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2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学2
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这是一份2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学2,共20页。试卷主要包含了09,2,乙城市在的频率小于0等内容,欢迎下载使用。
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练(2)数学科试题注意事项:1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合,集合,则( )A. B. C. D.3.已知角为第二象限角,,则( )A. B. C. D.4.函数的零点个数为( )A.0 B.1 C.2 D.35.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1,正方体的棱长为2,用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体,沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次,截得的公共部分即是一个牟合方盖(如图2).已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为,则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为( )A. B. C. D.6.已知抛物线的焦点为F,以F为圆心,p为半径的圆F与抛物线C交于点M,N,与x轴的正半轴交于点Q,若,则p=( )A. B. C. D.7.若函数是定义在R上的增函数,则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.8.在直角梯形ABCD中,,,且,.若线段CD上存在唯一的点E满足,则线段CD的长的取值范围是( )A. B. C. D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.已知向量,,则( )A. B.C. D.与的夹角为10.下列双曲线的渐近线方程为的是( )A. B. C. D.11.环境监测部门统计了甲、乙两个城市去年每天的(空气质量指数),数据按照,,进行分组得到下面的频率分布直方图,已知时空气质量等级为优,则( )A.甲、乙两城市的中位数的估计值相等 B.甲、乙两城市的平均数的估计值相等C.甲城市的方差比乙城市的方差小 D.甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多12.“外观数列”是一类有趣的数列,该数列由正整数构成,后一项是前一项的“外观描述”.例如:取第一项为,将其外观描述为“个”,则第二项为;将描述为“个”,则第三项为;将描述为“个,个”,则第四项为;将1描述为“个,个,个”,则第五项为,,这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述,给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列,下列说法正确的是( )A.若,则从开始出现数字B.若,则的最后一个数字均为C.不可能为等差数列或等比数列D.若,则均不包含数字三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知等比数列满足,则________.14.函数的零点个数为________.15.已知抛物线的焦点为,点,在上,满足,且,点是抛物线的准线上任意一点,则的面积为________.16.如图,位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔,俗称应县木塔,是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑,木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥,其侧面和底面的夹角大小为,则该正八棱锥的高和底面边长之比为________.(参考数据:) 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.在①;②;③面积,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并回答问题.问题:在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A为锐角,a=6,,且 ,求△ABC的周长.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.19.2021年,我国新型冠状病毒肺炎疫情已经得到初步控制,抗疫工作取得阶段性胜利.某市号召市民接种疫苗,提出全民“应种尽种”的口号,疫苗成了重要的防疫物资.某疫苗生产厂不断加大投入,高速生产,现对其某月内连续9天的日生产量(单位:十万支,i=1,2,…,9)数据作了初步统计,得到如图所示的散点图及一些统计量的数值:2.7219139.091095 注:图中日期代码1~9分别对应这连续9天的时间:表中,.(1)从这9天中随机选取3天,求这3天中恰有2天的日生产量不高于三十万支的概率;(2)由散点图分析,样本点都集中在曲线的附近,求y关于t的方程,并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万支.参考公式:回归方程中,斜率和截距的最小二乘估计公式为: ,.参考数据:.20.如图,长方体被经过的动平面所截,分别与棱,交于点,,得到截面,已知,.(1)求证:;(2)若直线与截面所成角的正弦值为,求的长.21.已知双曲线的两条渐近线所成的锐角为60°,且点P(2,3)为E上一点.(1)求E的标准方程;(2)设M为E在第一象限的任一点,过M的直线与E恰有一个公共点,且分别与E的两条渐近线交于点A,B,设O为坐标原点,证明:△AOB面积为定值.22.(1)已知函数,讨论的单调性;(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明:当时,.
