(新高考)高考数学一轮复习考点练习17《函数与方程》（解析版）

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考点17 函数与方程

【命题解读】
函数零点以及求参数范围等问题时高考重点考查的内容，不仅在大题中体现，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上。
【基础知识回顾】
1、函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根．
(3)零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)0
Δ＝0
Δ0)的图像



交点
(x1，0),_(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0


4、有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

1、若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（ ）
A. 0或－ B. 0 C. － D. 0或
【答案】　A
【解析】　由已知得b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－．
2、函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
【答案】　A
【解析】　因为函数y＝2x，y＝x3在R上均为增函数，故函数f(x)＝2x＋x3－2在R上为增函数，又f(0)＜0，f(2)＞0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内只有一个零点．
3、若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. (－∞，－1) D. (－∞，－1)∪
【答案】　D
【解析】　当a＝0时，f(x)＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；
函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内是单调函数，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞．
4、函数f(x)＝的零点个数是________．
【答案】　3
【解析】　当x＞0时，令g(x)＝ln x，h(x)＝x2－2x．
画出g(x)与h(x)的图象如图：故当x＞0时，f(x)有2个零点．
当x≤0时，由4x＋1＝0，得x＝－，综上函数f(x)的零点个数为3．
5、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x．则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为________．
【答案】　{－2－，1，3}
【解析】　当x≥0时，f(x)＝x2－3x，令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1．
当x0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)，
∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x．
令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，
得x3＝－2－，x4＝－2＋>0(舍)，
∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－，1，3}．
7、(一题两空)已知函数f(x)＝若f(x0)＝－1，则x0＝________；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点，则实数k的取值范围是________．
【答案】－1　(0，1)
【解析】解方程f(x0)＝－1，得或解得x0＝－1.关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k＜1时y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点．即k∈(0，1)．




考向一　判断零点所在的区间
例1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，，
，，
，由.
故选：C
变式1、（1）若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)
（2）已知函数f(x)＝lnx－的零点为x0，则x0所在的区间是( )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. (0，1)　　　　　 B. (1，2)　　　　　　 C. (2，3)　　　　 D. (3，4)
（3）若x0是方程＝x的解，则x0属于区间(　 　)
A. B.
C. D.
【答案】（1） A（2）C. （3） C　
【解析】（1）　∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，
f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.
　(2)∵f(x)＝lnx－在(0，＋∞)为增函数，又f(1)＝ln1－＝ln1－20)，y＝ln x(x>0)的图象，如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.

方法总结：函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，则f(x)＝2x3＋3x2＋m在[0，1]单调递增，又函数f(x)的图象与x轴有且仅有两个不同的交点，所以在区间[0，1]和(1，＋∞)上分别有一个交点，则f(1)＝m0，解得－51，故实数m的取值范围是(1，＋∞)．
解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，即x3－3mx－2＝0，显然x＝0不是它的根，所以3m＝x2－，令y＝x2－(x3，即m>1.
变式2、若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是____________．
【答案】
【解析】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足
即
解得