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(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习3.3《函数的奇偶性及周期性》(含详解)
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[基础题组练]
1.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y= B.y=|x|-1
C.y=lg x D.y=
解析:选B.y=为奇函数;y=lg x的定义域为(0,+∞),不具备奇偶性;y=在(0,+∞)上为减函数;y=|x|-1在(0,+∞)上为增函数,且在定义域上为偶函数.
2.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=( )
A.-3 B.-
C. D.3
解析:选A.由f(x)为R上的奇函数,知f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.
3.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+3)=f(x).若f(2)>1,f(7)=a,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-3) B.(3,+∞)
C.(-∞,-1) D.(1,+∞)
解析:选D.因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数,所以f(7)=f(7-9)=f(-2).又因为函数f(x)是偶函数,
所以f(-2)=f(2),所以f(7)=f(2)>1,
所以a>1,即a∈(1,+∞).故选D.
4.若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则( )
A.f(3)
A. B.
C.[-1,1] D.
解析:选B.因为f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,所以2b+1-b=0,所以b=-1,
因为f(x)在[2b,0]上为增函数,即函数f(x)在[-2,0]上为增函数,故函数f(x)在(0,2]上为减函数,则由f(x-1)≤f(2x),可得|x-1|≥|2x|,即(x-1)2≥4x2,
解得-1≤x≤.又因为定义域为[-2,2],所以解得
综上,所求不等式的解集为.故选B.
6.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于________.
解析:f(-1)+g(1)=2,即-f(1)+g(1)=2①,
f(1)+g(-1)=4,即f(1)+g(1)=4②,
由①②得,2g(1)=6,即g(1)=3.
答案:3
7.若函数f(x)=为奇函数,则a=________,f(g(-2))=________.
解析:因为f(x)是R上的奇函数 ,所以f(0)=0,即a=0,若x<0,则-x>0,则f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x),则g(2x)=-(x2-2x-1),令x=-1,则g(-2)=-(1+2-1)=-2,f(-2)=-f(2)=-(4+4-1)=-7,故f(g(-2))=-7.
答案:0 -7
8.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x)及f(x)=-f(-x),且在[0,1]上有f(x)=x2,则f=________.
解析:函数f(x)的定义域是R,f(x)=-f(-x),所以函数f(x)是奇函数. 又f(x)=f(2-x),所以f(-x)=f(2+x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),故函数f(x)是以4为周期的奇函数,所以f=f=f=-f.因为在[0,1]上有f(x)=x2,所以f==,
故f=-.
答案:-
9.设f(x)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=-x.
(1)判定f(x)的奇偶性;
(2)试求出函数f(x)在区间[-1,2]上的表达式.
解:(1)因为f(1+x)=f(1-x),所以f(-x)=f(2+x).
又f(x+2)=f(x),所以f(-x)=f(x).
又f(x)的定义域为R,
所以f(x)是偶函数.
(2)当x∈[0,1]时,-x∈[-1,0],
则f(x)=f(-x)=x;
从而当1≤x≤2时,-1≤x-2≤0,
f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2.
故f(x)=
10.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积.
解:(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数.
所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)
=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),
得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),
即f(1+x)=f(1-x).
从而可知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.
设当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.
[综合题组练]
1.(多选)(创新型)如果定义在R上的奇函数y=f(x),对任意两个不相等的实数x1,x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则称函数y=f(x)为“H函数”.下列函数为“H函数”的是( )
A.f(x)=sin x B.f(x)=3x-
C.f(x)=x3-3x D.f(x)=x|x|
解析:选BD.根据题意,对于任意的不相等的实数x1,x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,则有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,即函数f(x)是定义在R上的增函数,则“H函数”为奇函数且在R上为增函数.对于A,f(x)=sin x为正弦函数,是奇函数但不是增函数,不符合题意; 对于B,f(-x)=3-x-3x=-f(x),故f(x)为奇函数,由指数函数性质可得f(x)在R上单调递增,符合题意; 对于C,f(x)=x3-3x为奇函数,但在R上不是增函数,不符合题意; 对于D,f(x)=x|x|=为奇函数且在R上为增函数,符合题意,故选BD.
2.(多选)(综合型)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为周期函数
C.f(x+3)为奇函数 D.f(x+4)为偶函数
解析:选ABC.根据题意f(x+1)为奇函数,所以f(x)的图象关于(1,0)对称,所以f(x+1)=-f(1-x)①,
同理,f(x+2)为奇函数,则f(x)的图象关于(2,0)对称,所以f(x+2)=-f(2-x),
所以f[(x+1)+1]=-f[2-(x+1)]=-f(1-x),由①式知f(x+2)=f(x+1),所以T=1,
所以f(x)是周期函数,有一个周期是2,故B选项正确,因为f(x+1)=-f(1-x)=-f(-x),
所以f(x)关于(0,0)对称,故A选项正确,由T=2及f(x)关于(1,0)对称知f(x)关于(3,0)对称,
所以f(x+3)关于(0,0)对称,故C选项正确.故为ABC.
3.已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)=________.
解析:根据题意,f(x)==1+,而h(x)=是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-=.
答案:
4.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+2)=-f(x)且f(x)在[-1,0]上是增函数,给出下列几个命题:
①f(x)是周期函数;
②f(x)的图象关于x=1对称;
③f(x)在[1,2]上是减函数;
④f(2)=f(0),
其中正确命题的序号是________.(请把正确命题的序号全部写出来)
解析:因为f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x,y∈R恒成立.
令x=y=0,
所以f(0)=0.令x+y=0,所以y=-x,
所以f(0)=f(x)+f(-x).
所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
因为f(x)在x∈[-1,0]上为增函数,又f(x)为奇函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数.
由f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=-f(x+2)
⇒f(x+4)=f(x),
所以周期T=4,
即f(x)为周期函数.
f(x+2)=-f(x)⇒f(-x+2)=-f(-x).
又因为f(x)为奇函数,
所以f(2-x)=f(x),
所以函数关于x=1对称.
由f(x)在[0,1]上为增函数,
又关于x=1对称,
所以f(x)在[1,2]上为减函数.
由f(x+2)=-f(x),令x=0得f(2)=-f(0)=f(0).
答案:①②③④
5.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f=-f成立.
(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期;
(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.
解:(1)由f=-f,
且f(-x)=-f(x),
所以f(x+3)=f
=-f
=-f(-x)=f(x),
所以y=f(x)是周期函数,且3是其一个周期.
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(0)=0,
且f(-1)=-f(1)=-2,
又T=3是y=f(x)的一个周期,
所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.
6.已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数又是减函数.
(1)求证:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0;
(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.
解:(1)证明:若x1+x2=0,显然不等式成立.
若x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1,
因为f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数,
所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0.
所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.
若x1+x2>0,则1≥x1>-x2≥-1,
同理可证f(x1)+f(x2)<0.
所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.
综上得证,对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0恒成立.
(2)因为f(1-a)+f(1-a2)<0⇔f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),所以由f(x)在定义域[-1,1]上是减函数,得即解得0≤a<1.
故所求实数a的取值范围是[0,1).
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