的取值范围是(   )

A．     B．(-5，-4)

C．        D．

7．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是(    )

A．      B．

C．      D．

8．若，，则(    )

A．       B．

C．        D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．已知，且，则(   )

A．        B．

C．      D．

10．已知，若，则实数的值可以为(   )

A．   B．    C．1       D．

11．已知函数，则下列说法正确的是(   )

A．有两个不同零点

B．在R上单调递增

C．若函数在处取得最小值，则

D．，

12．已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有(   )

A．        B．

C．若，则    D．若，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数的极小值为      ．

14．当时，函数的最小值为____．

15．已知为定义在R上的奇函数，且，当时，，则=     .

16．在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解．例如：曲线在处的切线方程为，且，若已知，则，当时等号成立，所以的最小值为3．已知函数，若数列满足，且，则数列的前10项和的最大值为        ；若数列满足，且，则数列的前100项和的最小值为        ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知等差数列中，

(1)求；

(2)设，的前项和为，证明：

18．（本小题满分12分）

在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．

在中，内角的对边分别为，且满足____．

(1)求；

(2)若的面积为在边上，且，，求的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．

19．（本小题满分12分）

随着中国实施制造强国战略以来，中国制造逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制．某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如下频率分布直方图：

(1)为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在和的两组中抽取3件产品，记取自的产品件数为，求的分布列和数学期望；

(2)该企业采用混装的方式将所有的产品按200件一箱包装，质量指标在内的产品利润是5元，质量指标在之外的利润是3元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱产品的利润．

20．（本小题满分12分）

在四棱锥中，为等边三角形，，，点为的中点．

(1)求证：平面；

(2)已知平面平面，求二面角的余弦值．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距与短轴长均为4．

(1)求的方程；

(2)设任意过的直线交于，分别作在点处的切线，且两条切线相交于点，过作平行于的直线分别交于，求的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知函数在区间内有唯一极值点

(1)求实数的取值范围；

(2)证明：在区间内有唯一零点，且

数学参考答案

一、单项选择题：

1．C      2．A      3．A      4．C     5．D      6．B      7．D      8．C

二、多选题：

9．AB    10．ACD    11．BCD

12．ACD

【详解】(1)由①，则由②，，，由③得，故A正确；

(2)由(1)可知，故B错误；

(3)由①知，，，，，即故C正确；

(4)，则，由③可得，，，

即，，即，；

由(3)可知当，，，

当，可得，，

故D正确．故答案为：ACD．

三、填空题：

13．   14．   15．  

16．70；  630

【详解】，则在上单调递增，图像如下所示：

①易知，，所以曲线在处的切线方程为，结合图像易知，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立；

②曲线在处的切线为

，

因为，则令此切线过原点，解得或，

所以曲线在处的切线方程为，

结合图像易知，

所以，

当且仅当或时，等号成立，

取，，即的前100项中有70项为3，30项为0时，等号成立．故答案为：70；630.

四、解答题：

17．【解析】(1)设等差数列的公差为，，

所以，可得，两式相减可得：，所以，所以，可得：；

由(1)知：，所以，

，

，原命题得证．

18．【解析】(1)方案一：选条件①.

由，可得，

由正弦定理得，

因为，所以，

所以，

故，

又，于是，即，

因为，所以

方案二：选条件②．

，由正弦定理得，

即，，由余弦定理得

又，所以

(2)由题意知，得．①

，即 ②

联立①②解得

而，

由余弦定理得

，故

即的值为

19．【解析】(1)解：样本中质量指标在的产品有40×10×0.015=6件，质量指标在的有40×10×0.01=4件，可能的取值为0，1，2，3，

相应的概率为：

，，

，，

随机变量的分布列为

所以期望

(2)解：设质量指标在内有件，每箱产品的利润为元，则质量指标在外的有件，由题意知，

因为，所以，

所以

20．【详解】(1)取的中点，连接

为中点，

，而平面，平面，

平面，

又为等边三角形，

，，

，，

，

平面，

，而平面，平面，

平面，又，

平面，而平面，

平面

(2)根据条件，连接交于，连接，由对称性知，为中点，且，

平面平面，且交于，

平面，

在中，，，，

则，，又，

，

在正中，，.

以O为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，

，，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

所以，令，则，

，令，则，

，

由图可知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为

21．【解析】(1)由题意，，，解得，，故椭圆为

(2)由题意，，显然的斜率不为0，故设的方程为，，则，即，故，

由题意可知不在轴上，即过两点的切线斜率存在，设过M点的切线方程为，与椭圆联立有

整理得：，

故,

可得，即过点的切线方程为

，即，

同理可得过点的切线方程为,

联立两切线方程，

即

相减可得，

即，化简可得

代入可得，故

设的中点为，则，，

故

因为，，故，

所以三点共线．又过平行于的直线分别交于

易得～，取中点，根据三角形的性质有四点共线，

结合椭圆的对称性有，

当且仅当时取等号．故的取值范围是

22．【解析】(1)，当时，，，

①当时，，在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；

②当时，显然在上递增，又因为，，

所以在上有唯一零点，所以，；，，所以在上有唯一极值点，符合题意．综上，的取值范围是

(2)由(1)知，所以时，，

所以，，单调递减；，，单调递增，

所以时，，则，

又因为，所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点.

因为，由(1)知，

所以，

则，构造，，

所以，

记，则，

显然在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，所以，

所以，所以在上单调递增，

所以，

所以，

由前面讨论可知：，，

且在单调递增，所以