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(新高考)高考数学一轮复习讲练测专题1.2《全称量词与存在量词、充要条件》(解析版)
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这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲练测专题1.2《全称量词与存在量词、充要条件》(解析版)，共25页。
专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件
新课程考试要求
1．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
2.全称量词与存在量词
(1)理解全称量词与存在量词的意义.
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
核心素养
培养学生逻辑推理（例2、例4）、数学运算（例1、例4、例5）、直观想象能力（例2）
考向预测
1.全称量词与存在量词
2.充分条件与必要条件的判定
3.充分条件、必要条件的应用
【知识清单】
1. 充分条件与必要条件
（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件；
（3）若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
（4）若p⇔q，则p是q的充要条件；
（5）若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
2. 全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．
（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．
（3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
2．存在量词与特称命题
（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．
（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．
（3）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
3．全称命题与特称命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”．
（3）含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
【考点分类剖析】
考点一 充要条件的判定
例1.（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】
求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
例2.（2020·浙江高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】
依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
例3．（2019·北京高考真题（理））设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
∵A､B､C三点不共线,∴
|+|>|||+|>|-|
|+|2>|-|2•>0与
的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.
【规律方法】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法：若 ，则是的充分而不必要条件；若 ，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件； 若 ，则是的既不充分也不必要条件.
(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
【变式探究】
1.（2019年高考天津理）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得，由可得，
易知由推不出，
由能推出，
故是的必要而不充分条件，
即“”是“”的必要而不充分条件.
故选B.
2.（2019·北京高考真题（文））设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
时，, 为偶函数；
为偶函数时，对任意的恒成立，
，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.
3．（2021·江西赣州市·高三二模（理））等比数列中，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由题设，令公比为，分别确定、时的取值范围，即可判断它们的充分、必要关系.
【详解】
等比数列中，令公比为，
∴若，则有；若，则有或，
∴“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
考点二：充分条件与必要条件的应用
例4.（2021·浙江高一期末）的必要不充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
解出一元二次不等式的解集，其必要不充分条件对应的集合应包含其解集，观察选项即可.
【详解】
,
即的充要条件是，
其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合，
观察选项发现是的真子集，
故选：BD.
例5. 设：实数满足，：实数满足．
（Ⅰ）当时，若为真，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若是的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（Ⅰ）当时，：，：或.
因为为真，所以，中至少有一个真命题.
所以或或，
所以或，
所以实数的取值范围是.
（Ⅱ）当时，：，
由得：：或，
所以：，
因为是的必要条件，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
【规律方法】
1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．
【变式探究】
若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，所以，
故答案为.
【特别警示】
根据充要条件求解参数范围的方法及注意点
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．
考点三：全称量词与存在量词
例6.（2021·安徽高三二模（文））命题“，”的否定是_____．
【答案】“，”
【解析】
根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得解.
【详解】
根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，
命题“，”的否定是“，”．
故答案为：“，”．
例7．（重庆高考真题（文））命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（ ）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0
【答案】D
【解析】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．
故选D．
例8. 有下列四个命题，其中真命题是（ ）．
A.， B.，，
C.，， D.，
【答案】B
【解析】
对于选项A，令，则，故A错；
对于选项B，令，则，显然成立，故B正确；
对于选项C，令，则显然无解，故C错；
对于选项D，令，则显然不成立，故D错.
故选：B
【规律方法】
1．全称命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
4．常见词语的否定形式有：
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)真
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
存在x0∈A使p(x0)假
【变式探究】
1．（全国高考真题（理））设命题，则的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.
2. （2021·安徽高三三模（文））命题：“，”的否定是___________.
【答案】，．
【解析】
根据全称命题的否定定义写出即可．
【详解】
“，”的否定是，．
故答案为：，．
3．给出下列命题：
（1），；（2），；（3），，使得．
其中真命题的个数为______．
【答案】1
【解析】
对于（1），当时，，所以（1）是假命题；
对于（2），，所以（2）是假命题；
对于（3），当，时，，所以（3）是真命题．
所以共有1个真命题，
故填：1.
【易错提醒】
1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．
3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件
练基础
1．（全国高考真题（理））设命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.
2．（2021·四川高三三模（理））命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】
由含有一个量词的命题的否定的定义判断.
