第四节　自由落体运动

核心素养·明目标：

1．物理观念：知道自由落体及自由落体加速度的概念，理解其运动规律，并能应用解决实际问题．

2．科学思维：掌握自由落体运动的规律，并能分析推理解决相关的物理问题，理解其属于理想化模型．

3．科学探究：体验近代物理学家对自由落体的探究，能用小实验探究规律，学会交流与合作，认识实验的科学作用．

4．科学态度与责任：通过对科学进步与发展的探索，体会实事求是的严谨的科学态度，体会科学研究方法的价值．

知识点一　影响物体下落快慢的因素

1．亚里士多德认为，重的物体下落快，轻的物体下落慢，并断言物体下落快慢由它们的重量决定．

2．伽利略推断出，重的物体不会比轻的物体下落得快．我们通过实验可以初步看出：物体下落快慢与物体的轻重无关．

3．牛顿管内物体的下落运动：实验结果表明，牛顿管内有空气时，金属片和羽毛下落的快慢不同；被抽去部分空气时，它们下落的快慢比较接近，被抽去的空气越多，它们下落的快慢越接近；当把牛顿管中空气全部抽去后，它们下落的快慢就完全相同了．

　没有空气阻力时，轻重不同的物体只受重力作用，下落的快慢相同．

1．(1)伽利略认为物体越重，下落得越快． (×)

(2)亚里士多德认为物体下落的快慢与物体的轻重无关． (×)

(3)牛顿管实验说明没有空气阻力时，铁块和羽毛下落快慢相同．                             (√)

(4)石头下落比树叶快，是因为树叶受到空气阻力，而石头没有受到空气阻力．               (×)

知识点二　自由落体运动及规律

1．自由落体运动定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动．

2．重力加速度：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，方向总是竖直向下的，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫重力加速度．在地球不同的纬度，g的大小是不同的．通常的计算可以把g取作9.8 m/s2，粗略计算可以取作10 m/s2．

3．自由落体运动的速度公式：vt＝gt．

4．自由落体运动的位移公式：s＝gt2．

　自由落体运动的条件：①初速度为0；②只受重力．

2．(1)自由落体运动是竖直向下的匀加速直线运动． (√)

(2)自由落体加速度的方向都是竖直向下的． (√)

(3)重力加速度在任何地点都是9.8 m/s2． (×)

(4)在一高塔顶端同时释放一片羽毛和一个玻璃球，玻璃球先于羽毛到达地面，这主要是因为它们所受的空气阻力不同．

考点1　影响物体下落快慢的因素

如图为用牛顿管所做实验的图片．仔细观察图片．

图甲 图乙

请探究：

(1)甲、乙两图中物体下落情况有什么不同？

(2)乙图说明了什么？

提示：(1)甲图中金属片下落快，小羽毛下落慢；

乙图中金属片和小羽毛下落一样快．

(2)乙图说明：如果没有空气阻力时，物体只受重力，质量不同的物体下落的快慢相同．

[归纳例证]

1．两个截然相反的结论

伽利略指出：根据亚里士多德的论断，一块大石头的下落速度要比一块小石头的下落速度大，假定大石头的下落速度为8v，小石头的下落速度为4v．由这一观点出发，当我们把两块石头拴在一起时，对于下落快慢就有两种结论：

