(新高考)高考数学一轮复习学案3.1《函数及其表示》(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案3.1《函数及其表示》(含详解)，共16页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。


第1讲　函数及其表示


一、知识梳理
1．函数的概念

函数
两集合A，B
A，B是两个非空数集
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
[注意] 函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
[注意]　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
常用结论
几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)指数函数的底数大于0且不等于1.
(6)正切函数y＝tan x的定义域为.
二、教材衍化
1．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
答案：B
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．

答案：[－3，0]∪[2，3]　[1，5]　[1，2)∪(4，5]
3．函数y＝·的定义域是________．
解析：⇒x≥2.
答案：[2，＋∞)
4．已知函数f(x)＝则f(－2)＝________，f[f(－2)]＝________．
解析：f(－2)＝(－2)2＝4，f[f(－2)]＝f(4)＝4＋1＝5.
答案：4　5

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B．(　　)
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　)
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)
(4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　　)
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
常见误区(1)对函数概念理解不透彻；
(2)对分段函数解不等式时忘记范围；
(3)换元法求解析式，反解忽视范围．
1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
解析：对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数．
答案：③
2．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________．
解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1；当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]．
答案：(－∞，－2]∪[0，10]
3．已知f()＝x－1，则f(x)＝________．
解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
答案：x2－1(x≥0)

考点一　函数的定义域(基础型)
学习用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
核心素养：数学抽象
角度一　求函数的定义域
(1)(2020·安徽宣城八校联考)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－1，3] B．(－1，0)∪(0，3]
C． [－1，3] D．[－1，0)∪(0，3]
(2)(2020·华南师范大学附属中学月考)已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[0，1] B．(0，1)
C．[0，1) D．(0，1]
【解析】　(1)要使函数有意义，x需满足解得－1 (2)由函数f(x)的定义域为[－1，1]，得－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1，又由1－x>0且1－x≠1，解得x<1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0，1)，故选B．
【答案】　(1)B　(2)B

求函数定义域的两种方法
方法
解读
适合题型
直接法
构造使解析式有意义的不等式(组)求解
已知函数的具体表达式，求f(x)的定义域
转移法
若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a 已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域
若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域
已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域
[提醒]　定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
角度二　已知函数的定义域求参数
若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．
【解析】　由题意可得mx2＋mx＋1≥0对x∈R恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则
解得0 综上可得0≤m≤4.
【答案】　[0，4]

已知函数的定义域求参数的取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．

1．函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(　　)
A．(2，＋∞) B．(1，2)
C．(0，2) D．[1，2]
解析：选B．要使函数有意义，则
解得1 所以函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(1，2)．
2．如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选D．因为－2x＋a>0，
所以x<，所以＝1，所以a＝2.
3．(2020·山东安丘质量检测)已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f＋ 的定义域为(　　)
A．[0，3] B．[0，2]
C．[1，2] D．[1，3]
解析：选A．由题意，可知x满足
解得0≤x≤3，即函数g(x)的定义域为[0，3]，故选A．
考点二　函数的解析式(基础型)
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
核心素养：数学运算
(1)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为________．
(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)的解析式为________．
【解析】　(1)(换元法)令＋1＝t，
得x＝，因为x＞0，所以t＞1，
所以f(t)＝lg，
即f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
又f(0)＝c＝3.
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，
所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
所以
所以
所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(3)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①
将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②
由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，
所以f(x)＝2x.
【答案】　(1)f(x)＝lg(x＞1)
(2)f(x)＝x2－x＋3　(3)f(x)＝2x

求函数解析式的4种方法


1．(一题多解)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________．
解析：法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，
则x＝，
所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以解得
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
答案：x2－5x＋9(x∈R)
2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．
解析：因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．故当－1≤x≤0时，f(x)＝－x(x＋1)．
答案：－x(x＋1)
考点三　分段函数(基础型)
通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
核心素养：数学抽象、数学运算
角度一　求分段函数的函数值
(1)(2020·合肥一检)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝(　　)
A．－ B．2
C．4 D．11
(2)(2020·山西太原三中模拟)设函数f(x)＝若f(m)＝3，则f＝________．
【解析】　(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.故选C．
(2)当m≥2时，m2－1＝3，所以m＝2或m＝－2(舍)；
当0 所以m＝2.所以f＝f＝log2＝－1.
【答案】　(1)C　(2)－1

分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
角度二　分段函数与方程、不等式问题
(1)(一题多解)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝，则满足f(x＋1) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，0)
【解析】　(1)法一：当0＜a＜1时，a＋1＞1，
所以f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得＝2a，
所以a＝.
此时f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1＞1，
所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6，故选C．
法二：因为当0＜x＜1时，f(x)＝，为增函数，
当x≥1时，f(x)＝2(x－1)，为增函数，
又f(a)＝f(a＋1)，所以＝2(a＋1－1)，
所以a＝.
所以f＝f(4)＝6.
(2)法一：①当即x≤－1时，f(x＋1)＜f(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．
④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．
故选D．