【详解】
因为命题“，”是全称量词命题,
所以其否定是存在量词命题，即，．
故选：B
3．（2021·上海高三二模）设α：x1且y2，β：x+y3，则α是β成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：若“且”则“”成立，
当，时，满足，但且不成立，
故且”是“”的充分非必要条件．
故选：A．
4．（2021·江西高三三模（理））设，则""是""的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
用集合法判断即可.
【详解】
因为集合是集合的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
5．（2021·浙江绍兴市·高三三模）已知z是复数，i是虚数单位，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
根据复数的运算及充分必要条件的判断即可求得结果.
【详解】
∵，∴；
∵，∴.
故“”是“”的充分而非必要条件.
故选：A.
6．（2021·四川高三二模（文））若，是平面外的两条不同直线，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
根据线线、线面的平行关系，结合条件间的推出关系，判断“”、“”之间的充分、必要关系.
【详解】
∵，是平面外的两条不同的直线，，
∴若，则推出“”；若，则或与相交；
∴若，是平面外的两条不同直线，且，则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7.（2021·北京高三二模）“是”“函数有且只有一个零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
根据函数零点的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
当时，令，则，，
当时，有一个零点为1，
函数只有一个零点，
当时，无零点，即或，
当时，，或，
是函数只有一个零点的充分不必要条件，
故选：A.
8．（2021·四川泸州市·高三三模（理））“”是“双曲线：的虚轴长为2”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
根据双曲线：的虚轴长为2求出对应的值即可判断.
【详解】
若双曲线：的虚轴长为2，
则当且时，即时，，解得，
当且时，即时，，解得，
所以“双曲线：的虚轴长为2”对应的值为或，
故“”是“双曲线：的虚轴长为2”的充分但不必要条件.
故选：A.
9．（2021·上海高三二模）已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ）条件
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
当时，，根据奇偶性的定义判断为偶函数，反之当为偶函数时，，，从而可得结果.
【详解】
当时，，
∵，∴为偶函数.
当为偶函数时，，，
综上所述是为偶函数的充分不必要条件，
故选：A.
10．（2021·四川高三三模（理））已知数列为等比数列，“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
根据等比数列的通项公式、数列的单调性，结合充分必要条件的定义分析可得答案.
【详解】
当，则，且，则数列为递增数列；
反之，当数列为递增数列时，也有可能出现，故为充分不必要条件.
故选：B
练提升TIDHNEG
1.（2021·陕西汉中市·高三二模（文））直线，圆：，则“”是“与圆相切”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
根据充分条件和必要条件的判断方法，分别判断充分性和必要性，即可的到答案．
【详解】
圆的方程，其圆心坐标为，半径为，
当时，直线，圆心到直线的距离，此时，直线与圆相切，故充分性成立；
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性不成立，所以，“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．
故选：B．
2.（2021·江西高三其他模拟（文））“”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
先求出方程表示焦点在轴 上的圆锥曲线对应的的范围，再结合两者的关系可得两者之间的条件关系.
【详解】
当时，方程表示焦点在轴上的双曲线；
当时，可化为，
因为椭圆的焦点在轴上，所以即，
故方程表示焦点在轴上的圆锥曲线时，或，
故“”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2021·湖南高三三模）设a，b，m为实数，给出下列三个条件：①：②；③，其中使成立的充分不必要条件是（ ）
A．① B．② C．③ D．①②③
【答案】B
【解析】
利用充分条件和必要条件的定义逐个分析判断即可
【详解】
解：对于①，当时，成立，而当时，成立，所以是的充要条件，所以①不合题意；
对于②，当时，由不等式的性质可知成立，而当，时，不成立，所以是的充分不必要条件，所以②符合题意；
对于③，当时，成立，而不成立，当时，成立，而不成立，所以是的既不充分也不必要条件，所以③不合题意，
故选：B
4．（2021·浙江高三月考）在中，“为钝角三角形”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
考虑两个条件之间的推出关系后可判断两者之间的条件关系.
【详解】
取，则，
故“为钝角三角形”推不出“”.
若，
若为钝角或直角，则，矛盾，故为锐角，
同理为锐角.
若，则，故，
所以，故，矛盾.
故即为钝角.
故“”能推出“为钝角三角形”，
故选：B.
