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2023届新高考高三物理一轮复习学案19 万有引力定律及其应用
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这是一份2023届新高考高三物理一轮复习学案19 万有引力定律及其应用，共13页。
第4讲 万有引力定律及其应用
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点1 开普勒三定律
开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
注意：面积定律是对同一个行星而言的，不同的行星相等时间内扫过的面积不等。
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等，即＝k。
(1)对于椭圆轨道，公式＝k中的a是半长轴，即长轴的一半，注意椭圆轨道的对称性；
(2)对于圆轨道，公式＝k中的a是轨道半径，圆周上的任何位置，万有引力等于向心力；
(3)公式＝k中的k是一个只与中心天体的质量有关的量，与行星的质量无关。
知识点2 万有引力定律
1．内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，引力的大小跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。
2．公式：F＝G，G为万有引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件：适用于相距很远，可以看作质点的物体之间的相互作用。质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可用此公式计算，其中r为两球心之间的距离。
思考：卡文迪什把他的实验说成是可以“称量地球的质量”。阅读教材，怎样通过推导公式来证明卡文迪什的实验是能够称量地球质量的。
[答案] 若忽略地球自转的影响，则mg＝G，由此得到M＝。地球表面的重力加速度g和地球半径R在卡文迪什之前就已知道，卡文迪什通过实验测得了引力常量G，所以就可以算出地球的质量M。
知识点3 人造卫星
表达式：应用万有引力定律分析天体运动的方法
G＝ma＝m＝mrω2＝mr()2
应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算。
基本特征：把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。
知识点4 宇宙速度
1．第一宇宙速度(环绕速度)
指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，是人造卫星的最小发射速度，也是最大的线速度，其大小为v1＝7.9 km/s。
2．第二宇宙速度
在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度。其大小为v2＝11.2 km/s。
3．第三宇宙速度
在地面上发射物体，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，其大小为v3＝16.7 km/s。
思考：
发射卫星，要有足够大的速度才行，请思考：
(1)不同星球的第一宇宙速度是否相同？如何计算第一宇宙速度？
(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？
[答案] (1)不同。围绕星球表面运转卫星的线速度即为第一宇宙速度。
(2)越大。
双基自测
一、堵点疏通
1．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。( × )
2．牛顿根据前人的研究成果得出了万有引力定律，并测量得出了万有引力常量。( × )
3．人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。( √ )
4．在地球上，若汽车的速度达到7.9 km/s，则汽车将飞离地面。( √ )
5．“嫦娥四号”探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则周期较小的轨道半径一定较小。( √ )
二、对点激活
1．(多选)最近，美国夏威夷大学UHIFA发现了一颗行星，这是一颗非常特别的天体，它的质量和体积都非常大，足足有木星的三倍，称之为开普勒—88d(如图)。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是( AD )
A．所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，行星运动的方向总是沿椭圆轨道的切线方向
B．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，行星运动过程中速度大小不变
C．所有的行星围绕太阳运动的轨道都是圆，行星运动的方向总是与它和太阳连线垂直
D．开普勒第三定律＝k，月亮围绕地球运动的k值与人造卫星围绕地球运动的k值相同
[解析] 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，物体做曲线运动，运动的方向总是沿轨道的切线方向，选项A正确；对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，近日点速率大，远日点速率小，选项B错误；所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，根据物体做曲线运动的条件，行星运动的方向不总是与它和太阳连线垂直，选项C错误；公式中的k值由中心天体决定，只要是中心天体一样，k值一样，选项D正确。
2．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( D )
A B
C D
[解析] 由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。
3．(2021·辽宁高三月考)我国研制的全球首颗搭载主动激光雷达的大气环境监测卫星，将于2021年7月出厂待发射。与地球同步轨道卫星(图中卫星1)不同，大气环境监测卫星(图中卫星2)是轨道平面与赤道平面夹角接近90°的卫星，一天内环绕地球飞14圈，运行轨道均视为圆。下列说法正确的是( C )
A．卫星1的周期小于卫星2的周期
B．卫星1与卫星2距离地面高度相同
C．卫星1的速度小于卫星2的速度
D．卫星1的向心加速度大于卫星2的向心加速度
[解析] 由题意知卫星1的周期为24 h，大于卫星2的周期，故A错误；根据＝mr，得T＝2π，即半径r越大，周期越大，故卫星2的轨道半径小于卫星1的轨道半径；卫星1离地高度大于卫星2距离地面高度，根据＝m，得v＝，故卫星2的速度大于卫星1的速度，故B错误，C正确；根据＝ma，可知卫星1的向心加速度小于卫星2的向心加速度，故D错误。
核心考点·重点突破
考点一 中心天体质量和密度的估算
