(新高考)高考数学一轮复习考点练习28《三角恒等变换（2）》（解析版）

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考点28  三角恒等变换（2）【命题解读】运用两角和与差以及二倍角进行化简求值；能熟练解决变角问题；能熟练的运用公式进行求角【基础知识回顾】  知识梳理1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．2. 要注意对“1”的代换：如1＝sin2α＋cos2α＝tan，还有1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.3. 对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±.4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，是的半角，是的倍角等．5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.则－≤y≤.(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．(3)y＝(或y＝)可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式．(2)y＝asinx＋(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解． 1、若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)A.　　　　　　　　　 B.C.或  D.或【答案】A　【解析】∵α∈，∴2α∈，∵sin 2α＝，∴2α∈.∴α∈且cos 2α＝－.又∵sin(β－α)＝，β∈，∴β－α∈，cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝×－×＝，又∵α＋β∈，∴α＋β＝.2、已知α，β∈，若sin＝，cos＝，则sin(α－β)的值为____________．A．    B.    C.    D．【答案】：A【解析】：由题意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin(β－)＝－，所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－＝． 3、已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.【答案】【解析】因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.又sin α＝，所以cos α＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.所以β＝. 4、(一题两空)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.则cos(α－β)＝________，2α－β＝________.【答案】－　－【解析】由题意，OA＝OM＝1，因为S△OAM＝和α为锐角，所以sin α＝，cos α＝.又点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.因为cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，所以2α∈.因为β∈，所以2α－β∈.因为sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝－，所以2α－β＝－.5、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】若，则______．【答案】【解析】，，，化为：，，，解得．，故答案为考向一　变角的运用例1、（2020江苏苏州五校12月月考）已知，，则的值为______．【答案】【解析】，，又，，，， =．变式1、【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考】已知为锐角，且，则__________．【答案】【解析】因为为锐角，，则，所以，         .故答案为： .变式2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b.(1) 求tan的值；(2) 求cos的值．【解析】 (1) 因为a＝(sina，)，b＝，且a⊥b.所以sina＋cosα＝，所以sin＝.2分因为α∈，所以α＋∈，(4分)所以cos＝，故sin＝＝所以tan＝.(6分)(2) 由(1)得cos＝2cos2－1＝2×－1＝.(8分)因为α∈，所以2α＋∈，所以sin＝.(10分)所以cos＝coscos－sinsin(12分)＝.(14分)方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。考向二  求角例2、(2019苏州期初调查）已知cosα＝，α∈.(1) 求sin的值；(2) 若cos(α＋β)＝，β∈，求β的值．【解析】  (1) 由cosα＝，α∈，得sinα＝＝＝.(2分)所以sin＝sincosα＋cossinα(4分)＝×＋×＝.(6分)(2) 因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)．又cos(α＋β)＝，则sin(α＋β)＝＝＝.(8分)所以sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα(10分)＝×－×＝.(12分)因为β∈，所以β＝.(14分)变式1、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．求：(1) tan(α＋β)的值；(2) α＋2β的大小．【解析】： 由条件得cosα＝，cosβ＝．∵ α，β为锐角，∴ sinα＝＝，sinβ＝＝．因此tanα＝＝7，tanβ＝＝．(1) tan(α＋β)＝＝＝－3．(2) ∵ tan2β＝＝＝，∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1．∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝．变式2、（2020江苏扬州高邮上学期开学考）在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边上有一点．(1)求的值；(2)若，且，求角的值．【解析】(1)角的终边上有一点P∴，，∴，，∴．(2)由，得，∵，∴，则，因，则．方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。考向三 公式的综合运用 例3、【江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研】已知函数，（1）求的最小正周期和单调递减区间。（2）若方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。【解析】（1） ∴ 由，解得：∴的单调递减区间为：          （2）即在区间上的图象与直线有两个不同的交点．由（1）知：在上单调减，在上单调增，∴，，              ∴当时，在区间上的图象与直线有两个不同的交点，即方程在区间上两个不同的实数解．∴的取值范围为．      变式1、（2020江苏淮安楚州中学月考）已知函数．(1)求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量x的取值集合；(2)若，求函数的单调增区间．【解析】(1) ．  当，即时，取得最小值0．此时，取得最小值时自变量x的取值集合为．(2)因为，令，  解得，又，令，，令，，所以函数在的单调增区间是和．变式2、（2020江苏如东高级中学月考）已知函数．若，求函数的值域．【解析】，由得，，．∴，即函数的值域为．方法总结：降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．1、（2016•新课标Ⅱ，理9）若，则　　A． B． C． D．【答案】D【解析】法，，法，，，故选．2、（2011浙江）若，，，，则 A．     B．     C．    D．【答案】C【解析】，而，，因此，，则．3、（2015江苏）已知，，则的值为_______．【答案】3【解析】．4、（2012江苏）设为锐角，若，则的值为    ．【答案】【解析】 因为为锐角，cos(=，∴sin(=，∴sin2(cos2(，所以sin(．5、（2013广东）已知函数．(1) 求的值；(2) 若，求．【解析】（1）（2）<θ<2π，所以，因此6、（2019年高考浙江卷）设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域．【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，即，故，所以．又，因此或．（2）．因此，函数的值域是．7、（2017年高考浙江卷）已知函数．（1）求的值．（2）求的最小正周期及单调递增区间．【解析】（1）由，，．得．（2）由与得．所以的最小正周期是．由正弦函数的性质得，解得，所以，的单调递增区间是．8、（2018年高考浙江卷）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（1）求sin（α+π）的值；（2）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解析】（1）由角的终边过点得，所以.（2）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.9、【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考】已知．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数，的值域．【答案】（1）最小正周期为（2）【解析】（1），，所以函数的最小正周期为，（2），，因为，所以，所以，所以函数的值域为.