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练(2)数学科试题答案及评分标准1.C【解析】【分析】先对已知式子化简求出复数,从而可得答案【详解】,所以z对应的点位于第三象限.故选:C2.B【解析】【分析】先求出集合,再根据集合中和,即可求出结果.【详解】因为集合,所以,在集合中,由,得,即,又,所以,,,即.故选:B.3.A【解析】【分析】由角所在的象限及同角三角函数的平方关系、商数关系求即可.【详解】因为是第二象限角,所以,,由,,可得:.故选:A.4.C【解析】【分析】将问题转化为函数与的图象交点的个数,进而作图判断即可.【详解】解:函数的零点个数即函数与的图象交点的个数,作图如图所示,由图可知,两图象有两个交点,故原函数有2个零点故选:C5.C【解析】【分析】由题意可求出正方体的体积和其内切球的体积,从而可求出牟合方盖的体积,然后用正方体的体积减去牟合方盖的体积即可【详解】正方体的体积为,其内切球的体积为,由条件可知牟合方盖的体积为,故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为.故选:C6.A【解析】【分析】过点M作抛物线准线的垂线,垂足为,设抛物线准线与x轴的交点为,证明出四边形是正方形,得到,且即可求解.【详解】如图示:过点M作抛物线准线的垂线,垂足为,由抛物线定义,.设抛物线准线与x轴的交点为,则,所以四边形是正方形,则,且又,所以.故选:A7.D【解析】【分析】作出函数和的大致图象,如图,联立直线和抛物线方程求出点A、B的横坐标,对m取、、、情况分类讨论,利用数形结合的数学思想即可得出结果.【详解】如图,作出函数和的大致图象.,得,解得,,注意到点A是二次函数图象的最低点,所以若,则当时,单调递减,不符合题意;当时符合题意;当时,则,在时函数图象“向下跳跃”,不符合题意;当时,符合题意.所以m的取值范围为:或.故选:D8.B【解析】【分析】建立平面直角坐标系,根据数量积的坐标运算,即可求得答案.【详解】解析 如图所示,以A为坐标原点,和分别为x轴和y轴正方向建立直角坐标系.则 , 设DE的长为x,则 ,则,,所以,解得或,由题意知: ,且点E存在于CD上且唯一,知CD的长的取值范围是,故选:B.9.BC【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算可判断A;利用平面向量的模长公式可判断B;利用平面向量垂直的坐标表示可判断C;利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断D.【详解】对于A,,A错;对于B,,,则,B对;对于C,,故,所以,,C对;对于D,,,故,D错.故选:BC.10.AD【解析】【分析】的渐近线方程为:,的渐近线方程为:.【详解】A选项,的渐近线方程为,A正确;B选项,的渐近线方程为:,B错误;C选项,的渐近线方程为:,C错误;D选项,的渐近线方程为:,D正确.故选:AD11.ABD【解析】【分析】根据给出的频率分布直方图,对个选项进行分析,判断作出正误,得出答案 .【详解】选项A . 根据两个频率分布直方图,甲、乙两个城市去年每天的的中位数均为125,故选项A正确.选项B.设甲、乙两频率分布直方图中小矩形的高度数值如图所示,则,即同理甲城市的的平均数为:乙城市的的平均数为:所以甲、乙两城市的平均数的估计值相等,故选项B正确 .选项C. 由图可知,乙城市的数据更集中,即方差更小,所以选项C错误.选项D. 由图可知甲城市在的频率大于0.2,乙城市在的频率小于0.2所以甲城市在的频率大于乙城市在的频率,甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多。故D正确.故选:ABD 12.BD【解析】【分析】求出,可判断A选项;分、两种情况讨论,逐项递推可判断B选项;取可判断C选项;利用假设法可判断D选项.【详解】对于A,,即“个”,,即“个,个”,,即“个,个”,故,A错;对于B,若,即“个”,,即“个,个”,,即“个,个”,,,以此类推可知,的最后一个数字均为,若,则,,,,以此类推可知,的最后一个数字均为.综上所述,若,则的最后一个数字均为,B对;对于C,取,则,此时数列既是等差数列,又是等比数列,C错;对于D,,则,,,,若数列中,中为第一次出现数字,则中必出现了个连续的相同数字,如,则在的描述中必包含“个,个”,即,显然的描述是不合乎要求的,若或,同理可知均不合乎题意,故不包含数字,D对.故选:BD.13.4【解析】直接利用等比数列的性质求解.【详解】因为,所以,解得.所以.故答案为:414.1【解析】根据函数零点的定义,结合导数进行判断即可,.【详解】因为,所以单调递增,又因为,所以有且仅有1个零点.故答案为:115.16【解析】设抛物线(),因为,所以是线段的中点,易得与轴垂直,继而可得,求出p的值,再由,点到的距离为计算的面积即可.【详解】不妨设抛物线(),因为,所以,所以是线段的中点,则与轴垂直,所以,所以,,点到的距离为,所以.故答案为:16.【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是由得出,进而得出是线段的中点且与轴垂直,进而求得p的值然后进行相关计算.16.