结论一：下落快的会被下落慢的拖着而减慢，下落慢的会被下落快的拖下而加快，结果整个系统的下落速度应该小于8v而大于4v；

结论二：两块石头拴在一起，加起来比大石头还要重，其下落的速度比任何一个物体都要快，速度应该大于8v．

2．实验与探究

如图所示是课题研究小组进行自由落体运动实验时，用频闪连续拍照的方法获得的两张照片A和B，任选其中的一张回答下列几个问题：

A．质量相等的纸片和纸团 B．体积相等的铅球和木球

图A　现象：从同一高度同时由静止释放的纸团和纸片，纸团下落得快，先落地．

解释：质量相等的纸团和纸片，纸片受到的空气阻力较大，不能忽略，纸片的运动不是自由落体运动，而纸团受到的空气阻力较小，可以忽略，可以看成是自由落体运动．

图B　现象：质量不等的铅球和木球，同时从同一高度由静止释放，它们同时落地．

解释：铅球和木球受到的空气阻力都可以忽略，它们的运动都可以看成是自由落体运动，所以同时落地．

结论：物体下落过程的运动情况与物体质量无关．伽利略的观点正确．

【典例1】　甲同学看到乙同学从10层楼的楼顶同时由静止释放两个看上去完全相同的铁球(一个为实心球，一个为空心球)，结果甲同学看到两球不是同时落地的．他分析了两球未能同时落地的原因，你认为他的下列分析正确的是(　　)

A．两球在下落过程中受到的空气阻力不同，先落地的受空气阻力小

B．两球在下落过程中受到的空气阻力不同，先落地的受空气阻力大

C．两球下落过程中受到的空气阻力相同，先落地的是实心球，重力远大于阻力

D．两球下落过程中受到的空气阻力相同，先落地的是空心球，阻力与重力比，差别较小

思路点拨：空气阻力与重力大小关系影响下落快慢，重的下落快．

C　[两球形状完全相同，在下落过程中所受空气阻力相同，下落快慢不同的原因是重力不同，故C正确．]

物体下落的规律

(1)两物体在真空中或阻力可以忽略的空气中下落时，它们下落得同样快．

(2)两物体在阻力不能忽略的空气中下落时，空气阻力比其重力更小的物体下落得快．

1．16世纪末，意大利比萨大学的年轻学者伽利略通过逻辑推理的方法，使亚里士多德统治人们2 000多年的理论陷入困难，伽利略的猜想是(　　)

A．重的物体下落得快　  B．轻的物体下落得快

C．轻、重两物体下落得一样快  D．以上都不是

C　[伽利略认为物体在下落运动过程中运动情况与物体的质量无关，故C正确．]

考点2　自由落体运动的规律

从发现情况到采取相应行动经过的时间叫反应时间．两位同学合作，用刻度尺可以测量人的反应时间：如图(1)所示，甲捏住尺的上端，乙在尺的下部做握尺的准备(但不与尺接触)，当看到甲放开手时，乙立即握住尺，若乙做握尺准备时，手指位置如图(2)所示，而握住尺的位置如图(3)所示．

请探究：

(1)要测乙同学的反应时间应测量出什么量？

(2)应用哪个公式来计算，乙同学的反应时间约为多少？

提示：(1)要测量反应时间内尺子下落的高度，h＝45.0 cm，也要知道g＝9.8 m/s2．

(2)用h＝gt2来算，得出t＝0.30 s．

[归纳例证]

1．基本规律

(1)速度公式：vt＝gt．

(2)位移公式：s＝gt2．

2．关于自由落体运动的几个比例关系式及推论

(1)第1 s末，第2 s末，第3 s末，…，第n s末速度之比为1∶2∶3∶…∶n；

(2)前1 s内，前2 s内，前3 s内，…，前n s内的位移之比为1∶4∶9∶…∶n2；

(3)连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)；　

(4)连续相等位移所用时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)；

(5)连续相等时间内的位移之差是一个常数Δs＝gT2(T为时间间隔)．

推论：＝＝，Δs＝gT2．

(6)速度—位移关系式：v＝2gs．

　自由落体加速度

【典例2】　(多选)关于重力加速度的下列说法正确的是(　　)

A．重力加速度g是标量，只有大小，没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2

B．在地球上不同的地方，g的大小不同，但它们相差不是很大

C．在地球上同一地点同一高度，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同

D．在地球上的同一地方，离地面高度越大，重力加速度g越小

BCD　[重力加速度是矢量，方向竖直向下，与重力的方向相同．在地球表面，不同的地方，g的大小略有不同，但都在9.8 m/s2左右，A错误，B正确；在地球表面同一地点同一高度，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐减小，C、D正确．]

