人教版九年级上册第二十五章 概率初步综合与测试测试题

2022-2023学年人教版九年级数学上册单元测试

第二十五章 概率初步（提升卷）

时间：100分钟    总分：120分

一、    选择题（每题3分，共24分）

1．下列事件中，是必然事件的是                                      （　　）

A．如果a2＝b2，那么a＝b

B．将一滴花生油滴入水中，油会浮在水面上

C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯

D．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上

【解析】

解：A、如果a2=b2，那么a=b或a=-b，故该选项不是必然事件，该选项不符合题意；

B、将一滴花生油滴入水中，油会浮在水面上，故该选项是必然事件，该选项符合题意；

C、车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，故该选项不是必然事件，该选项不符合题意；

D、掷一枚质地均匀的硬币，不一定正面向上，故该选项不是必然事件，该选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了必然事件，熟练掌握必然事件的定义是解题的关键．

2．现有4张不透明卡片，正面分别标有数字“2”、“4”、“5”、“6”，卡片除正面的数字外，其余均相同．现将4张卡片正面向下洗匀，小王同学从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片数字“能被2整除”的概率为                                       （　　）

A． B． C． D．

【解析】

4张卡片上的数字“2”、“4”、“6”，能被2整除，

故随机抽取一张卡片，“能被2整除”的概率为．

故选：C．

【点睛】

本题考查概率的求解，解决本题的关键是正确理解概率的定义．

3．在一次比赛前，教练预言说：“这场比赛我们队有70%的机会获胜”，则下列说法中与“有70%的机会获胜”的意思接近的是                                     （    ）

A．他这个队赢的可能性较大 B．若这两个队打10场，他这个队会赢7场

C．若这两个队打100场，他这个队会赢70场 D．他这个队必赢

【解析】

解：A、根据概率的意义可知该说法正确；

B、概率仅仅反映了这一事件发生的可能性的大小，若这两个队打10场，他这个队可能会赢7场，但不会是肯定的，所以错误；

C、概率仅仅反映了这一事件发生的可能性的大小，若这两个队打100场，他这个队可能会赢70场，但不会是肯定的，所以错误；

D、根据概率的意义可知该说法错误．

故选：A．

【点睛】

本题考查了概率，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小．

4．如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针指向的数字之和大于8的概率是        （   ）

A． B． C． D．

【解析】

解：列表得：

由表格知：本题一共有20种等可能的结果，其中两次指针指向的数字之和大于8的结果共有11种，因此(两次指针指向的数字之和大于8)．

故选：C

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．

5．罐子里有4个红球，5个黑球和7个黄球，从中任摸一个球，摸到（　　　）的可能性最大．

A．红球 B．黑球 C．黄球 D．无法确定

【解析】

解：由题意可知：摸一个球，摸到的是红球的概率为，

摸一个球，摸到的是黑球的概率为，

摸一个球，摸到的是黄球的概率为，

∵，

∴摸到黄球的概率最大，

故选：C．

【点睛】

本题考察了等可能时间概率的计算，属于基础题．

6．不透明的袋子中装有10个黑球和若干个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有300次摸到白球，由此估计袋子中的白球大约有                               (    )

A．6个 B．10个 C．15个 D．30个

【解析】

解：设白球有个，根据题意得：

，

解得：，

经检验是分式方程的解，且符合题意，

∴估计袋子中的白球大约有30个．

故选：D．

【点睛】

本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．

7．已知一次函数，从2，-3中随机取一个值，从1，-1，-2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率为                      （   ）

A． B． C． D．

【解析】

解：根据题意，画出树状图，如下：

∵该一次图数的图象经过二、三、四象限时，k<0，b<0，

∴当k=-3，b=-1时或当k=-3，b=-2时符合要求，

∴该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为．

故选：A

【点睛】

此题主要考查了一次函数的性质以及树状图法求概率，熟练地应用一次函数知识得出k，b的符号是解决问题的关键．

8．“若a是实数，则a2≥0”这一事件发生的概率为P，则                  （　　）

A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1

【解析】

解：∵a是实数，a2≥0这一事件是必然事件．

∴这一事件发生的概率P＝1．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了必然事件，正确把握相关定义是解题关键．