1．“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg，得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝mr，得M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝。故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
例1 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道处的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。则地球的密度为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 在两极处万有引力等于重力，则有mg0＝G，在赤道处，万有引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得G－mg＝mR，而密度公式ρ＝，V＝πR3，联立得ρ＝，故B正确，A，C，D错误。
名师点拨 万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F有两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
〔变式训练1〕(2021·广东高考卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( D )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
[解析] 根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得G＝m＝mω2r＝mr，可得M＝＝＝，可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。故选D。
〔变式训练2〕 有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)( D )
A． B．4倍
C．16倍 D．64倍
[解析] 设在星球表面处有一质量为m的物体，由G＝mg，可得g＝＝＝，由于星球表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，密度跟地球密度相同，因此该星球的半径是地球半径的4倍，又M＝ρ·πR3，可推得，该星球质量是地球质量的64倍。
考点二 人造卫星问题
1．人造卫星的运动规律
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝ma。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，称“黄金代换”。
(3)四个关系：人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。
＝ 越高越慢
2．地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据G＝mr得r＝＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
3．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
例2 (2021·重庆八中高三月考)2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。我国航天局发布了由“天问一号”拍摄的首张火星图像(如图)。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。下列说法正确的是( D )
A．火星的质量M＝
B．火星的质量M＝
C．火星表面的重力加速度的大小g＝
D．火星表面的重力加速度的大小g＝
[解析] 设“天问一号”的质量为m，则根据牛顿第二定律有G＝mr，解得M＝，故A、B错误；火星表面质量为m0的物体所受重力等于万有引力，则G＝m0g，解得g＝，故D正确，C错误。
〔变式训练3〕 (2021·江苏高三模拟)2021年4月29日，我国天宫空间站的“天和”核心舱发射成功，核心舱的运行轨道距地面高度为340～450 km，则核心舱( B )
A．运行速度大于第一宇宙速度
B．发射速度大于第一宇宙速度
C．运行周期大于地球自转周期
D．运行加速度大于地面的重力加速度
[解析] 根据G＝m，解得v＝，核心舱的运行轨道距地面高度为340～450 km，即轨道半径大于地球半径，运行速度小于第一宇宙速度，A错误；物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度叫作第一宇宙速度，在地面附近发射飞行器，如果速度等于7.9 km/s，飞行器恰好做匀速圆周运动。而发射越高，克服地球引力做功越大，需要的初动能也越大，故发射速度大于第一宇宙速度，B正确；根据G＝mr，解得T＝，核心舱的运行轨道距地面高度为340～450 km，即轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，运行周期小于地球同步卫星，同步卫星的周期和地球自转周期相等，运行周期小于地球自转周期，C错误；根据G＝ma，解得a＝，地面上的物体G＝mg，解得g＝，核心舱的运行轨道距地面高度为340～450 km，即轨道半径大于地球半径，运行加速度小于地面的重力加速度，D错误。
〔变式训练4〕 (2021·河北高三月考)随着北斗系统全面建成开通，北斗产业发展被列入国家“十四五”规划重点项目，北斗系统开启了全球化、产业化新征程。北斗系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星组成。如图所示，地球静止轨道卫星A与倾斜地球同步轨道卫星B距地面高度均约为36 000 km，中圆轨道卫星C距地面高度约为21 500 km。下列说法正确的是( C )
A．A与B运行的周期一定不同
B．A与B受到的向心力一定相同
C．B比C运行的角速度小
D．B比C运行的线速度大
[解析] A与B运行的轨道半径相同，根据G＝mr，可知周期一定相同，选项A错误；A与B的质量关系不确定，则不能确定受到的向心力大小关系，选项B错误；根据G＝mω2r，可得ω＝，因B比C运行的轨道半径大，则角速度小，选项C正确；根据G＝m，可得v＝，因B比C运行的轨道半径大，则B比C运行的线速度小，选项D错误。
名师讲坛·素养提升
多星运动模型
(一)双星模型
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝
(5)双星的运动周期T＝2π
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝
例3 (2021·四川高三月考)宇宙中两颗靠得比较近的星球，只受到彼此之间的万有引力作用绕两球心连线上某点绕转，称之为双星系统。设某双星系统中A、B两星球绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动。若A、B的质量分别为M、m，则( B )
A．星球A与星球B的轨道半径之比为M∶m
