2022长沙师大附中高二上学期期中考试数学试题

湖南师大附中2021-2022学年度高二第一学期期中考试

数  学

时量：120分钟    满分：150分

得分：           

一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）

1．椭圆的焦点坐标是（       ）

A．（0，） B．（，0） C．（0，） D．（，0）

2．在数列中，为前n项和，若（，），，，则（       ）

A．95 B．105 C．115 D．125

3．双曲线（）的渐近线方程是，则双曲线的焦距为（       ）

A．3 B．6 C． D．

4．掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“第一枚出现奇数点”，事件B=“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为（       ）

A．互斥 B．相互独立 C．对立 D．相等

5．如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，，则（       ）

A． B． C． D．

6．如果圆上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是（       ）

A．  B．

C．  D．

7．如图是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB的距离为（       ）

A．240 m B．220 m C．200 m D．180 m

8．已知椭圆（）与圆在第二象限的交点是P点，F1（，0）是椭圆的左焦点，O为坐标原点，O到直线PF1的距离是，则椭圆的离心率是（       ）

A． B． C． D．

二、选择题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）

9．以下四个命题表述正确的是（       ）

A．直线（）恒过定点（0，3）

B．已知直线与直线互相垂直，则m=2

C．圆C：的圆心到直线的距离为2

D．两圆与的公共弦所在的直线方程为

10．已知曲线C：，则下列论断正确的是（       ）

A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若，则C是圆，其半径为

C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为

D．若，，则C是两条直线

11．设F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则下列结论正确的是（       ）

A．双曲线C的焦距是 B．b=2

C．双曲线C的离心率为 D．△ABF1的面积为

12．已知正三棱锥P—ABC中，M为PA的中点，PB⊥CM，CM=，则（       ）

A．PB⊥CA  B．PB⊥PA

C．该三棱锥的体积是 D．该三棱锥的外接球的表面积是

三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．设等差数列的前n项和为，，，则的最小值为         ．

14．如图所示平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=，AA1=1，∠DAB=60°，∠DAA1＝∠BAA1＝45°，则AC1＝         ．

15．已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且它们的离心率之和为，则双曲线C的方程是         ．

16．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且，则         ．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题10分）

已知在数列中，，（，）．

（1）记，判断是否为等差数列，并说明理由；

（2）求数列的通项公式．

18．（本小题12分）

已知△ABC的顶点A（5，1），边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为．

（1）求顶点C的坐标；

（2）求△ABC的面积．

19．（本小题12分）

在△ABC中，，，△ABC的外接圆半径R=2．

（1）若，求及边长AB；

（2）求的取值范围．

20．（本小题12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD上的动点，且PE·FD=PF·EC．

（1）求证：EF⊥平面PAD；

（2）若PE=PC，且PC与底面ABCD所成角的正弦值为，求平面AEC与平面AED夹角的余弦值．

21．（本小题12分）

已知椭圆E：（）的左焦点F1（，0）到圆C：上一点距离的最大值为6，且过椭圆右焦点F2（c，0）与上顶点的直线与圆O：相切，

（1）求椭圆E的方程；

（2）若直线l：与椭圆E交于A，B两点，当以AB为直径的圆与y轴相切时，求m的值．

22．（本小题12分）

已知椭圆C1：与双曲线C2：（，）有共同的焦点F1，F2，且双曲线C2的实轴长为．

（1）求双曲线C2的标准方程；

（2）若曲线C1与C2在第一象限的交点为P，求证：∠F1PF2=90°；

（3）过右焦点F2的直线l与双曲线C2的右支相交于的A，B两点，与椭圆C1交于C，D两点．记△AOB，△COD的面积分别为S1，S2，求的最小值．