2023年中考数学压轴题培优专题06 截长补短模型（含答案解析）

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【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题6截长补短模型
解题策略


模型：截长补短

如图①,若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD,可以考虑截长补短法.
截长法：如图②,在EF上截取EG＝AB,再证明GF＝CD即可.
补短法：如图③,延长AB至H点,使BH＝CD,再证明AH＝EF即可.

模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长,指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短,指将一条短线端延长,延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.
常见模型示例：如图,已知在△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC＋CD .

经典例题



【例1】（2022·江苏徐州·模拟预测）（1）如图1,在四边形ABCD中,AB＝AD,∠B＝∠D＝90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF＝12∠BAD,线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2,在四边形ABCD中,AB＝AD,∠B+∠D＝180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF＝12∠BAD,（1）中的结论是否仍然成立？若成立,请证明．若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明．
（3）如图3,在四边形ABCD中,AB＝AD,∠B+∠D＝180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF＝12∠BAD,（1）中的结论是否仍然成立？若成立,请证明．若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明．

【例2】（2022·安徽合肥·一模）已知：如图1,△ABC中,∠CAB=120°, AC=AB,点D是BC上一点,其中∠ADC=α（30°＜α＜90°）,将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED,AE交CB于F,连接CE


(1)求∠CDE与∠AEC的度数（用含α的代数式表示）；
(2)如图2,当α=45°时,解决以下问题：
①已知AD=2,求CE的值；
②证明：DC-DE=2AD；
【例3】（2022·江苏·八年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,P为△ABC外一点,且∠MPN＝60°,∠BPC＝120°,BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM,NC,MN之间的数量关系．




(1)如图①,当点M、N在边AB、AC上,且PM＝PN时,试说明MN＝BM+CN．
(2)如图②,当点M、N在边AB、AC上,且PM≠PN时,MN＝BM+CN还成立吗？
答：　 　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
(3)如图③,当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时,请直接写出BM,NC,MN之间的数量关系．   
【例4】（2022·江苏·八年级课时练习）如图,在锐角△ABC中,∠A=60°,点D,E分别是边AB,AC上一动点,连接BE交直线CD于点F．


(1)如图1,若AB>AC,且BD=CE,∠BCD=∠CBE,求∠CFE的度数；
(2)如图2,若AB=AC,且BD=AE,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM,连接MF,点N是MF的中点,连接CN．在点D,E运动过程中,猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系,并证明你的猜想．

培优训练


一、解答题
1．（2022·福建三明·九年级期末）在菱形ABCD中,∠BAD＝60°,点E,F分别在边AB,AD上,且AE＝DF,BF与DE交于点G．

(1)如图①,连接BD．求证：△ADE≌△DBF；
(2)如图②,连接CG．求证：BG＋DG＝CG．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,点E、F分别在直线BC、CD上,且∠EAF=12∠BAD．

(1)当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1）,请说明EF=BE+FD的理由．
(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2）,（1）中的结论是否仍然成立？若成立,请说明理由；若不成立,请写出EF、BE、FD之间的数量关系,并说明理由．
3．（2021·重庆市实验学校八年级期中）如图,已知▱ABCD,AE平分∠BAD,交DC于E,DF⊥BC于F,交AE于G,且DF＝AD．

(1)若∠C＝60°,AB＝2,求EC的长；
(2)求证：AB＝DG+FC．
4．（2022·全国·八年级课时练习）（1）阅读理解：问题：如图1,在四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在BC上截取BM=BA,连接DM,得到全等三角形,进而解决问题；
方法2：延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN,得到全等三角形,进而解决问题．
结合图1,在方法1和方法2中任选一种,添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2,在（1）的条件下,连接AC,当∠DAC=60°时,探究线段AB,BC,BD之间的数量关系,并说明理由；
（3）问题拓展：如图3,在四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,DA=DC,过点D作DE⊥BC,垂足为点E,请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．


5．（2022·全国·八年级课时练习）阅读下面材料：
【原题呈现】如图1,在△ABC中,∠A＝2∠B,CD平分∠ACB,AD＝2.2,AC＝3.6,求BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB,所以可在BC边上取点E,使EC＝AC,连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC,经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】（1）参考提示的方法,解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3,已知△ABC中,AB＝AC,∠A＝20°,BD平分∠ABC,BD＝2.3,BC＝2．求AD的长．

6．（2021·北京·清华附中九年级阶段练习）已知∠MON=α0°