5．（2021·江西上饶市·高三其他模拟（理））将函数向左平移个单位长度，所得图像的对应函数为，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
分别从及为奇函数出发，证明对方是否成立，从而验证二者的关系.
【详解】
当时，，易知为奇函数，则“”是“为奇函数”的充分条件；
当 “为奇函数”时，，
则必有，，
故只是其中一个值，则“”是“为奇函数”的不必要条件；
故选：A
6．【多选题】（2020·全国高一课时练习）下列命题是真命题的为（ ）
A．
B．
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数，使得
【答案】ABC
【解析】
根据题意，依次分析各选项即可得答案.
【详解】
对于A，，所以，故A选项是真命题；
对于B，当时，恒成立，故B选项是真命题；
对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是真命题.
对于D，因为，所以.故D选项是假命题.
故选：ABC.
7．【多选题】（2021·湖南常德市·高三一模）下列说法正确的是（ ）
A．命题的否定
B．二项式的展开式的各项的系数和为32
C．已知直线平面，则“”是”的必要不充分条件
D．函数的图象关于直线对称
【答案】AD
【解析】
根据特称命题的否定求解方法可判断A；令代入二项式即可求得各项的系数和，可判断B；由于直线与的关系不确定故能判断C；判断是否等于，就能判断D是否正确．
【详解】
解：对于A：命题的否定，故A正确；
对于B：二项式的展开式的各项的系数和为，故B错误；
对于C：已知直线平面，由于直线与的关系不确定，
故“”是”的既不必要不充分条件，故C错误；
对于D：由于关于的对称点为，
故，满足，
故函数的图象关于直线对称，故D正确.
故选：AD．
8．【多选题】（2021·湖南高三月考）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（ ）
A．若两直线的斜率相等，则两直线平行
B．若，则
C．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则
D．已知可导函数，若，则在处取得极值
【答案】BD
【解析】
只需判断必要性是否成立即可.
【详解】
对于A，两直线平行时，两直线的斜率相等或斜率都不存在，所以必要性不成立;
对于B，x> 10时，x> 5,所以必要性成立;
对于C，若，则a//a或aa，所以必要性不成立;
对于D，f (x)在处取得极值时，必有，必要性成立.
故选： BD
9.（2021·四川高三三模（文））已知函数，.下列四个命题：
①，使为偶函数；
②若，则的图象关于直线对称；
③若，则在区间上是增函数；
④若，则函数有两个零点.
其中所有真命题的序号是___________.
【答案】①③
【解析】
根据一元二次函数及绝对值函数的性质，结合奇偶性，对称性，单调性对每一项进行分析即可.
【详解】
若为偶函数，则，
则对恒成立，则，
故①正确；
，，若，即，
则或，
若取，则关于对称，②错误；
若，函数的判别式，
即，，
由二次函数性质，知在区间上是增函数，③正确；
取，满足，则或，
解得或，即有4个零点，④错误；
故答案为：①③
10．（2021·浙江高一期末）命题“，”的否定是_______________；设，，分别是的三条边，且．我们知道为直角三角形，那么．反过来，如果，那么为直角三角形．由此可知，为直角三角形的充要条件是．请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是______________．
【答案】，
【解析】
根据全称量词命题的否定直接写出即可；根据勾股定理，充要条件及反证法得出为锐角三角形的一个充要条件是.
【详解】
解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“，”的否定是，；
设，，是的三条边，且，为锐角三角形的一个充要条件是.
证明如下：
必要性：在中，是锐角，过点作于点，如下图：
根据图象可知
，
即，可得证.
充分性：在中，，所以不是直角.
假设是钝角，如下图：过点作，交延长线于点，
则
，
即，，与矛盾.
故为锐角，即为锐角三角形.
练真题TIDHNEG
1．(2019年高考全国Ⅱ卷理)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；
由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.
故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.
故选B．
2．（2019·天津高考真题（文））设，则“”是“”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
等价于，故推不出；
由能推出．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
3．（2019年高考浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
4．（2020·北京高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】
(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选：C.
5．（2018·浙江省高考真题）已知两条直线和平面，若，则是的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】
当时，
若时，与的关系可能是，也可能是，即不一定成立，故为假命题；
若时，与的关系可能是，也可能是与异面，即不一定成立，故也为假命题；
故是的既不充分又不必要条件
故选：D
6．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④
【答案】①③④
【解析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】
对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，
所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，
为真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为：①③④.
