(新高考)高考数学一轮复习学案5.6《正弦定理和余弦定理》(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案5.6《正弦定理和余弦定理》(含详解)，共16页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。

第6讲　正弦定理和余弦定理


一、知识梳理
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝c2＋a2－2cacos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(2)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
(3)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.△ABC的面积公式
(1)S△ABC＝a·h(h表示边a上的高)．
(2)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
3．三角形解的判断

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
[注意]　上表中A为锐角时，a A为钝角或直角时，a＝b，a 常用结论
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C．
(2)cos(A＋B)＝－cos C．
(3)sin＝cos .
(4)cos＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B．
二、教材衍化
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若c A．钝角三角形　　　　　　 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案：A
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.故选C．
3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
解析：设△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，由题意及余弦定理得cos A＝＝＝，解得c＝2.所以S＝bcsin A＝×4×2×sin 60°＝2.
答案：2

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B．(　　)
(3)在△ABC中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
二、易错纠偏
(1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根；
(2)不会灵活运用正弦、余弦定理．
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________．
解析：由题意：＝，即sin B＝＝＝，结合b＜c可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.
答案：75°
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________．
解析：由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.
由余弦定理cos C＝，
得－＝，解得c＝4.
答案：4

考点一　利用正、余弦定理解三角形(基础型)
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，能正确地解决问题．
核心素养：数学运算
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6　　　　　　　　　　　 B．5
C．4 D．3
(2)(2020·济南市学习质量评估)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＋a＝2bcos A．
①求角B的大小；
②若a＝5，c＝3，边AC的中点为D，求BD的长．
【解】　(1)选A．由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cos A＝＝＝－，得＝6.故选A．
(2)①由2c＋a＝2bcos A及正弦定理，
得2sin C＋sin A＝2sin Bcos A，
又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以2sin Acos B＋sin A＝0，
因为sin A≠0，所以cos B＝－，
因为0＜B＜π，所以B＝.
②由余弦定理得b2＝a2＋c2－2a·ccos∠ABC＝52＋32＋5×3＝49，所以b＝7，所以AD＝.
因为cos∠BAC＝＝＝，
所以BD2＝AB2＋AD2－2·AB·ADcos∠BAC＝9＋－2×3××＝，
所以BD＝.

(1)正、余弦定理的选用
①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；
②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
(2)三角形解的个数的判断
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．

1．(一题多解)(2020·广西五市联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么A∶B∶C为(　　)
A．1∶1∶3 B．1∶2∶3
C．1∶3∶2 D．1∶4∶1
解析：选B．法一：由正弦定理＝，
得sin B＝＝.
因为B为锐角，所以B＝60°，
则C＝90°，故A∶B∶C＝1∶2∶3，选B．
法二：由a2＝b2＋c2－2bccos A，
得c2－3c＋2＝0，
解得c＝1或c＝2.
当c＝1时，△ABC为等腰三角形，B＝120°，与已知矛盾，
当c＝2时，a 2．(2020·河南南阳四校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D．因为b＝8，c＝3，A＝60°，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圆的直径2R＝＝＝，所以R＝，故选D．
3．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求C．
解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，所以C＋60°＝135°，
即C＝75°.
考点二　判断三角形的形状(综合型)
复习指导利用正、余弦定理判断三角形形状的常用结论
1．若a＝b或(a－b)(b－c)(c－a)＝0，则△ABC为等腰三角形．
2．若a2＋b2＝c2，则△ABC为以C为直角的直角三角形；
3．若a2＋b2>c2，则△ABC中角C为锐角；
若a2＋b2 4．若(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC为等腰三角形或直角三角形；
5．若a＝b且a2＋b2＝c2，则△ABC为等腰直角三角形；
6．若sin 2A＝sin 2B，即A＝B或A＋B＝，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
(1)(一题多解)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为________．
【解析】　(1)法一：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2 A，
即sin(B＋C)＝sin2 A，所以sin A＝sin2 A，
故sin A＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．
(2)因为c－acos B＝(2a－b)cos A，所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
故cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin A＝sin B，
即A＝或A＝B，
故△ABC为等腰或直角三角形．
【答案】　(1)A　(2)等腰或直角三角形
【迁移探究】　(变条件)若将本例(1)条件改为“2sin Acos B＝sin C”，试判断△ABC的形状．
解：法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π 法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得
2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b，
故△ABC为等腰三角形．