B．星球A与星球B的线速度大小之比为m∶M
C．星球A与星球B的周期大小之比为m∶M
D．若两星球间距离减小，则星球A做匀速圆周运动的周期变大
[解析] 如图，
＝mω2rB＝Mω2rA ，解得MrA＝mrB ，则A、B半径之比rA∶rB＝m∶M，故A错误；线速度v＝ωr，则A、B线速度大小之比为m∶M，故B正确；周期T＝，A、B周期大小之比为1∶1，故C错误；又因LAB＝rA＋rB ，与MrA＝mrB ，联立解得rA＝LAB，再由＝M2rA，解得TA＝，A、B间距离减小，则周期减小，故D错误。
名师点拨
万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，不可混淆。
(二)三星模型
1．直线模型
如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上。两行星转动的方向相同，角速度、线速度的大小相等。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：
＋＝ma。
2．三角形模型
如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。三颗行星转动的方向相同，角速度、线速度的大小相等。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星的万有引力的合力来提供：
×2×cos 30°＝ma
其中L＝2rcos 30°。
例4 (2021·河北高三模拟)宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是( C )
A．每颗星做圆周运动的线速度为
B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
D．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的2倍
[解析] 任意两颗星之间的万有引力F＝G，每一颗星受到的合力为F1＝F，由几何关系知：它们的轨道半径为r＝L，合力提供它们的向心力＝m，联立解得v＝，故A错误；根据＝ma，得a＝，故加速度与它们的质量有关，故B错误；根据＝m，解得T＝π，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍，故C正确；根据v＝可知，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度不变，故D错误。
2年高考·1年模拟
1．(2021·全国甲卷，18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( C )
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
[解析] 忽略火星自转则
＝mg ①
可知GM＝gR2
设与周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为r，由万引力提供向心力可知
＝mr②
设近火点到火星中心为R1＝R＋d1③
设远火点到火星中心为R2＝R＋d2④
由开普勒第三定律可知＝⑤
由以上分析可得d2≈6×107 m。故选C。
2．(2021·全国乙卷，18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量的黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( B )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
[解析] 可以近似把S2看成匀速圆周运动，由图可知，S2绕黑洞的周期T＝16年，地球的公转周期T0＝1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是r＝1 000R，地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知G＝mRω2＝mR2，解得太阳的质量为M＝，同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知G＝m′rω2＝m′r2，解得黑洞的质量为Mx＝。综上可得，Mx＝3.90×106M。故选B。
3．(2021·福建卷，3)人造地球卫星的轨道可近似为圆轨道。下列说法正确的是( D )
A．周期是24小时的卫星都是地球同步卫星
B．地球同步卫星的角速度大小比地球自转的角速度小
C．近地卫星的向心加速度大小比地球两极处的重力加速度大
D． 近地卫星运行的速率比地球表面赤道上的物体随地球自转的速率大
[解析] 人造地球卫星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力，则G＝m，故周期公式T＝2π，可知周期为24 h的卫星，其轨道半径和地球同步卫星轨道半径相同，但不一定都是地球同步卫星，A错误；地球同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，B错误；由G＝ma知近地卫星的向心加速度大小a＝，地球两极处的重力加速度大小g＝，故近地卫星的向心加速度大小等于地球两极处的重力加速度大小，C错误；由＝得v＝，可知近地卫星的运行速率大于地球同步卫星运行的速率；根据v＝ωr可知，地球同步卫星运行的速率大于地球表面赤道上的物体随地球自转的速率，所以近地卫星运行速率比地球表面赤道上的物体随地球自转的速率大，D正确。
4．(2021·河北卷，4)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 绕中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得＝mr，则T＝，r＝，由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则飞船的轨道半径r飞＝＝＝r同，则＝。故选D。
5．(2021·湖南卷，7)(多选)2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是( AC )
A．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的2倍
B．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9 km/s
C．核心舱在轨道上飞行的周期小于24 h
D．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
[解析] 根据万有引力定律有F＝G，核心舱进入轨道后的万有引力与地面上万有引力之比为＝＝2，所以A正确；核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9 km/s，因为第一宇宙速度是最大的环绕速度，所以B错误；根据T＝2π，可知轨道半径越大周期越大，则其周期比同步卫星的周期小，小于24 h，所以C正确；卫星做圆周运动时万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，则卫星的环绕速度与卫星的质量无关，所以变轨时需要点火减速或者点火加速，增加质量不会改变轨道半径，所以D错误。故选A、C。