法二：因为f(x)＝
所以函数f(x)的图象如图所示．
由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.
此时x≤－1.
当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，
满足f(x＋1)＜f(2x)．
此时－1＜x＜0.
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．
故选D．
【答案】　(1)C　(2)D

有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解．

1．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选D．当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时．不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
2．(2020·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝________．
解析：由题意得a>0.
当0 解得a＝，则f＝f(4)＝8，
当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，无解．
答案：8
考点四　函数的新定义问题(创新型)
复习指导所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
(2020·广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；
③h(x)＝；④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是(　　)
A．①②③④ B．①③④
C．①④ D．④
【解析】　对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；
对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；
对于函数h(x)＝，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B．故选C．
【答案】　C

本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．　

1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C．由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±，所以函数的定义域可以是{0, }，{0，－}，{0，，－}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．
2．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.
①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；
以上三个函数中，________是“优美函数”．
解析：由条件(1)，得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调递减函数．对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．
答案：②

[基础题组练]
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(1，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪[3，＋∞)
解析：选C．由ln(x－1)≠0，得x－1>0且x－1≠1.由此解得x>1且x≠2，即函数y＝的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．
2．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选B．令t＝x－1，则x＝2t＋2，
所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，
所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝.
3．(多选)下列四组函数中，f(x)与g(x)是相等函数的是(　　)
A．f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln x
B．f(x)＝x，g(x)＝()2
C．f(x)＝x，g(x)＝
D．f(x)＝x，g(x)＝logaax(a>0且a≠1)
解析：选CD．对于选项A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项B，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项C，g(x)＝＝x，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数；对于选项D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数．
4．已知f(x)＝则f＋f的值等于(　　)
A．－2 B．4
C．2 D．－4
解析：选B．由题意得f＝2×＝.
f＝f＝f＝2×＝.
所以f＋f＝4.
5．(多选)函数f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是(　　)
A．f(x)＝f B．－f(x)＝f
C．＝f D．f(－x)＝－f(x)
解析：选AD．根据题意得f(x)＝，所以f＝＝，所以f(x)＝f；f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x)．故AD正确，BC错误．
6．已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[0，1]，则函数的定义域是(　　)
A．[1，2] B．(－1，1]
C． D．(－1，0)
解析：选D．由f(2x－1)的定义域是[0，1]，
得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，
所以函数f(x)的定义域是[－1，1]，
所以要使函数有意义，
需满足解得－1 7．(创新型)定义a⊕b＝设函数f(x)＝ln x⊕x，则f(2)＋f＝(　　)
A．4ln 2 B．－4ln 2
C．2 D．0
解析：选D．2×ln 2>0，所以f(2)＝2×ln 2＝2ln 2.
因为×ln<0，所以f＝＝－2ln 2.则f(2)＋f＝2ln 2－2ln 2＝0.
8．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析：选D．当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D．
9．若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．

解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，
所以f(x)＝
答案：f(x)＝
10．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
解析：因为f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，所以f(a)＝－2<0，故a≤0.依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3
11．设函数f(x)＝则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________．
解析：因为f(2)＝，
所以f(f(2))＝f＝－－2＝－.
当x>1时，f(x)∈(0，1)，
当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，
所以f(x)∈[－3，＋∞)．
答案：－　[－3，＋∞)
12．设函数f(x)＝则f(f(0))＝________，若f(m)>1，则实数m的取值范围是________．
解析：f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0；如图所示，可得f(x)＝的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1)．若f(m)>1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．

答案：0　(－∞，0)∪(e，＋∞)
[综合题组练]
1．(2020·海淀期末)下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定义域与值域相同的函数的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．①y＝3－x的定义域与值域均为R，②y＝2x－1(x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为，③y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)，④y＝的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B．
2．(创新型)设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：∀x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝则(　　)
A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)
C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)
解析：选A．对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝当x>0时，f(x)＝x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A．
3．(2020·宁夏银川一中一模)已知函数f(x)＝则f(x＋1)－9≤0的解集为________．
解析：因为f(x)＝
所以当x＋1≤0时，
解得－4≤x≤－1；
当x＋1>0时，
解得x>－1.
综上，x≥－4，即f(x＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)．
答案：[－4，＋∞)
4．(创新型)设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝；
③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1.
其中是“美丽函数”的序号有________．
解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；
②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；
③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；
④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.
答案：②③