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(新高考)高考数学三轮冲刺小题必练6《立体几何与空间向量》(解析版)
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这是一份(新高考)高考数学三轮冲刺小题必练6《立体几何与空间向量》(解析版),共17页。试卷主要包含了基本立体图形,基本图形位置关系,空间直角坐标系,空间向量及其运算,向量基本定理及坐标表示,空间向量的应用等内容,欢迎下载使用。
立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系.本单元的学习,可以帮助学生以长方体为载体,认识和理解空间点、直线、平面的位置关系;用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证;了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法;运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质,建立空间观念.学生在学习平面向量的基础上,利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用,体会平面向量和空间向量的共性和差异,运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系,体会向量方法和综合几何方法的共性和差异,运用向量方法解决筒单的数学问题和实际问题,感悟向量是研究几何问题的有效工具.内容包括:基本立体图形、基本图形位置关系、空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定理及坐标表示、空间向量的应用.1.基本立体图形①利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.③能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.2.基本图形位置关系①借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解以下基本事实(基本事实1~4也称公理)和定理.基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.②从上述定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系,归纳出以下判定定理,并加以证明.◆一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.◆两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直.③从上述定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系,归纳出以下性质定理,并加以证明.◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.◆如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.3.空间直角坐标系①在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置.②借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标.探索并得出空间两点间的距离公式.4.空间向量及其运算①经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念.②经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.5.向量基本定理及坐标表示①了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.③掌握空间向量的数量积及其坐标表示.④了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义(参见案例9).6.空间向量的应用①能用向量语言指述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用. 1.【2020·全国高考真题(理)】已知是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为,则O到平面的距离为( )A. B. C.1 D.【答案】C【解析】设球的半径为,则,解得.设外接圆半径为,边长为,是面积为的等边三角形,,解得,,球心到平面的距离,故选C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解,涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用;解题关键是明确球的性质,即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.2.【2020全国Ⅱ卷】下图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】根据三视图特征,在正方体中截取出符合题意的立体图形,根据立体图形可得,根据勾股定理可得,是边长为的等边三角形,根据三角形面积公式可得,该几何体的表面积是,故选C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题,解题关键是掌握根据三视图画出立体图形,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题. 一、单选题.1.设,是两平面,,是两直线.下列说法正确的是( )①若,,则②若,,则③若,,则④若,,,,则A.①③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④【答案】D【解析】由平行公理知①对;垂直于同一平面的两条直线平行,故②对;垂直于同一直线的两个平面平行,故③对;由面面垂直性质定理知④对,故选D.2.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是( )A.4 B.8 C. D.【答案】C【解析】根据几何体的三视图还原得到该几何体的直观图为:该几何体为三棱锥体.如图所示:由于,,下底面为等腰直角三角形.可得,,,,所以该四面体四个面的面积中,最大的是,故选C.3.