第4讲 万有引力定律及其应用
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点1 开普勒三定律
开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
注意：面积定律是对同一个行星而言的，不同的行星相等时间内扫过的面积不等。
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等，即＝k。
(1)对于椭圆轨道，公式＝k中的a是半长轴，即长轴的一半，注意椭圆轨道的对称性；
(2)对于圆轨道，公式＝k中的a是轨道半径，圆周上的任何位置，万有引力等于向心力；
(3)公式＝k中的k是一个只与中心天体的质量有关的量，与行星的质量无关。
知识点2 万有引力定律
1．内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，引力的大小跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。
2．公式：F＝G，G为万有引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件：适用于相距很远，可以看作质点的物体之间的相互作用。质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可用此公式计算，其中r为两球心之间的距离。
思考：卡文迪什把他的实验说成是可以“称量地球的质量”。阅读教材，怎样通过推导公式来证明卡文迪什的实验是能够称量地球质量的。
[答案] 若忽略地球自转的影响，则mg＝G，由此得到M＝。地球表面的重力加速度g和地球半径R在卡文迪什之前就已知道，卡文迪什通过实验测得了引力常量G，所以就可以算出地球的质量M。
知识点3 人造卫星
表达式：应用万有引力定律分析天体运动的方法
G＝ma＝m＝mrω2＝mr()2
应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算。
基本特征：把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。
知识点4 宇宙速度
1．第一宇宙速度(环绕速度)
指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，是人造卫星的最小发射速度，也是最大的线速度，其大小为v1＝7.9 km/s。
2．第二宇宙速度
在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度。其大小为v2＝11.2 km/s。
3．第三宇宙速度
在地面上发射物体，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，其大小为v3＝16.7 km/s。
思考：
发射卫星，要有足够大的速度才行，请思考：
(1)不同星球的第一宇宙速度是否相同？如何计算第一宇宙速度？
(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？
[答案] (1)不同。围绕星球表面运转卫星的线速度即为第一宇宙速度。
(2)越大。
双基自测
一、堵点疏通
1．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。( × )
2．牛顿根据前人的研究成果得出了万有引力定律，并测量得出了万有引力常量。( × )
3．人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。( √ )
4．在地球上，若汽车的速度达到7.9 km/s，则汽车将飞离地面。( √ )
5．“嫦娥四号”探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则周期较小的轨道半径一定较小。( √ )
二、对点激活
1．(多选)最近，美国夏威夷大学UHIFA发现了一颗行星，这是一颗非常特别的天体，它的质量和体积都非常大，足足有木星的三倍，称之为开普勒—88d(如图)。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是( AD )
A．所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，行星运动的方向总是沿椭圆轨道的切线方向
B．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，行星运动过程中速度大小不变
C．所有的行星围绕太阳运动的轨道都是圆，行星运动的方向总是与它和太阳连线垂直
D．开普勒第三定律＝k，月亮围绕地球运动的k值与人造卫星围绕地球运动的k值相同
[解析] 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，物体做曲线运动，运动的方向总是沿轨道的切线方向，选项A正确；对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，近日点速率大，远日点速率小，选项B错误；所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，根据物体做曲线运动的条件，行星运动的方向不总是与它和太阳连线垂直，选项C错误；公式中的k值由中心天体决定，只要是中心天体一样，k值一样，选项D正确。
2．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( D )
A B
C D
[解析] 由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。
3．(2021·辽宁高三月考)我国研制的全球首颗搭载主动激光雷达的大气环境监测卫星，将于2021年7月出厂待发射。与地球同步轨道卫星(图中卫星1)不同，大气环境监测卫星(图中卫星2)是轨道平面与赤道平面夹角接近90°的卫星，一天内环绕地球飞14圈，运行轨道均视为圆。下列说法正确的是( C )
A．卫星1的周期小于卫星2的周期
B．卫星1与卫星2距离地面高度相同
C．卫星1的速度小于卫星2的速度
D．卫星1的向心加速度大于卫星2的向心加速度
[解析] 由题意知卫星1的周期为24 h，大于卫星2的周期，故A错误；根据＝mr，得T＝2π，即半径r越大，周期越大，故卫星2的轨道半径小于卫星1的轨道半径；卫星1离地高度大于卫星2距离地面高度，根据＝m，得v＝，故卫星2的速度大于卫星1的速度，故B错误，C正确；根据＝ma，可知卫星1的向心加速度小于卫星2的向心加速度，故D错误。
核心考点·重点突破
考点一 中心天体质量和密度的估算
1．“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg，得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝mr，得M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝。故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
