(新高考)高考数学一轮复习学案9.5《第2课时　直线与椭圆》(含详解)

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第2课时　直线与椭圆

考点一　直线与椭圆的位置关系(基础型)
研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
1．不论k为何值，直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，1)　　　　　　　　　　 B．(0，7)
C．[1，7) D．(1，7]
解析：选C．直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，由题意知(0，1)在椭圆＋＝1上或其内部，所以有≤1，得m≥1.又椭圆＋＝1的焦点在x轴上，所以m＜7.综上，1≤m＜7.
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有且只有一个公共点；
(2)没有公共点．
解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，
可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，
即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(2)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的方法

[注意]　对于椭圆方程，在第二步中得到的方程的二次项系数一定不为0，故一定为一元二次方程．　
考点二　弦长问题(综合型)
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝，求出直线l的方程．
【解】　设直线l的方程为y＝－x＋m，
由题意知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，
所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，
由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝＜1，
得|m|＜.|AB|＝2＝2＝×，
联立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，
由题意得Δ＝(－8m)2－4×7×(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)＞0，解得m2＜7，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|CD|＝|x1－x2|＝× ＝× ＝×＝|AB|＝××，解得m2＝＜7，得m＝±.
即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.

求解直线被椭圆截得弦长的方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝＝|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)．　
　已知点A(－2，0)，B(0，1)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，则椭圆C的方程为________；若直线y＝x交椭圆C于M，N两点，则|MN|＝________．
解析：由题意可知，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点在x轴上，由点A(－2，0)，B(0，1)在椭圆上，则a＝2，b＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则消去y，整理得2x2＝4，则x1＝，x2＝－，y1＝，y2＝－，则|MN|＝ ＝.
答案：＋y2＝1　
考点三　中点弦问题(综合型)
对于中点弦问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(1)已知椭圆＋y2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________．
(2)焦点是F(0，5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________．
【解析】　(1)设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为P(x0，y0)，
通解：有＋y＝1， ＋y＝1.
两式作差，得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝kAB，代入后求得kAB＝－.即2＝－，所以x0＋4y0＝0.
优解：由kAB·kOP＝－得2·＝－，即x0＋4y0＝0.
故所求的轨迹方程为x＋4y＝0，将x＋4y＝0代入＋y2＝1得：＋＝1，解得x＝±，
又中点在椭圆内，所以－＜x＜.
(2)通解：设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意，可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.
将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得＝－×＝－2×＝3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
优解：设弦的中点为M，由kAB·kOM＝－
得2×＝－，得a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，所以所求的方程为＋＝1.
【答案】　(1)x＋4y＝0
(2)＋＝1

解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法

　已知椭圆：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0
解析：选B．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以两式相减得＋x－x＝0，即＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得＋x1－x2＝0，即＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－＝－9，即9x＋y－5＝0.
考点四　椭圆与向量的综合问题(创新型)
(1)已知点F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的焦点，点M在椭圆C上且满足|＋|＝2，O为坐标原点，则△MF1F2的面积为(　　)
A． B．
C．2 D．1
(2)(2020·石家庄质量检测(二))倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　(1)|＋|＝2||＝2，
所以||＝＝c，所以MF1⊥MF2，
解得|MF1||MF2|＝2，
所以三角形的面积S＝×|MF1|×|MF2|＝1.
(2)由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得，所以(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，又＝2，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得，所以＝，所以e＝，故选B．
【答案】　(1)D　(2)B

解决椭圆中与向量有关问题的方法
(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．
(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．
(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．　

1．已知F1，F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，·≥2，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．根据题意不妨设B(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，因为·≥2，
所以b2≥2c2，又因为b2＝a2－c2，
所以a2≥3c2，所以0＜≤.
2．若直线l：y＝kx＋与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点A，B，且·＝2(O为坐标原点)，求k的值．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程得消去y得x2＋2kx＋1＝0，
则有Δ＝4k2－1＞0，得k2＞.
x1＋x2＝－，x1x2＝，
则·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝＝2.
得k2＝＞，所以k的值为±.

