(新高考)高考数学一轮复习考点练习26《同角三角函数的基本关系及诱导公式》(解析版)
展开考点26 同角三角函数的基本关系及诱导公式
【命题解读】
理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπ+α(kZ),-α,π±α,±α].能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明
【基础知识回顾】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1;
(2)商数关系:tan α=. 平方关系对任意角都成立,而商数关系中α≠kπ+(k∈Z).
2.诱导公式
一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
2kπ+ α(k∈Z) | π+α | -α | π-α | -α | +α |
sin α | -sin α | -sin α | sin_α | cos_α | cos_α |
cos α | -cos α | cos α | -cos_α | sin_α | -sin_α |
tan α | tan α | -tan α | -tan_α |
|
|
3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,转化的一般步骤如下:
即:去负—脱周—化锐的过程.上述过程体现了转化与化归的思想方法.
4、三角形中的三角函数关系式
sin(A+B)=sin(π-C)=sinC;
cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC;
tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC;
sin=sin=cos;
cos=cos=sin.
1、是第三象限角,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为是第三象限角,且,
所以,所以,故选B。
2、已知,则( )
A. B.6 C. D.
【答案】B
【解析】化简
所以,故选B。
3、sin 600°+tan 240°的值为( )
A. B. C. D.
【答案】:C
【解析】:sin 600°+tan 240°=sin(720°-120°)+tan(180°+60°)=-sin 120°+tan 60°
=-+=.
4、已知sin=,则cos等于( )
A. B. C.- D.-
【答案】:B
【解析】:因为sin=,所以cos=sin=sin=.
5、化简:的值为( )
A. B. C. D.
【答案】:B
【解析】:原式====-1.
6、 sin ·cos ·tan的值为( )
A. B. C. D.
【答案】: A
【解析】:原式=sin·cos·tan=··
=××(-)=-.
考向一 三角函数的诱导公式
例1、已知α是第三象限角,且f(α)=.
(1)若cos=,求f(α)的值;
(2)若α=-1 860°,求f(α)的值.
【解析】:f(α)==-cosα.
(1) ∵ cos=-sinα=,∴ sinα=-.
∵ α是第三象限的角,
∴ cosα=-=-.
∴f(α)=-cosα=.
(2) f(α)=-cos(-1860°)=-cos(-60°)=-.
变式1、角的终边在直线上,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为角的终边在直线上,,
则,故选C。
变式2、 已知sin(3π+θ)=,则+
=__ __.
【答案】18
【解析】 ∵sin(3π+θ)=-sinθ=,∴sinθ=-,
∴原式=+
=+
=+====18.
变式3、已知f(α)=(sin α≠0且1+2sin α≠0),则f=________.
【答案】
【解析】∵f(α)=
===,
∴f====.
方法总结:1、熟知将角合理转化的流程
也就是:“负化正,大化小,化到锐角就好了.”
2.明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦,统一名.
(2)用诱导公式,统一角.
(3)用因式分解将式子变形,化为最简.
考向二 同角函数关系式的运用
例2 (1)若α是三角形的内角,且tanα=-,则sinα+cosα的值为_ __.
(2)已知sinαcosα=,且<α<,则cosα-sinα的值为__ __.
【答案】(1)-.(2).
【解析】 (1)由tanα=-,得sinα=-cosα,将其代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=1,∴cos2α=,易知cosα<0,∴cosα=-,sinα=,故sinα+cosα=-.
(2)∵<α<,∴cosα<0,sinα<0且cosα>sinα,∴cosα-sinα>0.又(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×=,∴cosα-sinα=.
变式1、若3sinα+cosα=0,则= ___.
【答案】.
【解析】 (1)3sinα+cosα=0⇒cosα≠0⇒tanα=-,====.
变式2、(1)若tan(α-π)=,则=( )
A.- B.-2 C. D.2
(2)已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ等于( )
A.- B. C.- D.
【答案】 (1)D (2)D
【解析】(1)tan(α-π)=-tan(π-α)=tan α=,
====2.
(2)sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ==,
又tan θ=2,故原式==.
方法总结:本题考查同角三角函数的关系式.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可以实现角α的弦切互化,如果没有给出角的范围,则要分类讨论.应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.所求式是关于sinα,cosα的齐次式时,分子分母同除以cosα,可化成tanα的函数式求值.本题考查运算求解能力,考查函数与方程思想.
考向三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用
例3、已知cos(75°+α)=,且α是第三象限角,求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值.
【解析】:因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α),
由于α是第三象限角,所以sin(75°+α)<0,
所以sin(75°+α)=.
因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°- (75°+α)]= -cos(75°+α)=-,
所以cos(15°-α)+sin(α-15°)= .
变式1、已知sin(3πα)=cos,cos(α)=cos(π+β),0<α<π,0<β<π,求α,β的值.
【解析】:由已知等式可得sin α=sin β,①
cos α=cos β.②
两式平方相加,得sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β=2,即sin2α+3(1-sin2α)=2,则sin α=±.
又因为0<α<π,所以sin α=,α=或.
当α=时,由①②可得sin β=,cos β=,
又0<β<π,所以β=;
当α=时,由①②可得sin β=,cos β=-,
又0<β<π,所以β=.
故或.
方法总结:1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
1、(2016新课标卷3,理5)若 ,则
(A) (B) (C) 1 (D)
【答案】A
【解析】由,得或,所以
,故选A.
2、(2016全国课标卷3,文6)若 ,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
3、(2012江西)若,则tan2α=( )
A.− B. C.− D.
【答案】B
【解析】分子分母同除得:∴,
∴
4、在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cosA=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.
【解析】 由已知得
①2+②2得2cos2A=1,即cosA=±.
(1)当cosA=时,cosB=,
又A、B是三角形的内角,∴A=,B=,
∴C=π-(A+B)=π.
(2)当cosA=-时,cosB=-.
又A、B是三角形的内角,
∴A=π,B=π,不合题意.
综上知,A=,B=,C=π.
5、已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根分别是sinθ和cosθ,θ∈(0,2π),求:
(1)+的值;
(2)m的值;
(3)方程的两根及此时θ的值.
【解析】 (1)原式=+=
+==sinθ+cosθ.
由条件知sinθ+cosθ=,故+=.
(2)由已知,得sinθ+cosθ=,sinθcosθ=,
又1+2sinθcosθ=(sinθ+cosθ)2,可得m=.
(3)由得
或又θ∈(0,2π),故θ=或θ=.
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