必修 第二册10.2 事件的相互独立性练习题

课时分层作业(四十)　事件的关系和运算

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为(　　)

A．“都是红球”与“至少1个红球”

B．“恰有2个红球”与“至少1个白球”

C．“至少1个白球”与“至多1个红球”

D．“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”

D　[A，B，C中两个事件是包含与被包含关系，只有D，两个事件不可能同时发生，是互斥事件．]

2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)

A．至多有2件次品　　　　B．至多有1件次品

C．至多有2件正品   D．至少有2件正品

B　[至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．]

3．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．其中命题正确的个数是(　　)

A．0   B．1

C．2   D．3

B　[(1)还有可能出现一次出现正面，一次出现反面这种情况，所以事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，所以(1)错误；(2)正确；(3)中可能出现2件次品，1件正品的情况，所以事件A与事件B不是互斥事件．故选B.]

4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是(　　)

A．A⊆D   B．B∩D＝∅

C．A∪C＝D   D．A∪C＝B∪D

D　[“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪C≠B∪D.]

5．如果事件A，B互斥，那么(　　)

A．A∪B是必然事件

B.∪是必然事件

C.与一定互斥

D.与一定不互斥

B　[用集合的表示法中的“Venn图”解决比较直观，如图所示，∪＝I是必然事件，故选B.

]

二、填空题

6．事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是        ．

某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球　[事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球”．]

7．同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为        ．

①一个是5点，另一个是6点；

②一个是5点，另一个是4点；

③至少有一个是5点或6点；

④至多有一个是5点或6点．

③　[同时掷甲、乙两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不是6点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”．]

8．向上抛掷一枚骰子，设事件A＝{点数为2或4}，事件B＝{点数为2或6}，事件C＝{点数为偶数 }，则事件C与A，B的运算关系是        ．

C＝A∪B　[由题意可知C＝A∪B.]

三、解答题

9．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否是对立事件．

(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.

[解]　(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．

(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．

(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．

(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．

10．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系：

(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；

(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．

[解]　设3名男生用数字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(x，y)(x∈{1,2,3}，y∈{4,5})表示选出参加比赛的2名同学，则试验的样本空间为

Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，

(1)设A＝“恰有1名男生”，B＝“恰有2名男生”，

则A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，B＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，

因为A∩B＝∅，所以事件A与事件B互斥且不对立．

(2)设C＝“至少有1名男生”，D＝“全是男生”，

则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，

D＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，因为C∩D＝D，所以D⊆C.即事件C与事件D不互斥

(3)设E＝“至少有1名男生”，F＝“全是女生”，则E＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，

F＝{(4,5)}，因为E∪F＝Ω，E∩F＝∅，所以E和F互为对立事件．

(4)设G＝“至少有1名男生”，H＝“至少有1名女生”，则

G＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，

H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，

由于G∩H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，所以G与H不互斥．

[等级过关练]

1．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)

A．对立事件　　　 B．互斥但不对立事件

C．不可能事件   D．以上说法都不对

B　[因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件．]

2．下列各组事件中，不是互斥事件的是(　　)

A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6

B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分

C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒

D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%

B　[对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．]

3．抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列不成立的是(　　)

A．A⊆C   B．A∩B＝∅

C．A∪B＝C   D．B∩C＝∅

D　[易知A∪B＝C，B∩C＝B，所以选项D不正确．]

4．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件“取出的是理科书”可记为        ．

B∪D∪E　[由题意可知事件“取出的是理科书”可记为B∪D∪E.]

5．从学号为1,2,3,4,5,6的6名同学中选出一名同学担任班长，其中1,3,5号同学为男生，2,4,6号同学为女生，记：C1＝“选出1号同学”，C2＝“选出2号同学”，C3＝“选出3号同学”，C4＝“选出4号同学”，C5＝“选出5号同学”，C6＝“选出6号同学”，D1＝“选出的同学学号不大于1”，D2＝“选出的同学学号大于4”，D3＝“选出的同学学号小于6”，E＝“选出的同学学号小于7”，F＝“选出的同学学号大于6”，G＝“选出的同学学号为为偶数”，H＝“选出的同学学号为奇数”，等等．据此回答下列问题：

(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？

(2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？

(3)如果事件H发生，则可能是哪些事件发生？在集合中，事件H与这些事件之间有何关系？

(4)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？它们之间的关系如何描述？

(5)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？

[解]　(1)必然事件有：E；

随机事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1 ，D2，D3，G ，H；

不可能事件有： F.

(2)如果事件C1发生，则事件H一定发生．

(3)可能是C1，C3，C5发生， H＝C1∪C3∪C5.

(4)D2和D3同时发生时，即为C5发生了．D2∩D3＝C5，

(5)有，如：C1和C2；C3和C4等等．