判定三角形形状的两种常用途径

[提醒]　“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．

1．(2020·广西桂林阳朔三校调研)在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．非钝角三角形
解析：选B．因为a∶b∶c＝3∶5∶7，所以可设a＝3t，b＝5t，c＝7t，由余弦定理可得cos C＝＝－，所以C＝120°，△ABC是钝角三角形，故选B．
2．(2020·河北衡水中学三调)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin Bsin C＝sin2A，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C．在△ABC中，因为b2＋c2＝a2＋bc，所以cos A＝＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝，因为sin Bsin C＝sin2A，所以bc＝a2，代入b2＋c2＝a2＋bc，得(b－c)2＝0，解得b＝c，所以△ABC的形状是等边三角形，故选C．
考点三　与三角形面积有关的问题(基础型)
能利用正、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
核心素养：数学运算
角度一　计算三角形的面积
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
(2)(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的面积为________．
【解析】　(1)法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.
(2)因为a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsin B＝2sin C，所以结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absin C＝×2sin＝.
【答案】　(1)6　(2)

求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
角度二　已知三角形的面积解三角形
现给你三个条件．
①tan A＋tan C＝.②b＝sin B．③c＝.
请你选择一个条件，填入下列问题的横线上，并完成问题的解答．
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知______，若△ABC面积的最大值为，求a.
【解】　若选①，由tan A＋tan C＝得＝.
而sin(A＋C)＝sin(180°－B)＝sin B>0，
所以cos C＝，又C∈(0，π)．所以C＝.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C．
＝a2＋b2－ab≥ab.
所以S△ABC＝absin C≤c2·＝c2.
当且仅当a＝b时，取等号．
由题意得c2＝.所以c＝.此时，a＝b＝c＝.
若选②，b＝sin B由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B．
2sin2 B＝a2＋c2－2accos B≥2ac(1－cos B)，
所以ac≤＝1＋cos B．所以S△ABC＝acsin B≤·(1＋cos B)sin B．当且仅当a＝c时取等号．
由题意得sin B＝.
(1＋cos B)sin B－＝0
令f(B)＝sin B＋sin Bcos B－，B∈(0，π)．
f′(B)＝cos B＋cos2 B－sin2B＝2cos2 B＋cos B－1
＝(cos B＋1)(2cos B－1)，
f′(B)＝0时，B＝.
f′(B)<0时， f′(B)>0时，0 即f(B)＝sin B＋sin Bcos B－在上单调递增．
在上单调递减，所以f(B)max＝f＝0.
即f(B)仅有一个零点B＝.
即方程(1＋cos B)sin B－＝0，有B＝.
所以b＝sin ＝，a＝c＝＝.
若选③，c＝.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C．
所以≥2ab(1－cos C)．所以ab≤.
当且仅当a＝b时取等号，S△ABC＝absin C≤.
由题意得，＝.
即sin C＋cos C＝.所以sin ＝，
由于 所以C＋＝.所以C＝.
所以a＝b＝＝.

已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
[注意]　正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．

1．(2020·济南市模拟考试)在△ABC中，AC＝，BC＝，cos A＝，则△ABC的面积为(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．5
C．10 D．
解析：选A．由AC＝，BC＝，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcos A，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sin A＝＝，故S△ABC＝×5××＝.选A．
2．(2020·长沙市统一模拟考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(A＋B)＝csin.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为，周长为8，求a.
解：(1)由题设得asin C＝ccos，
由正弦定理得sin Asin C＝sin Ccos，
所以sin A＝cos ，
所以2sincos＝cos，所以sin＝，
所以A＝60°.
(2)由题设得bcsin A＝，从而bc＝4.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝(b＋c)2－12.
又a＋b＋c＝8，所以a2＝(8－a)2－12，解得a＝.