二、填空题（每题3分，共24分）

9．一个不透明的袋子里装有个球，其中有个红球，个白球，这些球除颜色外其它均相同．现从中随机摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为________．

【解析】

解：∵袋子里装有个球，其中有个红球，个白球，

∴从中随机摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查简单的概率计算，熟知概率计算公式是解答的关键．

10．一只小花猫在如图的方砖上走来走去，最终停留在阴影方砖上的概率是______．

【解析】

解：图中方格共15个，黑色方格有6个，

∴黑色方格在整个方砖面积的占比为：，

∴最终停在阴影方格上的概率为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了几何概率，熟练运用概率公式，算出黑色方格占整个方砖面积的比例是解题的关键．

11．某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖．若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是_________．（用最简分数表示）

【解析】

解：∵每一箱都有6件产品，且每箱中都有2件能中奖，

∴P（从其中一箱中随机抽取1件产品中奖）=，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查简单概率的计算，正确理解题意是解本题的关键．

12．某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：

则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是__________（精确到0.01）．

【解析】

解：由击中靶心频率m/n分别为：0.9、0.86、0.84、0.852、0.849，可知随着射击次数的增多,频率都在0.85上下波动，

所以这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是0.85，

故答案为：0.85．

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．

13．奥园路口红绿灯的时间设置为：红灯90秒，绿灯30秒，黄灯5秒．当人或车随意经过该路口时，遇到红灯的概率是______．

【解析】

解：∵红灯90秒，绿灯30秒，黄灯5秒，

∴遇到红灯的概率为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．

14．小颖有两根长度为4cm和9cm的木棒，她想钉一个三角形的木框，现在有5根木棒供她选择，其长度分别为3cm，5cm，10cm，12cm，17cm．小颖随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为_____．

【解析】

解：∵三角形中任意两边之和要大于第三边，任意两边之差小于第三边，

∴要想与两根长度为4cm和9cm的木棒钉一个三角形的木框，第三边c的长度范围是：，

∴只有取到10cm或12cm的木棒才可以与4cm和9cm的木棒钉成一个三角形木框，

∵随手拿了一根，有五种情况，

∴小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为：．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了三角形的三边关系和概率公式的应用，根据三角形三边关系求出第三边长的取值范围，是解题的关键．

15．某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为______．

【解析】

解：∵捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右，

设鲫鱼的条数为x，可得：

；

解得：x=500，

经检验：x=500是原方程的解且符合实际意义

∴由题意可得，捞到草鱼的概率约为:

，

故答案为：0.5.

【点睛】

本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由鱼的数量和鲫鱼出现的频率可以计算出草鱼的数量,进而估算出捕捞到草鱼的概率．

16．若事件“对于二次函数y=x2﹣2mx+1，当x≤1时，y随着x的增大而减小．”是必然事件，则实数m的取值范围是____．

【解析】

对于二次函数y=x2﹣2mx+1，对称轴为x=m．

∵当x≤1时，y随x的增大而减小，

∴m≥1，

∴实数m的取值范围是m≥1．

故答案为：m≥1．

【点睛】

本题考查二次函数、一元一次不等式及概率的综合运用，熟练掌握和理解二次函数图象及其增减性、一元一次不等式解集在数轴上的表示及必然事件的含义是解题关键．

三、解答题（每题8分，共72分）

17．一个口袋中有10个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色后再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验100次，其中75次摸到白球，估计袋中共有多少球？

【解析】

解：设小球共有x个，根据题意可得：

解得：x=40．

经检验x=40，为方程的解且符合题意，

答：袋中共有40个球

【点睛】

此题主要考查了分式方程的应用和利用频率估计概率，得出求白球的频率公式是解题关键．

18．小樱和小贝一起做游戏．在一个不透明的袋子中放有4个红球和3个蓝球(这些球除颜色外其他均相同)，从袋子中随机摸出1个球，摸到红球小樱获胜，摸到蓝球小贝获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？

