(新高考)高考数学三轮冲刺小题必练8《圆锥曲线》(解析版)

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1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．3．了解圆锥曲线的简单应用；理解数形结合的思想．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．  1．【2020全国Ⅰ卷理科】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴，若的斜率为，则的离心率为      ．【答案】2【解析】由题可知点的坐标为，所以，且，代入并化简可得解得或（舍弃）．【点睛】主要考查双曲线的几何性质、直线的斜率等知识点．2．【2019全国Ⅰ卷理科】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由椭圆的焦点为，，可知，又，，可设，则，，根据椭圆的定义可知，得，所以，，可知，根据相似可得代入椭圆的标准方程，得，，椭圆的方程为．【点睛】利用椭圆的定义及标准方程运算求解．  一、单选题．1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与轴交于点，的内切圆与边切于点，若，则的渐近线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设三角形的内切圆的圆心为，在第一象限，如图所示．作交于，交于，连接，则，，．根据双曲线的定义可知，而，所以，，，即，，结合，得，所以双曲线的渐近线方程为，故选A．2．过双曲线的右焦点的直线交的右支于，两点，直线（是坐标原点）交的左支于点，若，且，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设左焦点为．因为直线交的左支于点，所以，两点关于原点对称，连接，，，因为，且，，所以四边形为矩形．因为，所以令，则，，，，在中，，即，解得，在中，，即，解得，故选C．3．已知双曲线的左、右顶点分别为，，是上一点，且为等腰三角形，其外接圆的半径为，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解法一：不妨设在第一象限，，因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能．令，则，，，由正弦定理可得，所以，则，，则，，即．又点在双曲线上，所以，解得，则，则，故选C．解法二：不妨设在第一象限，因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能．令，则，，，由正弦定理可得，所以，则，，即，，则，，即，根据，得，则，故选C．4．过抛物线的焦点作直线与该抛物线交于，两点，若，为坐标原点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一：由题意，知，准线，作于点，与点，过点作于点，交轴于点，设，则．由抛物线的定义，知，，，，．由，得，即，解得，所以，故选A．解法二：由题意，知，准线，如图，作于点，设直线的方程为，，，将代入抛物线方程，得，所以①．由，得，即，所以②．联立①②解得，代入抛物线方程，解得．由抛物线的定义，知，所以，故选A．5．已知，分别是双曲线的上、下焦点，是其一条渐近线上的一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，不妨设点在双曲线的过一、三象限的渐近线上，因此可得．，，所以，以为直径的圆的方程为，又以为直径的圆经过点，所以．由，得，于是，故选C．6．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点相同，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由双曲线方程知其右焦点坐标为，所以，即，所以抛物线的方程为．由题意可设直线的方程为，直线的方程为，则，于是由，消去，得，所以，同理可得．因为为抛物线的焦点，所以由抛物线的定义可得，当且仅当时，取得最小值，故选C．7．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，，交抛物线的准线于点，若，则直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于，抛物线的焦点．设直线的方程为，代入抛物线的方程，得．设，，则，．抛物线的准线方程为，则．由，得，所以，即，代入，得，则，又，所以，整理得，解得或（舍去），所以，所以直线的斜率为．解法二：如图，设点在第一象限，分别过，作抛物线准线的垂线，垂足为，．由，得为的中点．设，则，根据抛物线的定义得，所以，在中，，所以，即直线的斜率为，当点在第一象限时可得直线的斜率为．综上，直线的斜率为．8．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意设椭圆的方程为，连接，令，则，．由椭圆的定义知，，得，故，则点为椭圆的上顶点或下顶点．令（为坐标原点），则．在等腰三角形中，，所以，得．又，所以，题意的方程为，故选B． 二、多选题．9．已知曲线．（    ）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是圆，其半径为C．若，则是双曲线，其渐近线方程为D．若，，则是两条直线【答案】ACD【解析】对于选项A，∵，∴，方程可变形为，∴该方程表示焦点在轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵，∴方程可变形为，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，∵，∴该方程表示双曲线，令，正确；对于选项D，∵，，∴方程变形为，该方程表示两条直线，正确，综上选ACD．10．当时，方程表示的轨迹可以是（    ）A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】ACD【解析】将分为，，三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项．当时，，，，．方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆；当时，，，方程化为，，表示两条直线；当时，，，，．方程可化为，表示焦点在轴上的双曲线，所以曲线不可能表示圆，故选ACD．11．已知，分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（    ）A．双曲线的渐近线方程为 B．以为直径的圆的方程为C．到双曲线的一条渐近线的距离为 D．的面积为【答案】ACD【解析】A．代入双曲线渐近线方程得，正确；B．由题意得，，则以为直径的圆的方程，不是，错误；C．，渐近线方程为，距离为，正确；D．由题意得，，设，根据，解得，，则的面积为，正确，故选ACD．12．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，，分别为，在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是（    ）A．  B．为等腰直角三角形C．直线的斜率为 D．线段的长为【答案】ACD【解析】由题意由抛物线的对称性，焦点，准线方程为，由题意可得直线的斜率不为，由题意设直线的方程为，设，，由题意可知，，将直线与抛物线联立整理得，，．A中，因为，所以，即，所以A正确；B中，由A正确，不可能，更不会或为直角，所以B不正确；C中，因为，所以，即，，，所以，解得，，所以直线的斜率为，所以C正确；D中，由题意可得弦长，所以D正确，故选ACD． 三、填空题．13．过抛物线焦点的直线与该抛物线相交于，两点，点是的中点，则的值为_______．【答案】【解析】由抛物线方程知，．设，，则，所以由抛物线的定义知．14．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______．【答案】【解析】因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为．15．已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆上关于轴对称的两点，的中点恰好落在轴上，若，则椭圆的离心率的值为______．【答案】【解析】设，因为的中点在轴上，所以，解得，所以点，，三点共线．因为，所以，所以垂直平分，所以．又由椭圆的对称性，知，所以为等边三角形．因为，所以由，得，所以．由椭圆的定义，知，即，所以．16．能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组，的值是______．【答案】(答案不唯一，满足要求即可)【解析】当且，时，方程表示的曲线为圆，取，则(答案不唯一，满足要求即可)．