[基础题组练]
1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且b A．3　　　　　　　　　　 B．2
C．2 D．
解析：选C．由余弦定理b2＋c2－2bccos A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，因为b 2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos A＝，则△ABC的面积等于(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．
C．9 D．
解析：选B．因为cos A＝，则sin A＝，所以S△ABC＝×bcsin A＝，故选B．
3．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝(　　)
A．2 B．
C．2 D．2
解析：选D．由S＝absin C＝2a×＝2，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12，故c＝2.
4．(2020·湖南省湘东六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sin C＝sin B，则其最小内角的余弦值为(　　)
A．－ B．
C． D．
解析：选C．由sin C＝sin B及正弦定理，得c＝b.又b2＝ac，所以b＝a，所以c＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，知cos A＝＝＝，故选C．
5．(多选)(2021·预测)下列命题中，正确的是(　　)
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角三角形ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
解析：选ABD．对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B>，则>A>－B>0，所以sin A>sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选ABD．
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b>c，则＝________．
解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得
sin AcosB－sin C－＝0.因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos A·sin B＝0，所以cos A＝－，即A＝.由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b>c，所以＝2.
答案：2
7．(2020·河南期末改编)在△ABC中，B＝，AC＝，且cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin C，则C＝________，BC＝________．
解析：由cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin C，可得1－sin2C－(1－sin2A)－sin2B＝－sin Bsin C，即sin2A－sin2C－sin2B＝－sin Bsin
C．结合正弦定理得BC2－AB2－AC2＝－·AC·AB，所以cos A＝，A＝，则C＝π－A－B＝.由＝，解得BC＝.
答案：　
8．(2020·兰州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcos A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求边c的长．
解：(1)因为asin B＋bcos A＝0，
所以sin Asin B＋sin Bcos A＝0，
即sin B(sin A＋cos A)＝0，
由于B为三角形的内角，
所以sin A＋cos A＝0，
所以sin＝0，而A为三角形的内角，
所以A＝.
(2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcos A，即20＝c2＋4－4c，解得c＝－4(舍去)或c＝2.
9．(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos C＝(2b－c)cos A．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由正弦定理可得，sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A，
从而sin(A＋C)＝2sin Bcos A，
即sin B＝2sin Bcos A．
又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝，
又A为三角形的内角，所以A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－2bc×≥2bc－bc，
所以bc≤4(2＋)，所以S△ABC＝bcsin A≤2＋，故△ABC面积的最大值为2＋.
[综合题组练]
1．(2020·长春市质量监测(一))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acos C＋c，则角A等于(　　)
A．60° B．120°
C．45° D．135°
解析：选A．法一：由b＝acos C＋c及正弦定理，可得sin B＝sin Acos C＋sin C，即sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin C，即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin C，所以cos Asin C＝sin C，又在△ABC中，sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝60°，故选A．
法二：由b＝acos C＋c及余弦定理，可得b＝a·＋c，即2b2＝b2＋a2－c2＋bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cos A＝＝，所以A＝60°，故选A．
2．(2020·福建漳州二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acos A＝bcos C＋ccos B，b＋c＝3，则a的最小值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．3
解析：选B．在△ABC中，因为3acos A＝bcos C＋ccos B，
所以3sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，
即3sin Acos A＝sin A，又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos A＝.
因为b＋c＝3，所以两边平方可得b2＋c2＋2bc＝9，由b2＋c2≥2bc，可得9≥2bc＋2bc＝4bc，解得bc≤，当且仅当b＝c时等号成立，所以由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－≥9－×＝3，当且仅当b＝c时等号成立，所以a的最小值为.故选B．
3．(2020·湖北恩施2月质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为________．
解析：由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝4，则ac＝12①，由b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24②，联立①②可得a＝c＝2，所以△ABC的周长为4＋4.
答案：4＋4
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为________．
解析：由＝a，得＝sin
C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.
答案：3
5．(综合型)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝bcos A．
(1)求cos B的值；
(2)若a＝2，cos C＝－，求△ABC外接圆的半径R.
解：(1)因为cos B＝bcos A，
所以结合正弦定理，得cos B＝sin Bcos A，
所以sin Ccos B＝sin(A＋B)＝sin
C．又因为sin C≠0，所以cos B＝.
(2)由(1)知，sin B＝＝.
因为cos C＝－，
所以sin C＝＝，
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，
所以R＝·＝×＝.
6．(2020·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为accos B，且sin A＝3sin C．
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．
解：(1)因为S△ABC＝acsin B＝accos B，
所以tan B＝.
又0＜B＜π，所以B＝.
(2)sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.
由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b＝2.
所以cos A＝＝＝－.
因为D是AC的中点，所以AD＝.
所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋()2－2×2××＝13.
所以BD＝.