(新高考)高考数学一轮复习讲练测专题3.2《函数的单调性与最值》(解析版)

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专题3.2 函数的单调性与最值
新课程考试要求
1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性.
2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.
核心素养
培养学生数学抽象（例5.6.14.15）、数学运算（例3等）、逻辑推理（例2）、直观想象（例9.10）等核心数学素养.
考向预测
1.确定函数的最值（值域）
2.以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性、周期性结合，有时与导数综合考查.
【知识清单】
1. 函数的单调性
（1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；
（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有
，那么就说函数在区间上是减函数.
2．函数的最值
1.最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么，我们称是函数的最大值.
2.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么，我们称是函数的最小值.
【考点分类剖析】
考点一 单调性的判定和证明
【典例1】（2020·西藏自治区高三二模（文））下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
对于A选项，函数在区间上为增函数；
对于B选项，函数在区间上为增函数；
对于C选项，函数在区间上为减函数；
对于D选项，函数在区间上为增函数.
故选：C.
【典例2】（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.
【答案】证明见解析.
【解析】
∀x1，x2∈(-2，+∞)，利用作差法和0比可得函数值大小进而可证得.
【详解】
证明：∀x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，
f(x)=
则f(x1)-f(x2)=
=，
因为x1>x2>-2，
所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，
所以>0，所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增.
【规律方法】
掌握确定函数单调性(区间)的4种常用方法
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．
（3）熟悉一些常见的基本初等函数的单调性.
（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．
【变式探究】
1.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．y=在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数
C．y=在R上为增函数 D．y=f(x)在R上为减函数
【答案】ABC
【解析】
令可判断出A B C不正确，利用单调函数的定义判断可得结果.
【详解】
对于A，若f(x)=x，则y==，在R上不是减函数，A错误；
对于B，若f(x)=x，则y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函数，B错误；
对于C，若f(x)=x，则y==，在R上不是增函数，C错误；
对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x10时，00；(3)利用定义可证明函数的单调性．
解：(1)根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)，
∵f(n)≠0，∴f(0)＝1.
(2)由题意知x>0时，00，∴0f(2a) B．f(a2)