【解析】设底面边长为a,根据正八棱锥底边所对的圆心角为,求得圆心到底边的距离,再由侧面与底面成求解.【详解】如图所示:点是正八棱锥的顶点,点是底面的中心,是底面的一条边,是的中点,根据题意知,因为,设,则,又因为二面角的大小为,即,所以,即正八棱锥的高和底面边长之比为.故答案为:17.答案不唯一,具体见解析【解析】【分析】若选①,由,得,再利用余弦定理得解若选②,由正弦定理化简得,得到△为等边三角形得解.若选③,利用面积公式.再利用再利用余弦定理得解【详解】解:,代入,得,又为锐角,故.若选①,,由,得.又,即,,得.∴△周长为.若选②,,即.化简得,即,解得.故,此时△为等边三角形,周长为.若选③,,得.又,即,,得.∴△周长为.【点睛】熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键.18.(1);(2).【解析】【分析】(1)根据已知等式写出对应的等式,然后两式作差可得到的结果,最后验证时的情况并确定出的通项公式;(2)先计算出的结果,然后采用裂项相消法进行求和.【详解】解:(1)由题意:,①当时,,②①-②得,即,当时,满足上式,所以.(2)因为,所以,所以.【点睛】结论点睛:常见的数列中可进行裂项相消的形式:(1);(2);(3);(4).19.(1);(2);第14天.【解析】【分析】(1)记所求事件为A,9天中日产量不高于三十万支的有5天.再利用古典概型的概率公式求解;(2)由题得,求利用最小二乘法求出得到,解不等式即得解.【详解】(1)记所求事件为A,9天中日产量不高于三十万支的有5天..(2),,,..,.令,解得.∴,即该厂从统计当天开始的第14天日生产量超过四十万支.【点睛】方法点睛:建立非线性回归模型的基本步骤:①确定研究对象,明确哪个是解释变量,哪个是预报变量;②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(是否存在非线性关系);③由经验确定非线性回归方程的类型(如我们观察到数据呈非线性关系,一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等);④通过换元,将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型;⑤按照公式计算线性回归方程中的参数(如最小二乘法),得到线性回归方程;⑥消去新元,得到非线性回归方程;⑦得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等.20.(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)由于,,两两垂直,所以以为原点,分别以,,,所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,由题可知,若设出点,则可表示出点的坐标,从而可得到向量坐标,得,所以;(2)设,先求出平面的法向量,然后利用空间向量结合向量的夹角公式求解即可.【详解】(1)以为原点,分别以,,,所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.则,,,,.依题意易得,设,则,所以,而,所以,所以.(2)因为,,,设平面的法向量为,则,令,则,设直线与截面所成角为,所以,解得,所以.【点睛】此题考查了空间图形证明线线垂直,求线面角等,利用了空间向量证明线线垂直和求线面角,考查运算能力,属于中档题.21.(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由题得.再分类讨论即得E的标准方程;(2)设直线方程为,联立双曲线方程得到,设,求出,化简△AOB面积即得解.【详解】解:(1)由题意,双曲线在一三象限的渐近线的倾斜角为或,即.当时,E的标准方程为,代入,无解.当时,E的标准方程为,代入,解得.故E的标准方程为.(2)直线斜率显然存在,设直线方程为,与联立得:.由题意,且,化简得.设,将与联立,解得;与联立,解得..由,∴,故面积为定值.【点睛】方法点睛:定值问题的处理常见的方法有:(1)特殊探究,一般证明.(2)直接求题目给定的对象的值,证明其结果是一个常数. 要根据已知条件灵活选择方法求解.22.(1)答案不唯一,具体见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求出的导数,当时,易得单调性;当时,需讨论,和时的导数正负情况,求得单调性;(2)根据对称得出,构造函数,利用导数可得在单调递增,即可证明.【详解】解:(1)解:.设,则当时,;当时,.所以在单调递减,在单调递增.设,由得或.①若,则,所以在单调递增.②若,则,故当时,;当时,,所以在,单调递增,在单调递减.③若,则,故当时,;当时,,所以在,单调递增,在单调递减.(2)证明:由题意可知函数的图象与函数的图象关于直线对称,则,于是得,令,即,于是.当时,,从而,有,,从而函数在单调递增,又,所以时,,即.【点睛】关键点睛:本题考查利用导数研究函数的单调性,解题的关键是正确分段讨论参数的范围判断导数正负;考查利用不等式的证明,解题的关键是构造函数利用导数判断单调性,求出最值.
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