2023年中考数学压轴题培优教案专题05 倍长中线模型（含答案解析）

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【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题5倍长中线模型
解题策略



如图①,AD是△ABC的中线,延长AD至点E使DE＝AD,易证：△ADC≌△EDB（SAS）．
如图②,D是BC中点,延长FD至点E使DE＝FD,易证：△FDB≌△EDC（SAS）
　　当遇见中线或者中点的时候,可以尝试倍长中线或类中线,构造全等三角形,目的是对已知条件中的线段进行转移．
经典例题



【例1】．（2020·陕西咸阳·一模）问题提出
（1）如图,AD是△ABC的中线,则AB+AC__________2AD；（填“>”“AC,且BD=CE,∠BCD=∠CBE,求∠CFE的度数；
(2)如图2,若AB=AC,且BD=AE,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM,连接MF,点N是MF的中点,连接CN．在点D,E运动过程中,猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系,并证明你的猜想．
7．（2022·全国·八年级专题练习）如图1,在△ABC中,CM是AB边的中线,∠BCN=∠BCM交AB延长线于点N,2CM=CN．

（1）求证AC=BN；
（2）如图2,NP平分∠ANC交CM于点P,交BC于点O,若∠AMC=120°,CP=kAC,求CPCM的值．
8．（2021·全国·八年级单元测试）（1）如图1,△ABC中,AD为中线,求证：AB+AC＞2AD；

（2）如图2,△ABC中,D为BC的中点,DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF．
9．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1,已知△ABC中,AD是中线,求证：AB+AC>2AD；
（2）如图2,在△ABC中,D,E是BC的三等分点,求证：AB+AC>AD+AE；
（3）如图3,在△ABC中,D,E在边BC上,且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．

10．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABM中,AM⊥BM,垂足为M,AM＝BM,点D是线段AM上一动点．
（1）如图1,点C是BM延长线上一点,MD＝MC,连接AC,若BD＝17,求AC的长；
（2）如图2,在（1）的条件下,点E是△ABM外一点,EC＝AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点,求证：∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3,当E在BD的延长上,且AE⊥BE,AE＝EG时,请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）

11．（2022·全国·八年级课时练习）已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°．

（1）如图1,延长DE交BC于点F,若∠BAE=68°,则∠DFC的度数为 ；
（2）如图2,连接EC、BD,延长EA交BD于点M,若∠AEC=90°,求证：点M为BD中点；
（3）如图3,连接EC、BD,点G是CE的中点,连接AG,交BD于点H,AG=9,HG=5,直接写出△AEC的面积．
12．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N,连接PM,PN．
（1）如图1,若点B,P在直线a的异侧,延长MP交CN于点E．求证：PM=PE．

（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时,点B,P在直线a的同侧,其它条件不变,此时S△BMP+S△CNP=7,BM=1,CN=3,求MN的长度．

（3）若过P点作PG⊥直线a于点G．试探究线段PG、BM和CN的关系．

13．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级开学考试）（1）阅读理解：如图1,在△ABC中,若AB＝10,BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围,小聪同学是这样思考的：延长BD至E,使DE＝BD,连接CE．利用全等将边AB转化到CE,在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围,在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 　 　；中线BD的取值范围是 　 　．
（2）问题拓展：如图2,在△ABC中,点D是AC的中点,分别以AB,BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中∠ABM＝∠NBC＝90°,连接MN,探索BD与MN的关系,并说明理由．

14．（2020·辽宁·大连市第三十四中学八年级阶段练习）课堂上,老师出示了这样一个问题：
如图1,点D是△ABC边BC的中点,AB=5,AC=3,求AD的取值范围．

（1）小明的想法是,过点B作BE//AC交AD的延长线于点E,如图2,从而通过构造全等解决问题,请你按照小明的想法解决此问题；
（2）请按照上述提示,解决下面问题：
在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D边AC延长线上一点,连接BD,过点A作AE⊥BD于点E,过点A作AF⊥AE,且AF=AE,连接EF交BC于点G,连接CF,求证BG=CG．