【解析】

解：不公平．

理由如下：

∵小樱获胜，小贝获胜，

而，

即，

∴这个游戏不公平；

可改为：从袋中取出1个红球或放入1个蓝球，使袋中红球和蓝球的个数相等，这样游戏对双方都是公平的．

【点睛】

本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．

19．4张看上去无差别的卡片上分别印正三角形、菱形、正五边形、圆．将印有图案的一面朝下，混合均匀．

（1）从中随机抽取1张，抽到的图案是中心对称图形的概率为　   　；

（2）从中随机抽取两张，求抽到的图案都是中心对称图形的概率．

【解析】

解：（1）从中随机抽取1张，抽到的图案是中心对称图形的概率为，

故答案为：；

（2）分别用A、B、C、D表示正三角形、菱形、正五边形、圆，

画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有2种情况，

∴抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为＝．

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成的事件，树状图法适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．

（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 　　；

（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．

【解析】

解：（1）负数的个数有1个，数字的总个数是3个，

所以第一次抽到写有负数的卡片的概率是，

故答案为：；

（2）画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有4种结果，

所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为．

【点睛】

本题考查的是求概率和树状图，熟练掌握概率的意义是解决本题的关键．

21．在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个，小鲍做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中摇匀，不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线统计图．

（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近________精确到，估计盒子里白球有________个，假如摸一次，摸到白球的概率为________；

（2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？

【解析】

解：（1）由摸到白色球”的概率折线统计图可得，摸到白球的频率将会接近0.50，

，

盒子里白球为15，

随实验次数的增多，频率的值稳定于0.50，

摸到白球的概率0.5，

故答案为：0.50，15，0.5；

（2）设需要往盒子里再放入个白球；

根据题意得：，

解得；

经检验，是原方程的解，且符合实际意义，

故需要往盒子里再放入30个白球．

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．解题时注意：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

22．一个箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．

(1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是______；

(2)从箱子中任意摸出一个球后，放回箱子，搅匀后再摸出一个球，请画树状图或列表求2次摸出的球都是白球的概率．

(3)小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值．

【解析】

（1）2÷3=，即摸出白球的概率为，故答案为：；

（2）列表如下：根据表格可知：总的可能情况有6种，两次都是白球的情况有2种，即两次都是摸出白球的概率为：2÷6=；

（3）加入红球后球的总个数：，则加入红球的个数为：n=8-3=5，即n值为5．

【点睛】

本题考查了用概率公式求解概率、采用树状图法或列表法列举求解概率以及根据概率求数量的知识，掌握用树状图法或列表法列举求解概率是解答本题的关键．

23．学校举办了书法比赛．小明和小张都想参加，但现在只有一个名额．小明想出了一个办法，他将一个转盘（质地均匀）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，若指针指到1，2，3中任一个数，则小明去；若指针指到其它数，则小张去．这个游戏规定对双方公平吗？为什么？若不公平，请修改游戏规定，使这个游戏对双方公平．

【解析】

解：不公平；理由如下：

小明获胜的概率为，小张获胜的概率为，

∵≠，

∴此游戏不公平；

修改规则为：若指针转到偶数，则小明胜；若指正转到奇数，则小张胜．

【点睛】

本题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式的运用．

24．一个不透明的口袋装有分别标有汉字“美”“丽”“太”“康”的4个小球，除汉字不同外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．

(1)若从中任取一个小球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；

(2)小华从中任取一个小球，记下小球上的汉字后放回，再从中任取一小球，请用画树状图或列表法，求小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“太康”的概率．

【解析】

（1）解：若从中任取一个球，则摸出球上的汉字刚好是“美”字的概率．

（2）解：画树状图如下，由树状图知，共有16种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰好能组成“美丽”或“太康”的有4种结果∴取出的两个球上的汉字恰好能组成“美丽”或“南山”的概率为．

【点睛】

本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式等知识点，正确的画出树状图是解答题的关键．

25．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：

1．抽奖方案有以下两种：

方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；

方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．

2．抽奖条件是：

顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）．

已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元．

(1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；

(2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由．

【解析】

 (1)解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元，

从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下：

共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种，

所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为；

(2)解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为，

所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元），

②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元），

③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元），

因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．

【点睛】

本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．