(新高考)高考数学三轮冲刺小题必练12《基本初等函数》(解析版)

1．函数的单调性

（1）单调函数的定义

（2）单调区间的定义

如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．

2．函数的最值

3．函数单调性的常用结论

（1）对在D上是增函数；

在D上是减函数．

（2）对勾函数的增区间为和，减区间为和．

（3）在区间上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

（4）函数的单调性与函数和的单调性的关系是“同增异减”．

4．函数的奇偶性

5．周期性

（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．

（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个正数就叫做的最小正周期．

6．函数奇偶性常用结论

（1）如果函数是偶函数，那么．

（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

（3）在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

7．函数周期性常用结论

对定义域内任一自变量的值：

（1）若，则．

（2）若，则．

（3）若，则．

1．【2020天津9】已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，转化题意为的交点，

在有一个交点，如图所示：

在与右侧相切是为临界值，此时经过计算；当时，根据图像翻折都可以．

【点睛】通过分离，再数形结合．

2．【2020北京卷14】若函数的最大值为2，则常数的一个取值为       ．

【答案】（答案不唯一，满足即可）

【解析】法一：取最大值2时，与同时取最大值1，

此时，且，易知，

答案不唯一，可取．

法二：

，

取最大值2时，，化简得，则，

答案不唯一，可取．

【点睛】由最大值为2，只可能与同时取1，

则可以求出满足的要求．

一、单选题．

1．函数的定义域是（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】D

【解析】∵函数，∴，

即，解得或，

∴函数的定义域为，故选D．

2．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，∵，

又由，∴，故选C．

3．当时，函数和的图象只能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于且，∴可得：当时，为过点的增函数，

，函数为减函数，故选B．

4．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，，，

∴，故选B．

5．已知函数与互为反函数，函数的图象与的图象关于轴对称，

若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵函数与互为反函数，∴函数，

∵函数的图象与的图象关于轴对称，∴函数，

∵，即，∴，故选D．

6．若，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【解析】∵，∴，，

∴，故选B．

7．已知是定义在上的奇函数，且，若，则（    ）

A． B．0 C．3 D．2018

【答案】C

【解析】∵为的奇函数，∴且，

又由，∴，

∴是周期为4的函数，

又，，

∴，，

∴，，

故选C．

8．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，，

当，；当，，

∴函数在上增函数，在上减函数，∴，，故选C．

9．函数，若函数只一个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵只有一个零点，∴与只有一个交点，

作出函数与的图像，与只有一个交点，

则，即，与只有一个交点，它们则相切，

∵，令，则，故切点为，

∴，即，

综上所述，的取值范围为，故选A．

二、多选题．

10．设函数，则（    ）

A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递增

C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减

【答案】AB

【解析】在上为单调递增函数，则在上为单调递减函数，

结论：增函数-减函数=增函数，所以在上为单调递增函数．

11．已知函数，则（    ）

A．的最小值为2 B．的图像关于中心对称

C．的图像关于直线对称 D．的图像关于直线对称

【答案】BD

【解析】由于，A错误；

为奇函数，B正确；

不成立，C错误；

在定义域上恒成立，则D正确．

三、填空题．

12．已知，且，函数的图象恒过点，若在幂函数图像上，

则__________．

【答案】

【解析】∵，∴，即时，，

∴点的坐标是．

由题意令，由于图象过点，得，，

∴，，故答案为．

13．【2018北京卷理13】能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”

为假命题的一个函数是           ．

【答案】

【解析】函数的单调性，答案不唯一．

14．【2020全国3卷理16】关于函数有如下四个命题：

①的图像关于y轴对称；

②的图像关于原点对称；

③的图像关于直线对称；

④的最小值为2．

其中所有真命题的序号是_________．

【答案】②③

【解析】对于①，由知函数定义域为，定义域关于原点对称，

，该函数为奇函数关于原点对称，

故①错，②为正确；

对于③，由，所以关于对称，

③正确；

对于④，令，则，

∴由可知，所以无最小值，错误，

综上所述，真命题的序号是②③．