(新高考)高考数学一轮复习考点练习06《基本不等式及应用》（解析版）

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考点06 基本不等式及应用

【命题解读】
基本不等式及其应用等，一般有两种命题方式：一是运用基本不等式研究函数的最值问题；二是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.
【基础知识回顾】
1、基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2、算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3、利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
4、基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(2)a＋b≥2(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
5、几个重要的结论
(1)≥2.
(2)＋≥2(ab>0)．
(3)≤≤ (a>0，b>0)．

1、（2021·潍坊市潍城区教育局月考）下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg(x2＋)>lgx(x>0) B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C． D．>1(x∈R)
【答案】C
【解析】
当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg(x2＋)≥lgx(x>0)，故选项A不正确；
当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不能确定，故选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
故选：C.
2、若正数满足，则的最小值为（　　）
A. B.
C. D.3
【答案】A
【解析】由题意，因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故选A。
3、（2020·湖南雅礼中学期中）（多选题）给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.
A．若，则；
B．若则；
C．若，，则；
D．若，，则.
【答案】AD
【解析】
对于选项A，因为，则，当且仅当，即时取等号，即选项A正确；
对于选项B，当时，，显然不成立，即选项B错误；
对于选项C，当时，显然不成立，即选项C错误；
对于选项D，，则，则，当且仅当，即时取等号，即选项D正确，
即四个推段中正确的为AD，
故答案为AD.

4、已知a>0, b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．
【答案】 2　
【解析】、 利用基本不等式，化和的形式为积的形式．
因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝＝时，取等号．
5、一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．
【答案】15　
【解析】设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．
6、(一题两空)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________．
【答案】2　
【解析】∵a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤×2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵＋＝·＝≥·＝，当且仅当a＝b时等号成立，∴＋的最小值为.

考向一　运用基本不等式求函数的最值
例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）若，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】
∵，
∴，
∴，且，，
∴，
∴
，
当且仅当且即时，等号成立；
故选：C．
变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．9
【答案】D
【解析】
由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，所以．
故选：D．
变式2、　(1)已知0 (2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
(3)函数y＝(x>1)的最小值为________．
【答案】(1)　(2)1　(3)2＋2
【解析】　(1)x(4－3x)＝×(3x)·(4－3x)≤×2＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．
故所求x的值为.
(2)因为x<，所以5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
(3)y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．
方法总结： (1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
考向二 基本不等式中1的运用
例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数在R上单调,若正实数满足则的最小值是( )
A．1 B． C．9 D．18
【答案】A
【解析】
奇函数在R上单调，则
故即

当即时等号成立
故选：
变式1、若正实数满足，则的最小值是 ▲ ．
【答案】、8
【解析】、因为正实数满足，
所以，当且仅当，即，又，即，等号成立，即取得最小值.
变式2、 已知a，b为正数，且直线 ax＋by－6＝0与直线 2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．
【答案】25
【解析】、由于直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，所以a(b－3)＝2b，即＋＝1(a，b均为正数)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋6≥13＋6×2＝25(当且仅当＝即a＝b＝5时取等号)．
变式3、已知正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为 ．
【答案】：
【解析】、．
当且仅当，即时取“”，所以的最小值为
方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型
考向三 运用消参法解决不等式问题
例3、(2017苏北四市期末）. 若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
【答案】. 8　
【解析】、解法1 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，
所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8.
解法2 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0，
所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8.
变式1：（徐州、宿迁三检）若，且，则的最小值为 ．
【答案】：
【解析】、由已知等式得，从而，
，故有最小值.

变式2、设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．
【答案】
【解析】、　思路分析注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y较易，所以消去y.
由x2＋2xy－1＝0得y＝，从而x2＋y2＝x2＋2＝＋－≥2－＝，当且仅当x＝±时等号成立．
变式3、已知正数x，y满足，求的最小值．
【答案】：
【解析】、：法一:因为，
所以．




又因为，所以，即．
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
法二：





方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．
考向四 运用基本不等式解决含参问题
例1、(2019扬州期末）已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为_________．
【答案】、(－∞，9]　
【解析】、m≤x＋y恒成立，m≤(x＋y)min.
解法1(消元法)　由x＋4y－xy＝0，得y＝，因为x，y是正实数，所以y>0，x>4，则x＋y＝x＋＝x＋＝x＋＋1＝(x－4)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.
解法2(“1”的代换)　因为x，y是正实数，由x＋4y－xy＝0，得＋＝1，x＋y＝(x＋y)·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6，y＝3时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.
解法3(函数法)　令t＝x＋y，则y＝t－x，代入x＋4y－xy＝0，得x2－(3＋t)x＋4t＝0.Δ＝(t＋3)2－16t＝t2－10t＋q≥0，得t≤1或t≥9.又y＝>0，且x>0，则x>4，故t>4，从而t≥9.所以m≤9.
变式1、已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
【答案】：
【解析】：由
得．
又，
∴，∴的最大值为．
变式2、（1）已知函数，若对于任意，恒成立，则的取值范围是________．
(2)已知正数满足恒成立，则实数的最小值为________．
【答案】：（1） （2）2
【解析】： (1)对任意恒成立，即恒成立，
即知
设，则．
∵∴．∴，
∴，故的取值范围是．
(2)∵，
∴ (当且仅当时取等号)．
又由可得，
而，
∴当且仅当时，
∴的最小值为．
方法总结：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题，
考点五、运用基本不等式解决实际问题
考向五 运用基本不等式解决实际问题
例5、某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【解析】　(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得：
当0 当x≥80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－－250＝1 200－.
所以L(x)＝
(2)当0 此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．
当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000.
此时x＝，
即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．
由于950<1 000，
所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．

变式1、小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
【解析】：(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为万元，
则，
即，
由，解得．
而，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．
(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为
，而，当且仅当时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．
变式2、(2016无锡期末）某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P＝(其中0≤x≤a，a为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本6万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件．
(1) 将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？

【解析】 (1) 由题意知，
y＝P－x－6.(3分)
将P＝代入化简得
y＝19－－x(0≤x≤a)．(5分)
(2) y＝22－≤22－3
＝10，
当且仅当＝x＋2，即x＝2时，上式取等号．(8分)
所以当a≥2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；(9分)
由y＝19－－x，得y′＝－，
当x<2时，y′>0，此时函数y在[0,2]上单调递增，
所以当a<2时，函数y在[0，a]上单调递增，(11分)
所以当x＝a时，函数有最大值．
即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．(12分)
综上，当a≥2时，促销费用投入2万元，厂家的利润最大；当a<2时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．(14分)
方法总结：(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解

1、（2019年高考浙江卷）若，则“”是 “”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
2、（2020·山东月考）已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．12
【答案】C
【解析】
，

当且仅当 ，又　故时取等号．
3、（2020年高考江苏）已知，则的最小值是 ▲ ．
【答案】
【解析】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
4、（2019年高考天津卷理数）设，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】方法一：.
因为，
所以，
即，当且仅当时取等号成立.
又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.
方法二：
.
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
5、（2018年高考天津卷理数）已知，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由可知，且，
因为对于任意x，恒成立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
6、（2020年高考天津）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
7、（2020·泰安市泰山国际学校高三月考）求下列最值：
（1）当时，求函数的最大值；
（2）设求函数的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1），则，
，
当，即时等号成立.
（2），
当，即时等号成立.
8、运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶千米，按交通法规限制(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时元．
(1)求这次行车总费用关于的表达式；
(2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
【解析】 (1)设所用时间为，
．
所以，这次行车总费用关于的表达式是．
(或)．
(2) ，
当且仅当，
即，等号成立．
故当千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元．