15．（2022·全国·八年级课时练习）如图,点P是∠MON内部一点,过点P分别作PA∥ON交OM于点A,PB∥OM交ON于点B（PA≥PB）,在线段OB上取一点C,连接AC,将△AOC沿直线AC翻折,得到△ADC,延长AD交PB于点E,延长CD交PB于点F．
（1）如图1,当四边形AOBP是正方形时,求证：DF＝PF；
（2）如图2,当C为OB中点时,试探究线段AE,AO,BE之间满足的数量关系,并说明理由；
（3）如图3,在（2）的条件下,连接CE,∠ACE的平分线CH交AE于点H,设OA＝a,BE＝b,若∠CAO＝∠CEB,求△CDH的面积（用含a,b的代数式表示）．


16．（2022·全国·八年级专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时,张老师提出了如下问题：如图1,在△ABC中,AB＝8,AC＝6,求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法（如图2）,

①延长AD到M,使得DM＝AD；
②连接BM,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM,从而得到AD的取值范围是　 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系,并加以证明．
（3）深入思考：如图3,AD是△ABC的中线,AB＝AE,AC＝AF,∠BAE＝∠CAF＝90°,请直接利用（2）的结论,试判断线段AD与EF的数量关系,并加以证明．
17．（2022·全国·八年级课时练习）（1）阅读理解：如图1,在△ABC中,若AB＝5,AC＝8,求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E,使DE ＝ AD,连接BE．利用全等将边AC转化到BE,在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________,中线AD的取值范围是_________；
（2）问题解决：如图2,在△ABC中,点D是BC的中点,点M在AB边上,点N在AC边上,若DM⊥DN． 求证：BM＋CN＞MN；
（3）问题拓展：如图3,在△ABC中,点D是BC的中点,分别以AB,AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN,其中∠BAM＝∠NAC＝ 90°,AB＝AM,AC＝AN,连接MN,探索AD与MN的关系,并说明理由．

18．（2022·全国·八年级课时练习）如图,在等边△ABC中,点D,E分别是AC,AB上的动点,且AE＝CD,BD交CE于点P．
（1）如图1,求证：∠BPC＝120°；
（2）点M是边BC的中点,连接PA,PM,延长BP到点F,使PF＝PC,连接CF,
①如图2,若点A,P,M三点共线,则AP与PM的数量关系是　 　．
②如图3,若点A,P,M三点不共线,问①中的结论还成立吗？若成立,请给出证明,若不成立,说明理由．

19．（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现：
如图①：在△ABC中,若AB=6,AC=4,点D为BC边的中点,求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE,可证△ACD≌△EBD,从而把AB、AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________,这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②,在△ABC中,点D是BC的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③,在四边形ABCD中,AB//CD,AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点,若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB,AF,CF之间的数量关系,并加以证明．


20．（2021·重庆市渝北中学校九年级阶段练习）（1）如图1．在Rt△ACB中,∠ACB＝90°,AC＝8,BC＝6,点D、E分别在边CA,CB上且CD＝3,CE＝4,连接AE,BD,F为AE的中点,连接CF交BD于点G,则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是　 　．（提示：延长CF到点M,使FM＝CF,连接AM）

（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时,（1）中的结论是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．
（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转,在旋转过程中,当B,D,E三点在同一条直线上时,CF的长为　 　．
21．（2022·安徽宿州·九年级期末）已知：在矩形ABCD中,连接AC,过点D作DF⊥AC,交AC于点E,交AB于点F．

（1）如图1,若tan∠ACD=22．
①求证：AF=BF；
②连接BE,求证：CD=2BE．
（2）如图2,若AF2=AB⋅BF,求cos∠FDC的值．
22．（2022·全国·八年级课时练习）阅读理解：

（1）如图1,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E,使得AD=DE,再连接BE,把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证：BE+CF>EF．
（3）问题拓展：如图3,在△ABC中,D是BC边上的中点,延长DA至E,使得AC=BE,求证：∠CAD=∠BED．
23．（2022·全国·八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你来加入．

【探究与发现】
（1）如图1,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,证明：△ACD≌△EBD．
【理解与应用】
（2）如图2,EP是△DEF的中线,若EF=5,DE=3,设EP=x,则x的取值范围是________．
（3）如图3,AD是△ABC的中线,E、F分别在AB、AC上,且DE⊥DF,求证：BE+CF>EF．
24．（2020·福建福州·九年级开学考试）如图1,已知正方形ABCD和等腰RtΔBEF,EF=BE,∠BEF=90°,F是线段BC上一点,取DF中点G,连接EG、CG．

（1）探究EG与CG的数量与位置关系,并说明理由；
（2）如图2,将图1中的等腰RtΔBEF绕点B顺时针旋转α°0