专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件
新课程考试要求
1．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
2.全称量词与存在量词
(1)理解全称量词与存在量词的意义.
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
核心素养
培养学生逻辑推理（例2、例4）、数学运算（例1、例4、例5）、直观想象能力（例2）
考向预测
1.全称量词与存在量词
2.充分条件与必要条件的判定
3.充分条件、必要条件的应用
【知识清单】
1. 充分条件与必要条件
（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件；
（3）若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
（4）若p⇔q，则p是q的充要条件；
（5）若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
2. 全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．
（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．
（3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
2．存在量词与特称命题
（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．
（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．
（3）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
3．全称命题与特称命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”．
（3）含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
【考点分类剖析】
考点一 充要条件的判定
例1.（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】
求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
例2.（2020·浙江高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】
依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
例3．（2019·北京高考真题（理））设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
∵A､B､C三点不共线,∴
|+|>|||+|>|-|
|+|2>|-|2•>0与
的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.
【规律方法】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法：若 ，则是的充分而不必要条件；若 ，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件； 若 ，则是的既不充分也不必要条件.
(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
【变式探究】
1.（2019年高考天津理）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得，由可得，
易知由推不出，
由能推出，
故是的必要而不充分条件，
即“”是“”的必要而不充分条件.
故选B.
2.（2019·北京高考真题（文））设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
时，, 为偶函数；
为偶函数时，对任意的恒成立，
，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.
3．（2021·江西赣州市·高三二模（理））等比数列中，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由题设，令公比为，分别确定、时的取值范围，即可判断它们的充分、必要关系.
【详解】
等比数列中，令公比为，
∴若，则有；若，则有或，
∴“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
考点二：充分条件与必要条件的应用
例4.（2021·浙江高一期末）的必要不充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
解出一元二次不等式的解集，其必要不充分条件对应的集合应包含其解集，观察选项即可.
【详解】
,
即的充要条件是，
其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合，
观察选项发现是的真子集，
故选：BD.
例5. 设：实数满足，：实数满足．
（Ⅰ）当时，若为真，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若是的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（Ⅰ）当时，：，：或.
因为为真，所以，中至少有一个真命题.
所以或或，
所以或，
所以实数的取值范围是.
（Ⅱ）当时，：，
由得：：或，
所以：，
因为是的必要条件，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
【规律方法】
1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．
【变式探究】
若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，所以，
故答案为.
【特别警示】
根据充要条件求解参数范围的方法及注意点
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．
考点三：全称量词与存在量词
例6.（2021·安徽高三二模（文））命题“，”的否定是_____．
【答案】“，”
【解析】
根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得解.
【详解】
根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，
命题“，”的否定是“，”．
故答案为：“，”．
例7．（重庆高考真题（文））命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（ ）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0
【答案】D
【解析】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．
故选D．
例8. 有下列四个命题，其中真命题是（ ）．
A.， B.，，
C.，， D.，
【答案】B
【解析】
对于选项A，令，则，故A错；
对于选项B，令，则，显然成立，故B正确；
对于选项C，令，则显然无解，故C错；
对于选项D，令，则显然不成立，故D错.
故选：B
【规律方法】
1．全称命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
4．常见词语的否定形式有：
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)真
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
存在x0∈A使p(x0)假
【变式探究】
1．（全国高考真题（理））设命题，则的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.
2. （2021·安徽高三三模（文））命题：“，”的否定是___________.
【答案】，．
【解析】
根据全称命题的否定定义写出即可．
【详解】
“，”的否定是，．
故答案为：，．
3．给出下列命题：
（1），；（2），；（3），，使得．
其中真命题的个数为______．
【答案】1
【解析】
对于（1），当时，，所以（1）是假命题；
对于（2），，所以（2）是假命题；
对于（3），当，时，，所以（3）是真命题．
所以共有1个真命题，
故填：1.
【易错提醒】
1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．
3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件
练基础
1．（全国高考真题（理））设命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.
2．（2021·四川高三三模（理））命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】
由含有一个量词的命题的否定的定义判断.