例1 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道处的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。则地球的密度为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 在两极处万有引力等于重力，则有mg0＝G，在赤道处，万有引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得G－mg＝mR，而密度公式ρ＝，V＝πR3，联立得ρ＝，故B正确，A，C，D错误。
名师点拨 万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F有两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
〔变式训练1〕(2021·广东高考卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( D )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
[解析] 根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得G＝m＝mω2r＝mr，可得M＝＝＝，可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。故选D。
〔变式训练2〕 有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)( D )
A． B．4倍
C．16倍 D．64倍
[解析] 设在星球表面处有一质量为m的物体，由G＝mg，可得g＝＝＝，由于星球表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，密度跟地球密度相同，因此该星球的半径是地球半径的4倍，又M＝ρ·πR3，可推得，该星球质量是地球质量的64倍。
考点二 人造卫星问题
1．人造卫星的运动规律
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝ma。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，称“黄金代换”。
(3)四个关系：人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。
＝ 越高越慢
2．地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据G＝mr得r＝＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
3．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
例2 (2021·重庆八中高三月考)2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。我国航天局发布了由“天问一号”拍摄的首张火星图像(如图)。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。下列说法正确的是( D )
A．火星的质量M＝
B．火星的质量M＝
C．火星表面的重力加速度的大小g＝
D．火星表面的重力加速度的大小g＝
[解析] 设“天问一号”的质量为m，则根据牛顿第二定律有G＝mr，解得M＝，故A、B错误；火星表面质量为m0的物体所受重力等于万有引力，则G＝m0g，解得g＝，故D正确，C错误。
〔变式训练3〕 (2021·江苏高三模拟)2021年4月29日，我国天宫空间站的“天和”核心舱发射成功，核心舱的运行轨道距地面高度为340～450 km，则核心舱( B )
A．运行速度大于第一宇宙速度
B．发射速度大于第一宇宙速度
C．运行周期大于地球自转周期
D．运行加速度大于地面的重力加速度
[解析] 根据G＝m，解得v＝，核心舱的运行轨道距地面高度为340～450 km，即轨道半径大于地球半径，运行速度小于第一宇宙速度，A错误；物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度叫作第一宇宙速度，在地面附近发射飞行器，如果速度等于7.9 km/s，飞行器恰好做匀速圆周运动。而发射越高，克服地球引力做功越大，需要的初动能也越大，故发射速度大于第一宇宙速度，B正确；根据G＝mr，解得T＝，核心舱的运行轨道距地面高度为340～450 km，即轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，运行周期小于地球同步卫星，同步卫星的周期和地球自转周期相等，运行周期小于地球自转周期，C错误；根据G＝ma，解得a＝，地面上的物体G＝mg，解得g＝，核心舱的运行轨道距地面高度为340～450 km，即轨道半径大于地球半径，运行加速度小于地面的重力加速度，D错误。
〔变式训练4〕 (2021·河北高三月考)随着北斗系统全面建成开通，北斗产业发展被列入国家“十四五”规划重点项目，北斗系统开启了全球化、产业化新征程。北斗系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星组成。如图所示，地球静止轨道卫星A与倾斜地球同步轨道卫星B距地面高度均约为36 000 km，中圆轨道卫星C距地面高度约为21 500 km。下列说法正确的是( C )
A．A与B运行的周期一定不同
B．A与B受到的向心力一定相同
C．B比C运行的角速度小
D．B比C运行的线速度大
[解析] A与B运行的轨道半径相同，根据G＝mr，可知周期一定相同，选项A错误；A与B的质量关系不确定，则不能确定受到的向心力大小关系，选项B错误；根据G＝mω2r，可得ω＝，因B比C运行的轨道半径大，则角速度小，选项C正确；根据G＝m，可得v＝，因B比C运行的轨道半径大，则B比C运行的线速度小，选项D错误。
名师讲坛·素养提升
多星运动模型
(一)双星模型
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝
(5)双星的运动周期T＝2π
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝
例3 (2021·四川高三月考)宇宙中两颗靠得比较近的星球，只受到彼此之间的万有引力作用绕两球心连线上某点绕转，称之为双星系统。设某双星系统中A、B两星球绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动。若A、B的质量分别为M、m，则( B )
A．星球A与星球B的轨道半径之比为M∶m
B．星球A与星球B的线速度大小之比为m∶M
C．星球A与星球B的周期大小之比为m∶M
D．若两星球间距离减小，则星球A做匀速圆周运动的周期变大
[解析] 如图，
