(新高考)高考数学一轮复习学案4.4《第2课时　利用导数研究不等式的恒成立问题》(含详解)

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第2课时　利用导数研究不等式的恒成立问题

考点一　分离参数法(综合型)
(2020·湖北武汉质检)已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．
【解】　(1)因为函数f(x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1.令f′(x)<0，得ln x＋1<0，解得00，得ln x＋1>0，解得x>，所以f(x)的单调递增区间是.综上，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)因为g′(x)＝3x2＋2ax－1，由题意得2xln x≤3x2＋2ax＋1恒成立．因为x>0，所以a≥ln x－x－在x∈(0，＋∞)上恒成立．设h(x)＝ln x－x－(x>0)，则h′(x)＝－＋＝－.令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－(舍)．
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
h(x)

极大值

所以当x＝1时，h(x)取得极大值，也是最大值，且h(x)max＝h(1)＝－2，所以若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a≥h(x)max＝－2，即a≥－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞)．

(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路
用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．
(2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”
转化关
通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min)
求最值关
求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题
　(2020·石家庄质量检测)已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1)．
即f′(x)＝xex＋ex－4，
则f′(0)＝－3，f(0)＝2，
所以所求切线方程为3x＋y－2＝0.
(2)由f(1)≥0，得a≥>0，
则f(x)≥0对任意的x>0恒成立可转化为≥对任意的x>0恒成立．
设函数F(x)＝(x>0)，
则F′(x)＝－.
当00；
当x>1时，F′(x)<0，
所以函数F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以F(x)max＝F(1)＝.
于是≥，解得a≥.
故实数a的取值范围是.
考点二　分类讨论法(综合型)
已知函数f(x)＝ln x－ax，a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若不等式f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
【解】　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
①当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，
则f(x)只有单调递增区间是(0，＋∞)．
②当a＞0时，由f′(x)＞0，
得0＜x＜；
由f′(x)＜0，得x＞；
所以f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是.
(2)f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即ln x－a(x－1)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立．
设g(x)＝ln x－a(x－1)，x＞0，则g′(x)＝－a，注意到g(1)＝0，
①当a≥1时，g′(x)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，
则g(x)在x∈(1，＋∞)上单调递减，
所以g(x)＜g(1)＝0，即a≥1时满足题意．
②当0＜a＜1时，令g′(x)＞0，
得0＜x＜；
令g′(x)＜0，得x＞.
则g(x)在上单调递增，
所以当x∈时，g(x)＞g(1)＝0，
即0＜a＜1时不满足题意(舍去)．
③当a≤0时，g′(x)＝－a＞0，
则g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞g(1)＝0，
即a≤0时不满足题意(舍去)．
综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．

对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围．
　(2020·合肥六校联考)已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数．
(1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为a＝2，所以f(x)＝(x＋1)ex，所以f(0)＝1，
f′(x)＝(x＋2)ex，所以f′(0)＝2，
所以所求切线方程2x－y＋1＝0.
(2)令h(x)＝f(x)－g(x)，
由题意得h(x)min≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，
因为h(x)＝(x＋a－1)ex－x2－ax，
所以h′(x)＝(x＋a)(ex－1)．
①若a≥0，则当x∈[0，＋∞)时，h′(x)≥0，所以函数h(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(0)＝a－1，
则a－1≥0，得a≥1.
②若a＜0，则当x∈[0，－a)时，h′(x)≤0；
当x∈[－a，＋∞)时，h′(x)≥0，
所以函数h(x)在[0，－a)上单调递减，在[－a，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(－a)，
又因为h(－a)＜h(0)＝a－1＜0，所以不合题意．
综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．
考点三　等价转化法(综合型)
设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．
【解】　(1)存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.
由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x.
令g′(x)＞0得x＜0或x＞，
令g′(x)＜0得0＜x＜，
又x∈[0，2]，
所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以g(x)min＝g＝－，
又g(0)＝－3，g(2)＝1，
所以g(x)max＝g(2)＝1.
故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M，
则满足条件的最大整数M＝4.
(2)对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)min≥g(x)max，
由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)＝1.
在区间上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln x恒成立．
设h(x)＝x－x2ln x，
h′(x)＝1－2xln x－x，
令m(x)＝xln x，由m′(x)＝ln x＋1＞0得x＞.
即m(x)＝xln x在上是增函数，
可知h′(x)在区间上是减函数，
又h′(1)＝0，
所以当1＜x≤2时，h′(x)＜0；
当≤x＜1时，h′(x)＞0.
即函数h(x)＝x－x2ln x在区间上单调递增，在区间(1，2]上单调递减，
所以h(x)max＝h(1)＝1，
所以a≥1，
即实数a的取值范围是[1，＋∞)．