【详解】
因为命题“，”是全称量词命题,
所以其否定是存在量词命题，即，．
故选：B
3．（2021·上海高三二模）设α：x1且y2，β：x+y3，则α是β成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：若“且”则“”成立，
当，时，满足，但且不成立，
故且”是“”的充分非必要条件．
故选：A．
4．（2021·江西高三三模（理））设，则""是""的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
用集合法判断即可.
【详解】
因为集合是集合的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
5．（2021·浙江绍兴市·高三三模）已知z是复数，i是虚数单位，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
根据复数的运算及充分必要条件的判断即可求得结果.
【详解】
∵，∴；
∵，∴.
故“”是“”的充分而非必要条件.
故选：A.
6．（2021·四川高三二模（文））若，是平面外的两条不同直线，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
根据线线、线面的平行关系，结合条件间的推出关系，判断“”、“”之间的充分、必要关系.
【详解】
∵，是平面外的两条不同的直线，，
∴若，则推出“”；若，则或与相交；
∴若，是平面外的两条不同直线，且，则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7.（2021·北京高三二模）“是”“函数有且只有一个零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
根据函数零点的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
当时，令，则，，
当时，有一个零点为1，
函数只有一个零点，
当时，无零点，即或，
当时，，或，
是函数只有一个零点的充分不必要条件，
故选：A.
8．（2021·四川泸州市·高三三模（理））“”是“双曲线：的虚轴长为2”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
根据双曲线：的虚轴长为2求出对应的值即可判断.
【详解】
若双曲线：的虚轴长为2，
则当且时，即时，，解得，
当且时，即时，，解得，
所以“双曲线：的虚轴长为2”对应的值为或，
故“”是“双曲线：的虚轴长为2”的充分但不必要条件.
故选：A.
9．（2021·上海高三二模）已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ）条件
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
当时，，根据奇偶性的定义判断为偶函数，反之当为偶函数时，，，从而可得结果.
【详解】
当时，，
∵，∴为偶函数.
当为偶函数时，，，
综上所述是为偶函数的充分不必要条件，
故选：A.
10．（2021·四川高三三模（理））已知数列为等比数列，“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
根据等比数列的通项公式、数列的单调性，结合充分必要条件的定义分析可得答案.
【详解】
当，则，且，则数列为递增数列；
反之，当数列为递增数列时，也有可能出现，故为充分不必要条件.
故选：B
练提升TIDHNEG
1.（2021·陕西汉中市·高三二模（文））直线，圆：，则“”是“与圆相切”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
根据充分条件和必要条件的判断方法，分别判断充分性和必要性，即可的到答案．
【详解】
圆的方程，其圆心坐标为，半径为，
当时，直线，圆心到直线的距离，此时，直线与圆相切，故充分性成立；
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性不成立，所以，“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．
故选：B．
2.（2021·江西高三其他模拟（文））“”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
先求出方程表示焦点在轴 上的圆锥曲线对应的的范围，再结合两者的关系可得两者之间的条件关系.
【详解】
当时，方程表示焦点在轴上的双曲线；
当时，可化为，
因为椭圆的焦点在轴上，所以即，
故方程表示焦点在轴上的圆锥曲线时，或，
故“”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2021·湖南高三三模）设a，b，m为实数，给出下列三个条件：①：②；③，其中使成立的充分不必要条件是（ ）
A．① B．② C．③ D．①②③
【答案】B
【解析】
利用充分条件和必要条件的定义逐个分析判断即可
【详解】
解：对于①，当时，成立，而当时，成立，所以是的充要条件，所以①不合题意；
对于②，当时，由不等式的性质可知成立，而当，时，不成立，所以是的充分不必要条件，所以②符合题意；
对于③，当时，成立，而不成立，当时，成立，而不成立，所以是的既不充分也不必要条件，所以③不合题意，
故选：B
4．（2021·浙江高三月考）在中，“为钝角三角形”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
考虑两个条件之间的推出关系后可判断两者之间的条件关系.
【详解】
取，则，
故“为钝角三角形”推不出“”.
若，
若为钝角或直角，则，矛盾，故为锐角，
同理为锐角.
若，则，故，
所以，故，矛盾.
故即为钝角.
故“”能推出“为钝角三角形”，
故选：B.
5．（2021·江西上饶市·高三其他模拟（理））将函数向左平移个单位长度，所得图像的对应函数为，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
分别从及为奇函数出发，证明对方是否成立，从而验证二者的关系.