已知球面上,,三点,如果,且球的体积为,则球心到平面的距离为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】设球的半径,则,所以,设外接圆的半径,则由,所以,而,即,所以,故选D.4.如图,正方体的棱长为,以下结论错误的是( )A.面对角线中与直线所成的角为的有8条B.直线与垂直C.直线与平行D.三棱锥的体积为【答案】C【解析】如图所示,建立空间直角坐标系.对于A,,,,,∴,,∴,由于两异面直线的夹角范围是,∴异面直线与所成的角为,同理:正方体的六个面中除了平面与的面对角线外,其他的面对角线都与所成的角为,则共有8条,故A正确;对于B,,,,∴直线与垂直,故B正确;对于C,,∵,∴直线与垂直,不平行,故C错误;对于D,三棱锥的体积为,故D正确,综上可知,只有C不正确,故选C.5.直三棱柱中,,,则异面直线和所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,,所以三角形是等边三角形,取的中点,以点为原点,建立空间直角坐标系如图:设,则,,,,所以,,,,,所以异面直线和所成角的余弦值为,故选C.6.三棱锥的三条侧棱互相垂直,且,则其外接球上的点到平面的距离的最大值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】空间四个点在同一球面上,两两垂直,且,则可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,所以过空间四个点的球面即为的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,长为,球心O到平面的距离为体对角线的,即球心O到平面的距离为.其外接球上的点到平面的距离的最大值为,故选B.7.用斜二测画法画水平放置的的直观图,得到如图所示的等腰直角三角形.已知点是斜边的中点,且,则的边边上的高为( )A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】∵直观图是等腰直角三角形,,,∴,根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半,∴的边上的高,故选D.8.如图,在直三棱柱中,底面为直角三角形,,,,点是线段上一动点,则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】连,沿将展开与在同一个平面内,连接,长度即是所求.∵直三棱柱中,底面为直角三角形,,,,∴矩形是边长为的正方形;则,另外;在矩形中,,,则;易发现,即,∴,则,故,故答案为B. 二、多选题.9.如图,正方体的棱长为1,E,F,G分别为,,的中点,则( )A.直线与直线垂直B.直线与平面平行C.点C与点G到平面的距离相等D.平面截正方体所得的截面面积为【答案】BD【解析】对于A,取中点M,则为在平面上的射影,与不垂直,与不垂直,故A错;对于B,取中点N,连接,,在正方体中,,,平面,平面,所以平面,同理可证平面,,所以平面平面,平面,所以平面,故B正确;对于C,假设C与G到平面的距离相等,即平面将平分,则平面必过的中点,连接交于H,而H不是中点,则假设不成立,故C错;对于D,在正方体中,,把截面补形为四边形,由等腰梯形计算其面积,故D正确,故选BD.10.已知是两个不重合的平面,是两条不重合的直线,则下列命题正确的是( )A.若,,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则与所成的角和与所成的角相等【答案】BCD【解析】选项A:若,,则或,又,并不能得到这一结论,故选项A错误;选项B:若,,则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得,故选项B正确;选项C:若,,则有面面平行的性质定理可知,故选项C正确;选项D:若,,则由线面角的定义和等角定理知,与所成的角和与所成的角相等,故选项D正确,故选BCD.11.如图所示,在长方体,若,、分别是、的中点,则下列结论中成立的是( )A.与垂直 B.平面C.与所成的角为 D.平面【答案】ABD【解析】连接、、,则为的中点,对于A选项,平面,平面,,、分别为、的中点,则,,A选项正确;对于B选项,四边形为正方形,则,又,,平面,,平面,B选项正确;对于C选项,易知为等边三角形,则,,则与所成的角为,C选项错误;对于D选项,,平面,平面,平面,D选项正确,故选ABD.12.如图,在三棱柱中,底面是等边三角形,侧棱底面,为的中点,若,,则( )A.B.异面直线与所成角的余弦值为C.异面直线与所成角的余弦值为D.平面【答案】AC【解析】A:因为侧棱底面,所以,因为是等边三角形,,所以,因为,所以平面,则,A正确;以为原点,如图建立空间直角坐标系,则,,,,所以,,所以,所以异面直线与所成角的余弦值为,B不正确,C正确;又因为,,设平面法向量为,则,即,取,则,因为,且,所以若平面不成立,D不正确,故选AC. 三、填空题.13.在三棱锥中,底面,,,,,若E,F是的三等分点,则异面直线与所成角的余弦值_________.【答案】【解析】如图所示:以为轴,为轴,平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,则,,则,,则,故异面直线与所成角的余弦值为,故答案为.14.如图所示,已知平行六面体中,,,.为的中点,则长度为______.【答案】【解析】因为,所以,,所以,故答案为.15.在直三棱柱中,,,,,则异面直线与所成角的余弦值为________.【答案】【解析】因为,,,所以角为直角,又直棱柱中,侧棱与底面垂直,所以两两垂直,以点为坐标原点,以方向分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则,,,,所以,,设异面直线与所成角为,则,故答案为.16.如图所示,在四棱锥中,侧面底面,侧棱,,底面为直角梯形,其中,,,为的中点.(1)则直线与平面所成角的余弦值为_______;(2)则点到平面的距离为______.【答案】,【解析】(1)在△PAD中,O为AD中点,所以,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面,平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,易得;所以以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系.则,,,,,所以,,得OA⊥平面POC,所以是平面POC的一个法向量,,,所以PB与平面POC所成角的余弦值为.(2),设平面PDC的法向量为,则,取z=1,得,B点到平面PCD的距离.
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