专题03 二次函数的实际应用-备战2023年中考数学压轴题满分突破之二次函数篇（无答案）

第三讲 二次函数的实际应用

目录

必备知识点

考点一 运用二次函数求最大利润

考点二  二次函数与几何图形

必备知识点

知识点1 二次函数的应用

1.利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
2.几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．

考点一 运用二次函数求最大利润

1．某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

2．如图①是气势如弘、古典凝重的开封北门，也叫安远门，有安定远方之寓意．其主门洞的截面如图②，上部分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边AB为16米，BC为6米，最高处点E到地面AB的距离为8米．

（1）请在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．

（2）该主门洞内设双向行驶车道，正中间有0.6米宽的双黄线．车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线，并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙（安全距离），试判断一辆大型货运汽车装载某大型设备后，宽3.7米，高6.6米，能否安全通过该主门洞？并说明理由．

3．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，该商品每台售价（元）与月销量（台）满足的函数关系式如下表所示．已知该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元．设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为w元．

（1）上述表格中，y＝　   　（用含x的代数式表示）；

（2）若销售该商品每月所获利润为1920元，那么每件商品的售价应上涨多少元？

（3）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？

4．随着国内疫情得到有效控制，某产品的销售市场逐渐回暖．某经销商与生产厂家签订了一份该产品的进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台．根据市场调研得知，一年内该产品的售价y（万元/台）与签约后的月份数x（1≤x≤12且为整数）满足关系式：y＝．

估计这一年实际每月的销售量p（台）与月份x之间存在如图所示的变化趋势．

（1）求实际每月的销售量p（台）与签约后的月份数x之间的函数表达式；

（2）请估计这一年中签约后的第几月实际销售利润W最高，最高为多少万元？

5．某大型农贸市场新建了100个固定摊位，经调查分析发现，去年1月至12月，每个固定摊位的租金y（元）与月份x之间满足关系式如下表，每月租出的固定摊位的个数p（个）与月份x之间的函数图象如图所示．每个固定摊位租用者支付月租金给市场管理公司，由市场管理公司为每个摊位支付管理费，管理费m（元）与月份x之间关系满足m＝20x（1≤x≤12，且x为正整数）．

（1）试求p与x之间的函数关系式；

（2）分别时算3月份和8月份市场管理公司的收益（收益＝租金﹣摊位管理费）；

（3）请你通过计算说明市场管理公司哪个月的收益最大？

考点二  二次函数与几何图形

6．在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上．设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积．

7．问题探究

（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC，AD＝CD＝10，AC＝12，S四边形ABCD＝72，求△ABC的面积；

问题解决

（2）如图2，有一个菱形广场ABCD，已知AD＝60米，∠DAB＝60°，连接AC．现计划对这个广场进行绿化．在△DMP和△DNP区域种植绿植，且满足点P、M、N分别在AC、AB、CB上，PM∥AD，PN∥CD，为了节省成本，要求种植绿植的区域面积尽可能的小，问△DMP与△DNP的面积之和是否存在最小值，若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由．

8．问题提出：（1）如图①，等边△ABC的边长为1，D是BC边上的一点，过点D作DEꓕAB，垂足为E，设线段AE的长度为x，Rt△EBD的面积为y，求y与x的函数关系式．

问题解决：（2）某路口拐角处有一个五边形空地，为方便市民出行的需要，市政局准备在这片空地上给广大来往群众搭建一个既能遮阳又能避雨的遮阳棚．经过勘测发现，在如图②所示的五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝150°，∠C＝∠D＝60°，DE＝2AE＝8米，AB＝BC，根据该路口的实际条件限制，需将遮阳棚形状设计为三角形，且△FGH的顶点F、G、H分布在边AB、CD、DE上，点F为AB中点，DH＝DG，为进一步提升市民的出行体验，想让遮阳棚面积尽可能大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的△FGH？若存在，求△FGH面积的最大值，若不存在，请说明理由．

9．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点E在边AD上，点P从点C出发沿CB运动到点B停止，点Q从点A出发，沿折线AE→EC运动，它们同时出发，运动速度都是1cm/s，点P运动到点B时同时停止，设点P运动时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2）．当点Q到达点E时，S＝24（cm2）．

（1）填空：AE＝　   　，CE＝　   　；

（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，点P，Q同时从点B出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿折线BC﹣CA运动，当点P，Q相遇时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．

（1）当P，Q两点相遇时，t＝　   　秒；

（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的长恰好为方程x2﹣14x+a＝0的两根，且AC﹣BC＝2，D为AB的中点．

（1）求a的值．

（2）动点P从点A出发，沿A→D→C的路线向点C运动；点Q从点B出发，沿B→C的路线向点C运动．若点P、Q同时出发，速度都为每秒2个单位，当点P经过点D时，点P速度变为每秒3单位，同时点Q速度变为每秒1个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围．

12．问题探究

（1）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝4，点P为边CD的中点，Q为边AD上一点，且DP+DQ＝5，连接BP、PQ、BQ，求△BPQ的面积；

问题解决

（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形ABCD休闲广场，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝40米，BC＝60米．按照规划要求，点P、Q分别在边CD、AD上，满足DP+DQ＝40米，连接BP、PQ、BQ，其中△PBQ为健身休闲区，其他区域为景观绿化区，为了使绿化面积尽可能大，希望健身休闲区的面积尽可能小，那么按此要求修建的这个健身休闲区（△PBQ）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积及此时DP的长；若不存在，请说明理由．

13．问题提出：

（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝8，AD＝11，点E在线段BC上，且BE＝5，连接DE，作EF⊥DE，交AB于点F，求四边形ADEF的面积；

问题解决：

（2）精密仪器厂要生产一种特殊的四边形ABCD金属部件，如图②所示，部件要求是：BC＝4cm，点D到BC的距离为5cm，∠D＝90°，且CD＝2AD．已知生产这种金属部件的材料每平方厘米造价60元，在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，请你帮忙求出一个这种四边形金属部件的最低造价．

14．为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m．

（1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？

（2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？

15．如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米．

（1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？

（2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？

16．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长21m）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为48m，设AB的长为xm，矩形绿化带的面积为ym2．

（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量r的取值范围；

（2）当AB的长度是多少时，矩形绿化带ABCD的面积y取得最大值？最大值是多少？

（3）若要求矩形绿化带ABCD的面积不少于180m2，请直接写出AB长度的取值范围．