(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化．
(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题．
　已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1)．
(1)求函数f(x)的极小值；
(2)若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝axln a＋2x－ln a＝2x＋(ax－1)ln a.
因为当a>1时，ln a>0，函数y＝(ax－1)ln a在R上是增函数，
当0 所以当a>1或0 又因为f′(0)＝0，所以f′(x)>0的解集为(0，＋∞)，f′(x)<0的解集为(－∞，0)，故函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)，
所以函数f(x)在x＝0处取得极小值1.
(2)因为存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1成立，
所以只需f(x)max－f(x)min≥e－1即可．
由(1)可知，当x∈[－1，1]时，f(x)在[－1，0]上是减函数，在(0，1]上是增函数，
所以当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(0)＝1，
f(x)max为f(－1)和f(1)中的较大者．
f(1)－f(－1)＝(a＋1－ln a)－＝a－－2ln a，
令g(a)＝a－－2ln a(a>0)，
因为g′(a)＝1＋－＝>0，
所以g(a)＝a－－2ln a在(0，＋∞)上是增函数．
而g(1)＝0，故当a>1时，g(a)>0，
即f(1)>f(－1)；
当0 所以当a>1时，f(1)－f(0)≥e－1，
即a－ln a≥e－1.
由函数y＝a－ln a在(1，＋∞)上是增函数，解得a≥e；
当0 由函数y＝＋ln a在(0，1)上是减函数，解得0 综上可知，所求实数a的取值范围为∪[e，＋∞)．

[基础题组练]
1．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤1 B．a≥1
C．a≤2 D．a≥2
解析：选A．由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2，3])，因为f(x)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故选A．
2．(2020·吉林白山联考)设函数f(x)＝ex－，若不等式f(x)≤0有正实数解，则实数a的最小值为________．
解析：原问题等价于存在x∈(0，＋∞)，使得a≥ex(x2－3x＋3)，令g(x)＝ex(x2－3x＋3)，x∈(0，＋∞)，则a≥g(x)min，而g′(x)＝ex(x2－x)．由g′(x)>0可得x∈(1，＋∞)，由g′(x)<0可得x∈(0，1)．据此可知，函数g(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为g(1)＝e.综上可得，实数a的最小值为e.
答案：e
3．(2020·西安质检)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x－1.
(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)若不等式f(x)≤ag(x)对任意的x∈(1，＋∞)均成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f′(x)＝，
所以f′(1)＝1.
又f(1)＝0，所以切线的方程为
y－f(1)＝f′(1)(x－1)，
即所求切线的方程为y＝x－1.
(2)易知对任意的x∈(1，＋∞)，f(x)＞0，g(x)＞0.
①当a≥1时，f(x)≤g(x)≤ag(x)；
②当a≤0时，f(x)＞0，ag(x)≤0，所以不满足不等式f(x)≤ag(x)；
③当0＜a＜1时，设φ(x)＝f(x)－ag(x)＝ln x－a(x－1)，则φ′(x)＝－a，
令φ′(x)＝0，得x＝，
当x变化时，φ′(x)，φ(x)的变化情况下表：
x



φ′(x)
＋
0
－
φ(x)

极大值

所以φ(x)max＝φ＞φ(1)＝0，不满足不等式．
综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．
4．已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围．
解：(1)因为f′(x)＝a－ex，x∈R.
当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在R上单调递减；
当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝ln a.
由f′(x)＞0得f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)；
由f′(x)＜0得f(x)的单调递减区间为(ln a，＋∞)．
(2)因为∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex，
则ax≤，即a≤.
设h(x)＝，则问题转化为a≤，
由h′(x)＝，令h′(x)＝0，则x＝.
当x在区间(0，＋∞)内变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(0，)

(，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
h(x)
单调递增
极大值
单调递减
由上表可知，当x＝时，函数h(x)有极大值，即最大值为.所以a≤.
5．(2020·重庆市七校联合考试)设函数f(x)＝－，g(x)＝a(x2－1)－ln x(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)证明：当x>1时，f(x)>0；
(2)讨论g(x)的单调性；
(3)若不等式f(x) 解：(1)证明：f(x)＝，
令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1，
当x>1时，s′(x)>0，所以s(x)在(1，＋∞)上单调递增，又s(1)＝0，所以s(x)>0，
从而当x>1时，f(x)>0.
(2)g′(x)＝2ax－＝(x>0)，
当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
当a>0时，由g′(x)＝0得x＝ .
当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
(3)由(1)知，当x>1时，f(x)>0.
当a≤0，x>1时，g(x)＝a(x2－1)－ln x<0，
故当f(x)0.
当01，
g(x)在上单调递减，g0，所以此时f(x) 当a≥时，令h(x)＝g(x)－f(x)(x≥1)，
当x>1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x>x－＋－＝>>0，
因此，h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，
又h(1)＝0，
所以当x>1时，h(x)＝g(x)－f(x)>0，
即f(x) 综上，a的取值范围为.
6．f(x)＝xex，g(x)＝x2＋x.
(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；
(2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为F(x)＝f(x)＋g(x)＝xex＋x2＋x，
所以F′(x)＝(x＋1)(ex＋1)，
令F′(x)>0，解得x>－1，
令F′(x)<0，解得x<－1，
所以F(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增．
故F(x)min＝F(－1)＝－－.
(2)因为任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，
所以mf(x1)－g(x1)>mf(x2)－g(x2)恒成立．
令h(x)＝mf(x)－g(x)＝mxex－x2－x，x∈[－1，＋∞)，　
即只需证h(x)在[－1，＋∞)上单调递增即可．
故h′(x)＝(x＋1)(mex－1)≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
故m≥，而≤e，故m≥e，
即实数m的取值范围是[e，＋∞)．