【详解】
当时，，易知为奇函数，则“”是“为奇函数”的充分条件；
当 “为奇函数”时，，
则必有，，
故只是其中一个值，则“”是“为奇函数”的不必要条件；
故选：A
6．【多选题】（2020·全国高一课时练习）下列命题是真命题的为（ ）
A．
B．
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数，使得
【答案】ABC
【解析】
根据题意，依次分析各选项即可得答案.
【详解】
对于A，，所以，故A选项是真命题；
对于B，当时，恒成立，故B选项是真命题；
对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是真命题.
对于D，因为，所以.故D选项是假命题.
故选：ABC.
7．【多选题】（2021·湖南常德市·高三一模）下列说法正确的是（ ）
A．命题的否定
B．二项式的展开式的各项的系数和为32
C．已知直线平面，则“”是”的必要不充分条件
D．函数的图象关于直线对称
【答案】AD
【解析】
根据特称命题的否定求解方法可判断A；令代入二项式即可求得各项的系数和，可判断B；由于直线与的关系不确定故能判断C；判断是否等于，就能判断D是否正确．
【详解】
解：对于A：命题的否定，故A正确；
对于B：二项式的展开式的各项的系数和为，故B错误；
对于C：已知直线平面，由于直线与的关系不确定，
故“”是”的既不必要不充分条件，故C错误；
对于D：由于关于的对称点为，
故，满足，
故函数的图象关于直线对称，故D正确.
故选：AD．
8．【多选题】（2021·湖南高三月考）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（ ）
A．若两直线的斜率相等，则两直线平行
B．若，则
C．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则
D．已知可导函数，若，则在处取得极值
【答案】BD
【解析】
只需判断必要性是否成立即可.
【详解】
对于A，两直线平行时，两直线的斜率相等或斜率都不存在，所以必要性不成立;
对于B，x> 10时，x> 5,所以必要性成立;
对于C，若，则a//a或aa，所以必要性不成立;
对于D，f (x)在处取得极值时，必有，必要性成立.
故选： BD
9.（2021·四川高三三模（文））已知函数，.下列四个命题：
①，使为偶函数；
②若，则的图象关于直线对称；
③若，则在区间上是增函数；
④若，则函数有两个零点.
其中所有真命题的序号是___________.
【答案】①③
【解析】
根据一元二次函数及绝对值函数的性质，结合奇偶性，对称性，单调性对每一项进行分析即可.
【详解】
若为偶函数，则，
则对恒成立，则，
故①正确；
，，若，即，
则或，
若取，则关于对称，②错误；
若，函数的判别式，
即，，
由二次函数性质，知在区间上是增函数，③正确；
取，满足，则或，
解得或，即有4个零点，④错误；
故答案为：①③
10．（2021·浙江高一期末）命题“，”的否定是_______________；设，，分别是的三条边，且．我们知道为直角三角形，那么．反过来，如果，那么为直角三角形．由此可知，为直角三角形的充要条件是．请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是______________．
【答案】，
【解析】
根据全称量词命题的否定直接写出即可；根据勾股定理，充要条件及反证法得出为锐角三角形的一个充要条件是.
【详解】
解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“，”的否定是，；
设，，是的三条边，且，为锐角三角形的一个充要条件是.
证明如下：
必要性：在中，是锐角，过点作于点，如下图：
根据图象可知
，
即，可得证.
充分性：在中，，所以不是直角.
假设是钝角，如下图：过点作，交延长线于点，
则
，
即，，与矛盾.
故为锐角，即为锐角三角形.
练真题TIDHNEG
1．(2019年高考全国Ⅱ卷理)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；
由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.
故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.
故选B．
2．（2019·天津高考真题（文））设，则“”是“”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
等价于，故推不出；
由能推出．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
3．（2019年高考浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
4．（2020·北京高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】
(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选：C.
5．（2018·浙江省高考真题）已知两条直线和平面，若，则是的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】
当时，
若时，与的关系可能是，也可能是，即不一定成立，故为假命题；
若时，与的关系可能是，也可能是与异面，即不一定成立，故也为假命题；
故是的既不充分又不必要条件
故选：D
6．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④
【答案】①③④
【解析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】
对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，
所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，
为真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为：①③④.
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