对自由落体加速度的理解

(1)产生原因：地球上的物体受到地球的吸引力．

(2)大小：与在地球上的纬度以及距地面的高度有关．

(3)方向：竖直向下．由于地球是一个球体，因此各处的重力加速度的方向是不同的．

　自由落体运动规律的应用

【典例3】　从离地面80 m的空中自由下落一个小球，g取10 m/s2，求：

(1)经过多长时间小球落地；

(2)自开始下落时计时，在第1 s内和最后1 s内的位移．

思路点拨：①小球自由下落的总高度为80 m．

②小球在最后1 s内的位移为总位移与前(t－1)s内的位移之差．

[解析]　(1)由h＝gt2得，下落总时间为

t＝＝ s＝4 s．

(2)小球第1 s内的位移为

h1＝gt＝×10×12 m＝5 m

小球前3 s内的位移为

h3＝gt＝×10×32 m＝45 m

小球从第3 s末到第4 s末的位移，即最后1 s内的位移为h4＝h－h3＝80 m－45 m＝35 m．

[答案]　(1)4 s　(2)5 m　35 m

应用自由落体运动规律解题的思路和方法

(1)首先将题目中的日常生活信息进行加工处理，选择有用的已知信息，排除干扰因素．

(2)在分析信息的基础之上进行科学的模型抽象，建立物理模型，将实际问题转化为理想的物理过程．

(3)根据已知条件和自由落体运动模型遵循的物理规律，选择准确的物理公式列方程，代入数值求解．

在上题中，试求下落时间为总时间一半时的位移．

[解析]　小球下落时间的一半为t′＝＝2 s

这段时间内的位移为

h′＝gt′2＝×10×22m＝20 m．

[答案]　20 m

2．(角度1)下列说法正确的是(　　)

A．重的物体的g值大

B．g值在地面任何地方一样大

C．g值在赤道处大于南北两极处

D．同一地点的不同质量的物体g值一样大

D　[自由落体运动的加速度g是由重力产生的，重力加速度与物体的质量无关，故A错误；地面的物体的重力加速度受纬度和海拔的影响，纬度越高重力加速度越大，赤道处小于南北两极处的重力加速度，故B、C错误；同一地点轻重物体的g值一样大，D正确．]

3．(角度2)一位同学在某星球上完成自由落体运动实验：让一个质量为2 kg的小球从一定的高度自由下落，测得其在第5 s内的位移是18 m，则(　　)

A．小球在2 s末的速度是20 m/s

B．小球在第5 s内的平均速度是3.6 m/s

C．小球在第2 s内的位移是20 m

D．小球在5 s内的位移是50 m

D　[设该星球表面的重力加速度为a，则小球在第5 s内的位移是Δs5＝s5－s4＝a(52－42)＝a，即18 m＝a，所以a＝4 m/s2，小球在2 s末的速度v2＝at2＝8 m/s，选项A错误；小球在第5 s内的位移大小是18 m，运动时间是1 s，所以平均速度是18 m/s，选项B错误；小球在第2 s内的位移Δh2＝h2－h1＝×4×22 m－×4×12 m＝6 m，选项C错误；小球在5 s内的位移h5＝×4×52 m＝50 m，选项D正确．]

考点3　重力加速度的测定

这是一个小球做自由落体运动的频闪拍摄的照片．

请探究：

(1)如何计算小球下落的高度？

(2)如何利用此图测量重力加速度？

提示：(1)由h＝gt2来计算，其中t可在图片中直接找到．

(2)①可由h＝gt2得g＝来测量．

②可由g＝来测量．

③可由g＝来测量．

[归纳例证]

1．利用打点计时器测重力加速度

(1)按图示连接好线路，并用手托重物将纸带拉到最上端．

(2)安装打点计时器时要使两限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力．

(3)应选用质量和密度较大的重物．增大重力可使阻力的影响相对减小；增大密度可以减小体积，可使空气阻力减小．

(4)先接通电路再放开纸带，打完一条纸带后立刻断开电源．

(5)对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用hn－hn－1＝gT2求出重力加速度．

2．频闪照相法

(1)频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机的这一特点可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置．

