(新高考)高考数学一轮复习考点练习30《y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质》（解析版）

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考点30 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质

【命题解读】
三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主
【基础知识回顾】
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋
φ)(A＞0，
ω＞0)，x∈R




振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
_ωx＋φ_
_φ_
2. 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x





ωx＋φ
__0__

__π__

__2π__
y＝Asin(ωx
＋φ)
0
A
0
－A
0
3. 函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：


4、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有：
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．


1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

【答案】A
【解析】：令x＝0得y＝sin＝－，排除B，D项，
由f ＝0，f ＝0，排除C项，故选A.
2．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】：y＝sin＝sin 2，故将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin的图象．
3、 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则f的值为( )

第1题图
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. －　 B. －　 C. －　 D. －1
【答案】D
【解析】　由图象可得A＝，最小正周期T＝4×
＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，得φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1.故选D.
4、(2018苏北四市期末） 若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数ω的值为________．
【答案】、. 4　
【解析】、由题意得函数f(x)的最小正周期T＝－＝，从而ω＝4.
5、(2018镇江期末） 函数y＝3sin的图象两相邻对称轴的距离为________．
【答案】、 　
【解析】、由题知函数最小正周期T＝＝π.图象两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即.
6、（2020江苏镇江期中考试）设函数为参数，且的部分图象如图所示，则的值为______．

【答案】
【解析】由图象可得最小正周期：，即，，
又，，，，，又，，本题正确结果：．
7、 已知函数的图象C1向左平移个单位得到图象C2，则C2在[0，π]上的单调减区间是________．
【答案】：[，π]
【解析】、：由题设可知C2的曲线方程，令，得．令k＝0得C2在[0，π]上的单减区间为[，π]．


考向一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其变换
设函数的周期为．
(1) 求它的振幅、初相；
(2) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3) 说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

【解析】：(1)

,
∵ T＝π，∴ ＝π，即ω＝2．
∴．
∴ 函数的振幅为2，初相为．
(2) 令X＝2x＋，则．
列表，并描点画出图象：

x
－




X
0

π

2π

0
1
0
－1
0

0
2
0
－2
0

(3) (解法1)把的图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象；再把的图象上的点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到的图象；最后把上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到的图象．
(解法2)将的图象上每一点的横坐标x变为原来的，纵坐标不变，得到的图象；再将的图象向左平移个单位，得到的图象；再将的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的图象．
变式1、已知函数y＝2sin.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．
【解析】　(1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.
(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.

列表如下：
x
－




X
0

π

2π
y＝sinX
0
1
0
－1
0
y＝2sin(2x＋)
0
2
0
－2
0
描点画出图象，如图所示：

(3)(方法1)把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
(方法2)将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图象．
变式2、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】A
【解析】
不妨设函数的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到函数的图象．
于是，函数平移个单位后得到函数，，即，
所以有，，取，．答案为A．
变式3、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】D
【解析】
把的图象向左平移个单位长度，得的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得图象的函数式为，
，∴，
∴．
故选：D.
变式4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则a的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意知，，
其图象向左平移a个单位得到函数，
而函数，所以有
，取得.答案选C.

方法总结：1．y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
2．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
考向二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2、下图为函数的一段图象．
(1) 请写出这个函数的一个解析式；
(2) 求与(1)中函数图象关于直线对称的函数图象的解析式．

【解析】
：(1) 又A＝3，
由的图象过，
∴， (φ为其中一个值)．
∴为所求．
(2) 设为所求函数图象上任意一点，该点关于直线的对称点为，
则点必在函数的图象上．
∴ ，
即，
∴与的图象关于直线对称的函数图象的解析式是
．
变式1、(2019苏北四市期末） 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB＝5，则ω的值为________．

【答案】、 　
【解析】、如图，过点A作垂直于x轴的直线AM，过点B作垂直于y轴的直线BM，直线AM和直线BM相交于点M，在Rt△AMB中，AM＝4，BM＝·＝，AB＝5，由勾股定理得AM2＋BM2＝AB2，所以16＋2＝25，＝3，ω＝.