[基础题组练]
1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)
解析：选B．由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ＞0且m≠3及m＞0得m＞1且m≠3.
2．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　　)
A．± B．±
C．± D．±2
解析：选A．由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k＞0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得y1＝－，y2＝，解得k＝；同理可得当k＜0时k＝－.
3．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点A(0，－2)，B，所以S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，故选B．
4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选B．将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝9.又由椭圆的离心率为，所以＝＝，则＝，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.
5．(2020·石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又＝2，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得所以＝，所以e＝，故选B．
6．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________．
解析：因为椭圆＋＝1的右顶点为A(1，0)，所以b＝1，焦点坐标为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
7．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为________．
解析：由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由题意，得＝，
解得m＝±1.
答案：±1
8．已知直线l：y＝k(x－1)与椭圆C：＋y2＝1交于不同的两点A，B，AB中点横坐标为，则k＝________．　
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，因为直线l过椭圆内的定点(1，0)，所以Δ＞0，x1＋x2＝，所以＝＝，即k2＝，所以k＝±.
答案：±
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解：(1)根据c＝及题设知M，＝，
2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，
故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
10．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点E.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k的值．
解：(1)由解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，联立，得
整理得y2－y－9＝0，
Δ＝＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，又＝2，所以y1＝－2y2，所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8，解得k＝±，又k＞0，所以k＝.
[综合题组练]
1．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选D．因为(＋)·＝(＋)·＝·＝0，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12，2mn＝4，mn＝2，所以S△F1PF2＝mn＝1.
2．直线l过椭圆＋y2＝1的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为(　　)
A． B．±
C．± D．
解析：选B．由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝2－1＝1，则c＝1，则左焦点F(－1，0)．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋k.设l与椭圆交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.则PQ的中点M的横坐标为＝－.因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形，所以－＝－，解得k＝±.
3．从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．
解析：由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，所以－＝－，y0＝，把P代入椭圆方程得＋＝1，
所以＝，所以e＝＝.
答案：
4.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为________．

解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，得b2＜ac，即a2－c2＜ac，故＋－1＞0即e2＋e－1＞0，e＞或e＜，又0＜e＜1，所以＜e＜1.
答案：
5．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求四边形ABF2F1的面积．
解：(1)由题意知2a＝6，2c＝4，所以a＝3，c＝2，
所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又F1(－2，0)，F2(2，0)，
所以＝(－2－x1，－y1)，＝(2－x2，－y2)，
由＝2，得x1＋2＝2(x2－2)，y1＝2y2.
延长AB交x轴于H，因为＝2，所以AF1∥BF2，且|AF1|＝2|BF2|.所以线段BF2为△AF1H的中位线，即F2为线段F1H的中点，所以H(6，0)．设直线AB的方程为x＝my＋6，
代入椭圆方程，得5(my＋6)2＋9y2＝45，即(5m2＋9)y2＋60my＋135＝0.
所以y1＋y2＝－＝3y2，y1·y2＝＝2y，
消去y2，得m2＝，结合题意知m＝－.
S＝S－S＝|F1H|y1－|F2H|y2＝4y1－2y2＝8y2－2y2＝6y2
＝－＝.
6．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|且cos∠F1PF2＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，
点Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．
解：(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2，又r1＋r2＝2a，所以r1＝a，r2＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝＝，
解得a＝2，因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)联立方程，得，消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，且Δ＝48(3＋4k2－m2)＞0，①
设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，因为|AQ|＝|BQ|，所以AB⊥QM，又Q，M为AB的中点，所以k≠0，直线QM的斜率存在，所以k·kQM＝k·＝－1，解得m＝－，②
把②代入①得3＋4k2＞，整理得16k4＋8k2－3＞0，即(4k2－1)(4k2＋3)＞0，解得k＞或k＜－，故k的取值范围为∪.