(2)根据匀变速运动的推论Δh＝gT2可求出重力加速度g＝．也可以根据v＝＝，求出物体在某两个时刻的速度，由g＝求出重力加速度g．

3．滴水法

(1)让水滴一滴一滴地落到正下方的盘子里，调节阀门，直到清晰听到每一滴水滴撞击盘子的声音．

(2)记录下N滴水滴下落的总时间为T，则一滴水滴下落时间t＝．

(3)用米尺量出水龙头滴水处到盘子的距离h，利用h＝gt2计算出重力加速度的值．

【典例4】　如图是小球做自由落体运动时的频闪照片示意图，照片中相邻小球的像时间间隔相同，已知闪光频率为每秒钟闪20次，图中标出了各像点到开始下落处的距离，根据这张照片，试求：

(1)小球在1、2、3、4各点的速度；

(2)作出小球下落的v­t图像，并求出加速度；

(3)试根据题目所给数据验证s∝t2．

思路点拨：用自由落体运动的规律可求出各点的速度，v­t图像的斜率表示加速度；只要不变化即得到证明．

[解析]　由题意知相邻闪光时刻的时间间隔

T＝ s＝0.05 s．

(1)用短时间内的平均速度代替中间时刻的瞬时速度，可得v1＝＝ m/s＝0.48 m/s

v2＝＝ m/s＝0.96 m/s

同理v3＝1.44 m/s，v4＝1.92 m/s．

(2)v­t图像如图所示，由v­t图像斜率含义，可求得自由下落的加速度a＝＝9.6 m/s2．

(3)由题意可设小球到1、2、3、4、5各点下落时间分别为

t1＝T，t2＝2T，t3＝3T，t4＝4T，t5＝5T，

又1、2、3、4、5各点到0点的距离分别为s1，s2，…，s5，代入数据可得＝＝…＝，即s∝t2．

[答案]　(1)0.48 m/s　0.96 m/s　1.44 m/s　1.92 m/s

(2)v­t图像见解析　9.6 m/s2　(3)见解析

测量重力加速度问题的两点提醒

(1)用打点计时器测出的重力加速度可能比实际值偏小，因为重物在带动纸带通过计时器下落时要受阻力作用．

(2)频闪照相法测重力加速度实验中，照片上的距离不是实际距离，应将其还原成小球下落的实际距离(或照相时在物体旁放一标尺)．

4．某同学使用打点计时器测量当地的重力加速度．

(1)请完成以下主要实验步骤：按图甲安装实验器材并连接电源；竖直提起连有重物的纸带，使重物________(选填“靠近”或“远离”)计时器下端；________________，________________，使重物自由下落；关闭电源，取出纸带；换新纸带重复实验．

(2)图乙和丙是实验获得的两条纸带，应选取______________(选填“乙”或“丙”)来计算重力加速度．在实验操作和数据处理都正确的情况下，得到的结果仍小于当地重力加速度，主要原因是空气阻力和________．

图甲　         　图乙             图丙

[解析]　(1)为了充分利用纸带，使纸带上有更多的点迹，重物在接通打点计时器电源前要靠近打点计时器下端；因纸带很快就能通过打点计时器，所以先接通打点计时器电源，待打点稳定后再释放纸带．

(2)重物在重力作用下加速运动，相邻点迹间距应越来越大，故选乙来分析；误差的主要原因是空气阻力、打点计时器限位孔给纸带的摩擦阻力以及振针在纸带上打点给纸带的阻力．

[答案]　(1)靠近　接通电源　释放纸带

(2)乙　纸带和打点计时器间的摩擦力

1．(多选)小红同学在探究自由落体运动规律时，从生活情景中选出下列四种运动情况进行探究，你认为哪一个选项中的物体所做的运动符合自由落体运动规律(　　)

AD　[月球上为真空，羽毛和铁锤下落过程中只受重力作用，v0＝0，故它们的运动符合自由落体运动，A正确；B、C两项中运动员在运动过程中所受空气阻力和水的阻力都不能忽略，故其运动不符合自由落体运动规律，B、C错误；D项中瀑布从山涧下落时空气阻力可以忽略，v0近似为零，故可看作自由落体运动，D正确．]