＝mω2rB＝Mω2rA ，解得MrA＝mrB ，则A、B半径之比rA∶rB＝m∶M，故A错误；线速度v＝ωr，则A、B线速度大小之比为m∶M，故B正确；周期T＝，A、B周期大小之比为1∶1，故C错误；又因LAB＝rA＋rB ，与MrA＝mrB ，联立解得rA＝LAB，再由＝M2rA，解得TA＝，A、B间距离减小，则周期减小，故D错误。
名师点拨
万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，不可混淆。
(二)三星模型
1．直线模型
如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上。两行星转动的方向相同，角速度、线速度的大小相等。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：
＋＝ma。
2．三角形模型
如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。三颗行星转动的方向相同，角速度、线速度的大小相等。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星的万有引力的合力来提供：
×2×cos 30°＝ma
其中L＝2rcos 30°。
例4 (2021·河北高三模拟)宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是( C )
A．每颗星做圆周运动的线速度为
B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
D．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的2倍
[解析] 任意两颗星之间的万有引力F＝G，每一颗星受到的合力为F1＝F，由几何关系知：它们的轨道半径为r＝L，合力提供它们的向心力＝m，联立解得v＝，故A错误；根据＝ma，得a＝，故加速度与它们的质量有关，故B错误；根据＝m，解得T＝π，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍，故C正确；根据v＝可知，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度不变，故D错误。
2年高考·1年模拟
1．(2021·全国甲卷，18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( C )
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
[解析] 忽略火星自转则
＝mg ①
可知GM＝gR2
设与周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为r，由万引力提供向心力可知
＝mr②
设近火点到火星中心为R1＝R＋d1③
设远火点到火星中心为R2＝R＋d2④
由开普勒第三定律可知＝⑤
由以上分析可得d2≈6×107 m。故选C。
2．(2021·全国乙卷，18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量的黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( B )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
[解析] 可以近似把S2看成匀速圆周运动，由图可知，S2绕黑洞的周期T＝16年，地球的公转周期T0＝1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是r＝1 000R，地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知G＝mRω2＝mR2，解得太阳的质量为M＝，同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知G＝m′rω2＝m′r2，解得黑洞的质量为Mx＝。综上可得，Mx＝3.90×106M。故选B。
3．(2021·福建卷，3)人造地球卫星的轨道可近似为圆轨道。下列说法正确的是( D )
A．周期是24小时的卫星都是地球同步卫星
B．地球同步卫星的角速度大小比地球自转的角速度小
C．近地卫星的向心加速度大小比地球两极处的重力加速度大
D． 近地卫星运行的速率比地球表面赤道上的物体随地球自转的速率大
[解析] 人造地球卫星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力，则G＝m，故周期公式T＝2π，可知周期为24 h的卫星，其轨道半径和地球同步卫星轨道半径相同，但不一定都是地球同步卫星，A错误；地球同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，B错误；由G＝ma知近地卫星的向心加速度大小a＝，地球两极处的重力加速度大小g＝，故近地卫星的向心加速度大小等于地球两极处的重力加速度大小，C错误；由＝得v＝，可知近地卫星的运行速率大于地球同步卫星运行的速率；根据v＝ωr可知，地球同步卫星运行的速率大于地球表面赤道上的物体随地球自转的速率，所以近地卫星运行速率比地球表面赤道上的物体随地球自转的速率大，D正确。
4．(2021·河北卷，4)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 绕中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得＝mr，则T＝，r＝，由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则飞船的轨道半径r飞＝＝＝r同，则＝。故选D。
5．(2021·湖南卷，7)(多选)2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是( AC )
A．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的2倍
B．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9 km/s
C．核心舱在轨道上飞行的周期小于24 h
D．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
[解析] 根据万有引力定律有F＝G，核心舱进入轨道后的万有引力与地面上万有引力之比为＝＝2，所以A正确；核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9 km/s，因为第一宇宙速度是最大的环绕速度，所以B错误；根据T＝2π，可知轨道半径越大周期越大，则其周期比同步卫星的周期小，小于24 h，所以C正确；卫星做圆周运动时万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，则卫星的环绕速度与卫星的质量无关，所以变轨时需要点火减速或者点火加速，增加质量不会改变轨道半径，所以D错误。故选A、C。
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