变式2、(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin
(2)(2019·皖南八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________________.
【答案】、　(1)B　(2)sin
【解析】、(1)由题图可知A＝2，T＝2×＝4π，故＝4π，解得ω＝.
所以f(x)＝2sin.
把点代入可得2sin＝2，
即sin＝1，
所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．
又0<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)＝2sin.
(2)依题意得 ＝2，
则＝2，即ω＝，
所以f(x)＝sin，由于该函数图象过点，因此sin(π＋φ)＝－，即sin φ＝，而－≤φ≤，故φ＝，所以f(x)＝sin.

方法总结：确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有以下2种：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
考向三 三角函数图象与性质的综合问题
例3、（多选题）（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．的图象可由的图象向右平移得到
C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】
的最小正周期为，故也是其周期，故A正确；
的图象可由的图象向右平移得到，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD
变式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数的图象过点，则( )
A．把的图象向右平移个单位得到函数的图象
B．函数在区间上单调递减
C．函数在区间内有五个零点
D．函数在区间上的最小值为1
【答案】D
【解析】
因为函数的图象过点，
所以，因此，
所以，
因此；
A选项，把的图象向右平移个单位得到函数的图象，故A错；
B选项，由得，即函数的单调递减区间是：，故B错；
C选项，由得，即，
因此，所以，共四个零点，故C错；
D选项，因为，所以，因此，所以，即的最小值为1，故D正确；
故选：D.
变式2、（多选题）（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数的描述正确的是（ ）
A．其图象可由的图象向左平移个单位得到
B．在单调递增
C．在有2个零点
D．在的最小值为
【答案】ACD
【解析】
由题：，
由的图象向左平移个单位，
得到，所以选项A正确；
令，得其增区间为
在单调递增，在单调递减，所以选项B不正确；
解，得：，，
所以取，所以选项C正确；
，，
所以选项D正确.
故选：ACD
变式3、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，，
又因为的图象关于对称，
所以，即，
因为，所以的最小值为.
故选：A.
方法总结：三角函数性质的综合问题：主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用．
函数零点(方程根)问题：三角函数图象与x轴(或y＝a)的交点，即数形之间的转化问题．

1、【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵为奇函数，∴；
又∴，
又，∴，
∴，故选C.
2、【2018年高考天津理数】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为.
则函数的单调递增区间满足，即，
令可得一个单调递增区间为.
函数的单调递减区间满足：，即，
令可得一个单调递减区间为：.
故选A.
3、【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.
4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的值域与的值域不相同
B．把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象
C．函数和在区间上都是增函数
D．若是函数的极值点，则是函数的零点
【答案】CD
【解析】
∵函数f（x）＝sinx﹣cosxsin（x）
∴g（x）＝f'（x）＝cosx+sinxsin（x），
故函数函数f（x）的值域与g（x）的值域相同，
且把函数f（x）的图象向左平移个单位，就可以得到函数g（x）的图象，
存在x0=，使得函数f（x）在x0处取得极值且是函数的零点，
函数f（x）在上为增函数，g（x）在上也为增函数，∴单调性一致，
故选：CD．
5、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递减
D．函数图象关于点对称
【答案】ABD
【解析】
函数的图象向右平移个单位长度得到.
由于，故是的对称轴，B选项正确.
由于，故是的对称中心，D选项正确.
由，解得，即在区间上递增，故A选项正确、C选项错误.
故选：ABD.
6、【2020江苏南京上学期开学考试】函数(A＞0，＞0)的部分图象如图所示．若函数在区间[m，n]上的值域为[，2]，则n﹣m的最小值是_______．

【答案】3．
【解析】由图象知：，，又，，
，，，，
当时，或，，或，；
当时，，，，若最小，则，，本题正确结果：．
7、【2017年高考山东卷理数】设函数，其中.已知.
（1）求；
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【解析】（1）因为，
所以


.
由题设知，
所以，.
故，，
又，
所以.
（2）由（1）得.
所以.
因为，
所以，
所以当，即时，取得最小值.