2．下列v­t图像，能反映自由落体运动的是(　　)

D　[由于自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以速度v＝gt，D项正确．]

3．(多选)甲物体的质量是乙物体质量的3倍，它们在同一高度同时自由下落，则下列说法中正确的是(　　)

A．甲比乙先着地　　 B．甲比乙的加速度大

C．甲与乙同时着地  D．甲与乙的加速度一样大

CD　[由于甲、乙在同一地方，它们下落的加速度均为当地的重力加速度g，故B错误，D正确；又由于甲、乙从同一高度同时落下，据h＝gt2得两物体同时落地，A错误，C正确．]

4．将一个小球从报废的矿井口由静止释放后做自由落体运动，4 s末落到井底．该小球开始下落后第2 s内和第4 s内的平均速度之比是(　　)

A．1∶3　　　　　 B．2∶4

C．3∶7  D．4∶16

C　[该小球做自由落体运动，其开始下落后第2 s内和第4 s内的平均速度分别等于1.5 s时刻的瞬时速度和3.5 s时刻的瞬时速度，再根据v＝gt∝t可知，v1.5∶v3.5＝1.5∶3.5＝3∶7，所以该小球开始下落后第2 s内和第4 s内的平均速度之比是3∶7，故选项C正确．]

5．(新情境题，以“月球上宇航员的闪光照片”为背景，考查g的测定)登上月球的宇航员利用频闪仪(频率为每秒20次)给自由下落的小球拍照，所拍的闪光照片如图所示(图上所标数据为小球到达各位置时总的下落高度)，则月球表面的重力加速度为________m/s2(保留两位有效数字)．

[解析]　由O到F，每两个相邻小球间的距离依次记为s1、s2、s3、s4、s5、s6，根据逐差法有，小球的加速度为

a＝

其中T＝0.05 s，s6＋s5＋s4＝7.20 cm－1.80 cm＝5.40 cm

s1＋s2＋s3＝1.80 cm

代入数据得a＝1.6 m/s2．

[答案]　1.6

回归本节知识，自我完成以下问题：

1．自由落体运动的条件是什么？

提示：①只受重力；②从静止开始下落．

2．在地球上的不同位置，g一定不同吗？

提示：不一定．

3．自由落体运动的基本规律和速度—位移关系式分别是什么？

提示：vt＝gt，s＝gt2，v＝2gh

亚里士多德的落体理论

古代的落体研究的代表人物是亚里士多德(Aristotle，公元前384—公元前322)．亚里士多德的研究一开始就是动力学的．这些动力学研究的根据是从经验中归纳出的直觉，并结合了教学的推导．亚里士多德得到了两个定律，即强迫运动定律和落体运动定律．

亚里士多德认为影响物体下落运动快慢的因素有两个：(1)运动所通过的媒质不同(如通过水或土或空气)；(2)运动物体自身轻或重的程度不同．为此，亚里士多德得到的落体运动定律是：“如果运动的其他条件相同的话，物体下落的时间与它们自身的重量成反比，如一物体的重量是另一物体的两倍，则在同一媒质中重物下落只用轻物下落一半的时间．”

遗憾的是，亚里士多德的两条定律都是错的．

为了建立新的力学理论体系，必须要破除亚里士多德的力学理论和他的权威，而亚里士多德运动学是其理论体系的一个最关键的部分．

应该看到，亚里士多德的理论体系是有合理的地方，它注意到直接经验的作用，直接经验为理论解释提供了一定基础，而它在经典哲学中的地位也是非常牢固的．所以，破除亚里士多德的落体运动理论除了具有解放思想的意义之外，对建立新的运动理论也具有重要意义．

　(1)亚里士多德关于物体下落快慢的观点，核心内容是什么？

(2)伽利略关于物体下落快慢的观点是什么？

提示：(1)物体越重，下落越快．

(2)只受重力作用时，轻重物体下落一样快．