(新高考)高考数学一轮复习考点练习18《函数模型及其运用》（解析版）

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考点18  函数模型及其运用【命题解读】函数模型做为考查内容之一，涉及到一些常见的函数如一元二次函数、指数函数、对数函数等，考查中常见小题的形式出现。【基础知识回顾】  1.指数、对数、幂函数模型性质比较　　函数性质　　　y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)3. 解函数应用题的步骤第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答． 1、 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为(C )(参考数据lg2＝0.301 0，lg5＝0.699)A. 10　　　　　　　　  B. 12　　　　　　　　　  C. 14　　　　　　　　  D. 16【答案】C【解析】　由题意可得(1－20%)n<5%.解得n>log0.80.05≈13.42，故至少过滤14次．故选C.2、 小孟进了一批水果，如果他以每千克1.2元的价格出售，那他就会赔4元，如果他以每千克1.5元的价格出售，一共可赚8元．现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为(B )A. 1.1元　　　　　　  B. 1.3元　　　　　  C. 1.5元　　　　　　  D. 2.0元【答案】B【解析】　设共有水果x千克，则1.2x＋4＝1.5x－8，得x＝40，不赔不赚的价格为＝1.3元．故选B.3、下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是（    ）A．一次函数模型                         B．幂函数模型C．指数函数模型                         D．对数函数模型． x45678910y15171921232527【答案】：　A【解析】：　根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．4、某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是（    ）                      A             B             C            D【答案】：　A【解析】：　前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误．5、 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为（    ）m．A．400          B．12           C．20          D．30【答案】：　C【解析】：　设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，0<<40，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400．6、一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y＝ae－bt(cm3)，经过 8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（    ）min，容器中的沙子只有开始时的八分之一A．24          B．12           C．18          D．16【答案】：　D【解析】：　当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝＝a，＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min．考向一　二次函数模型例1、A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km．已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0．25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？【解析】：(1)由得x的取值范围为10≤x≤90．(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．(3)因为y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝＋，所以当x＝时，ymin＝．故核电站建在距A城km处，能使供电总费用y最少． 变式1、某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)万元，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不少于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解析】　(1)当0<x<80，x∈N*时，L(x)＝－x2－10x－250＝－x2＋40x－250；当x≥80，x∈N*时，L(x)＝－51x－＋1 450－250＝1 200－(x＋)，∴L(x)＝(2)当0<x<80，x∈N*时，L(x)＝－(x－60)2＋950，∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950．当x≥80，x∈N*时，L(x)＝1 200－(x＋)≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000，∴当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值L(100)＝1 000>950．综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．方法总结：在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域之间的位置关系讨论求解．考向二  指数函数、对数函数模型例2、诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6．24%．资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1．031 29＝1．32)【解析】：(1)由题意知，f(2)＝f(1)(1＋6．24%)－f(1)·6．24%＝f(1)(1＋3．12%)，f(3)＝f(2)(1＋6．24%)－f(2)·6．24%＝f(2)(1＋3．12%)＝f(1)(1＋3．12%)2，∴f(x)＝19 800(1＋3．12%)x－1 (x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19 800(1＋3．12%)9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6．24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．变式1、（2019秋•菏泽期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积（单位：与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是　　A．蓝藻面积每个月的增长率为 B．蓝藻每个月增加的面积都相等 C．第6个月时，蓝藻面积就会超过 D．若蓝藻面积蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则一定有【答案】．【解析】：由图可知，函数图象经过，即，则，；不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为，对、错；当时，，对；若蓝藻面积蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则，，则，对；故选：．方法总结：此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解考向三  分段函数模型例3、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【解析】　(1)由题意可知当0≤x<20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，显然v(x)＝ax＋b在[20，200]上是减函数，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)＝(2)依题意并由(1)可得f(x)＝当0≤x<20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立，∴当x＝100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时． 变式1、某旅游景点预计2017年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝(1)写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；(2)试问2017年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？【解析】：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x，验证x＝1也满足此式，所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)第x个月旅游消费总额为g(x)＝即g(x)＝①当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．当1≤x＜5时，g′(x)＞0， 当5＜x≤6时，g′(x)＜0，∴∴ [g(x)]max＝g(5)＝3 125(万元)．②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，∴当x＝7时，[g(x)]max＝g(7)＝3 040(万元)<3125（万元）．综上，2017年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元． 方法总结：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 1、(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)A．1010.1  B．10.1C．lg 10.1  D．10－10.1【答案】A【解析】由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，所以lg＝10.1，所以＝1010.1.故选A.2、已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2500mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为ymg．（1）y与x的关系式为　       　；（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过       　小时（精确到0.1）．（参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1）【答案】（1）y＝2500×0.8x，（2）7.2．【解析】（1）由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2500mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2500×（1﹣20%）x＝2500×0.8x（mg），即y与x的关系式为 y＝2500×0.8x；（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，令2500×0.8x≥500，∴0.8x≥0.2，∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是单调减函数，∴x≤7.2，所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时．3、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数的边际函数定义为．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产台的收益函数为 （单位：万元），成本函数（单位：万元），该公司每月最多生产台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）（1）求利润函数及边际利润函数；（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到）（3）求为何值时利润函数取得最大值，并解释边际利润函数的实际意义．【答案】（1）；；（2）台，万元；（3）或；反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.【解析】（1）由题意知：且，，.（2）每台医疗器材的平均利润，当且仅当时等号成立.因为，当每月生产台机器时，每台平均约为万元，每月生产台时，每台平均约为万元，故每月生产台时，每台医疗器材的平均利润最大为万元.（3），由，得，此时随增大而增大，由得，此时随增大而减小，或时，取得最大值.反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.4、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为元时，生产件产品的销售收入是（元），为每天生产件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件元进货后又以每件元销售， ，其中为最高限价，为销售乐观系数，据市场调查，是由当是，的比例中项时来确定.（1）每天生产量为多少时，平均利润取得最大值？并求的最大值；（2）求乐观系数的值；（3）若，当厂家平均利润最大时，求与的值.【答案】（1）400,200；（2）；（3），.【解析】试题分析：（1）先求出总利润＝，依据（平均利润＝总利润/总产量）可得，利用均值不等式得最大利润；（2）由已知得，结合比例中项的概念可得，两边同时除以将等式化为的方程，解出方程即可；（3）利用平均成本平均利润，结合厂家平均利润最大时（由（1）的结果）可得的值，利用可得的值.试题解析：（1）依题意总利润＝，＝，,  此时,,即，每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元 .（2）由得，是的比例中项，，两边除以得，  解得.             （3）厂家平均利润最大，元，每件产品的毛利为，，元，（元），元.