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    (新高考)高考数学一轮复习考点练习26《同角三角函数的基本关系及诱导公式》(解析版)

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    这是一份(新高考)高考数学一轮复习考点练习26《同角三角函数的基本关系及诱导公式》(解析版),共9页。

    考点26 同角三角函数的基本关系及诱导公式

    【命题解读】

    理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπα(kZ),-απ±α±α].能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明

    基础知识回顾 

    1.同角三角函数的基本关系

    (1)平方关系:sin2αcos2α1

    (2)商数关系:tan α. 平方关系对任意角都成立,而商数关系中αkπ(kZ)

    2.诱导公式

     

    2kπ

    α(kZ)

    πα

    α

    πα

    α

    α

    sin α

    sin α

    sin α

    sin_α

    cos_α

    cos_α

    cos α

    cos α

    cos α

    cos_α

    sin_α

    sin_α

    tan α

    tan α

    tan α

    tan_α

     

     

     

    3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数转化的一般步骤如下:

    即:去负脱周化锐的过程.上述过程体现了转化与化归的思想方法.

     

    4三角形中的三角函数关系式

    sin(AB)sin(πC)sinC

    cos(AB)cos(πC)=-cosC

    tan(AB)tan(πC)=-tanC

    sinsincos

    cos=cos=sin.

    1是第三象限角,且,则(  )

    A B C D

    【答案】B

    【解析】因为是第三象限角,且

    所以,所以故选B

    2已知,则  

    A B6 C D

    【答案】B

    【解析】化简

    所以故选B

    3sin 600°tan 240°的值为(    

     A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】sin 600°tan 240°sin(720°120°)tan(180°60°)=-sin 120°tan 60°

    =-

    4已知sin,则cos等于(  )

    A.   B.  C.-  D.-

    【答案】B

    【解析】因为sin,所以cossinsin.

    5化简:的值为(    

     A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】:原式==-1

    6 sin ·cos ·tan的值为(    

     A.  B.  C.  D.

    【答案】 A

    【解析】:原式=sin·cos·tan··

    ××()=-.

    考向一 三角函数的诱导公式

    1已知α是第三象限角,且f(α)

    (1)cos,求f(α)的值;

    (2)α=-1 860°,求f(α)的值.

     

    【解析】f(α)=-cosα

    (1) cos=-sinα sinα=-

    α是第三象限的角,

    cosα=-=-

    f(α)=-cosα

    (2) f(α)=-cos(1860°)=-cos(60°)=-

    变式1的终边在直线上,则 

    A B C D

    【答案】C

    【解析】因为的终边在直线上,

    ,故选C

    变式2 已知sin(3πθ)

    __     __

     

    答案18

    【解析】 sin(3πθ)=-sinθsinθ=-

    原式=

    18.

     

    变式3已知f(α)(sin α012sin α0),则f________.

    【答案】

    【解析】f(α)

    f.

     

    方法总结:1熟知将角合理转化的流程

    也就是:负化正,大化小,化到锐角就好了.

    2.明确三角函数式化简的原则和方向

    (1)切化弦,统一名.

    (2)用诱导公式,统一角.

    (3)用因式分解将式子变形,化为最简.

    考向二  同角函数关系式的运用

    2 (1)α是三角形的内角tanα=-sinαcosα的值为_  __

    (2)已知sinαcosααcosαsinα的值为__ __

    【答案】1.2.

    【解析】 (1)tanα=-sinα=-cosα将其代入sin2αcos2α1cos2α1cos2α易知cosα0cosα=-sinαsinαcosα=-.

    (2)αcosα0sinα0cosαsinαcosαsinα0.(cosαsinα)212sinαcosα12×cosαsinα.

    变式13sinαcosα0   ___

    【答案】.

    【解析】 (1)3sinαcosα0cosα0tanα=-.

     变式2(1)tan(απ),则(  )

    A.   B.2   C.   D.2

    (2)已知tan θ2,则sin2θsin θcos θ2cos2θ等于(  )

    A.   B.   C.   D.

    【答案】 (1)D (2)D

    【解析】(1)tan(απ)=-tan(πα)tan α

    2.

    2sin2θsin θcos θ2cos2θ

    tan θ2,故原式=.

    方法总结:本题考查同角三角函数的关系式.利用sin2αcos2α1可以实现角α的正弦、余弦的互化利用tanα可以实现角α的弦切互化如果没有给出角的范围则要分类讨论.应用公式时注意方程思想的应用:对于sinαcosαsinαcosαsinαcosα这三个式子利用(sinα±cosα)21±2sinαcosα可以知一求二.所求式是关于sinαcosα的齐次式时分子分母同除以cosα可化成tanα的函数式求值.本题考查运算求解能力考查函数与方程思想.

    考向三  同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用

    3已知cos(75°+α)=α是第三象限角cos(15°-α)+sin(α-15°)的值

     

    【解析】因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)

    由于α是第三象限角所以sin(75°+α)<0

    所以sin(75°+α)=

    因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°- (75°+α)]= -cos(75°+α)=-

    所以cos(15°-α)+sin(α-15°)=

    变式1已知sin(3πα)=coscos(α)=cos(π+β)0<α0<β,求αβ的值.

     

    【解析】由已知等式可得sin α=sin β

    cos α=cos β

    两式平方相加,得sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β=2,即sin2α+3(1-sin2α)=2,则sin α

    又因为0<α,所以sin α=α=

    α=时,由①②可得sin β=cos β=

    0<β,所以β=;

    α=时,由①②可得sin β=cos β=-

    0<β,所以β=

    方法总结:1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.

    2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.

            

    1、(2016新课标卷3,理5)若 ,则

    (A)            (B)            (C)  1            (D)

    【答案】A

    【解析】,得,所以

    ,故选A

    2、(2016全国课标卷3,文6)若 ,则     

    A    B      C     D

    【答案】D

    3(2012江西),则tan2α= 

    A        B        C        D

    【答案】B

    【解析】分子分母同除得:

     

    4ABCsin(2πA)=-sin(πB)cosA=-cos(πB)ABC的三个内角.

     

    【解析】 由已知得

    222cos2A1cosA±.

    (1)cosAcosB

    AB是三角形的内角AB

    Cπ(AB)π.

    (2)cosA=-cosB=-.

    AB是三角形的内

    AπBπ不合题意.

    综上知ABCπ.

    5已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根分别是sinθcosθθ(02π)求:

    (1)的值;

    (2)m的值;

    (3)方程的两根及此时θ的值.

    【解析】 (1)原式=

    sinθcosθ.

    由条件知sinθcosθ.

    (2)由已知sinθcosθsinθcosθ

    12sinθcosθ(sinθcosθ)2可得m.

    (3)

    θ(02π)θθ.

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