(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习3.4《二次函数与幂函数》(含详解)

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[基础题组练]1．如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为(　　)A．c<b<a  B．a<b<cC．b<c<a  D．a<c<b解析：选D．根据幂函数的性质，可知选D．2．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)(　　)A．在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增B．在(－∞，3)上递增C．在[1，3]上递增D．单调性不能确定解析：选A．由已知可得该函数图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(－∞，2)上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．3．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为(　　)A．－1　　　　 B．0　　　　C．1　　　　 D．－2解析：选D．函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.4．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　)A．在x轴上截得的线段的长度是2B．与y轴交于点(0，3)C．顶点是(－2，－2)D．过点(3，0)解析：选ABD．由已知得解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD．5．(多选)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是(　　)A．f(－1)　　　 B．f(1)　　　C．f(2)　　　 D．f(5)解析：选ACD．因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a>0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a<0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．6．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)．则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，所以3＝9a，即a＝.所以y＝(x－3)2＝x2－2x＋3.答案：y＝x2－2x＋37．(2020·甘肃兰州一中月考)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________．解析：根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；当m＝－1时，f(x)＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，所以m＝2.答案：28．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈R，f(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是____________．解析：当m＝0时，f(x)＝－1<0，符合题意．当m≠0时，f(x)为二次函数，则由f(x)<0恒成立得即解得－4<m<0.故实数m的取值范围是(－4，0]．答案：(－4，0]9．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈.(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]，所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；当x＝－5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，因为y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．10．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，所以所以因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上的最小值大于0即可．设g(x)＝x2－3x＋1－m，则g(x)在区间[－1，1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．[综合题组练]1．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　　)A．  B．[－6，－4]C．[－3，－2]  D．[－4，－3]解析：选B．由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－∈[2，3]，即a∈[－6，－4]．2．(2020·福建连城一模)已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　)A．f(x1)＝f(x2)  B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)<f(x2)  D．与x的值无关解析：选C．由题知二次函数f(x)的图象开口向下，图象的对称轴为x＝，因为x1＋x2＝0，所以直线x＝x1，x＝x2关于直线x＝0对称，由x1<x2，结合二次函数的图象可知f(x1)<f(x2)．3．(综合型)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)，若f(－1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)，则f(x)的表达式为f(x)＝________；若当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，则实数k的取值范围是________．解析：因为f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，f(－1)＝a－b＋1＝0，所以a＝b－1，①又因为f(x)＝a＋1＝a＋1－，所以a>0且f(x)min＝1－＝0，②联立①②解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋1.因为g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1＝＋1－，所以当≥2或≤－2时，函数g(x)在[－2，2]上是单调函数，故实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．答案：x2＋2x＋1　(－∞，－2]∪[6，＋∞)4．(创新型)定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以＝m＝f(x0)，即关于x0的方程－x＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1.所以必有－1<m－1<1，即0<m<2，所以实数m的取值范围是(0，2)．答案：(0，2)5．(2020·江西赣州五校协作体联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)画出函数f(x)在y轴右侧的图象，并写出函数f(x)(x∈R)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1，2])，当a>1时，求函数g(x)的最小值．解：(1)f(x)在y轴右侧的图象如图所示．若x>0，则－x<0，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)，所以f(x)＝(2)由(1)知g(x)＝x2－2x－2ax＋2，其图象的对称轴方程为x＝a＋1，当a>1时，a＋1>2，g(x)＝x2－2x－2ax＋2在[1，2]上单调递减，则g(x)在[1，2]上的最小值为g(2)＝2－4a.6．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，a]上为减函数，所以f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在[1，a]上单调递减，即f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(a)＝1，所以a＝2或a＝－2(舍去)．即实数a的值为2.(2)因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，又函数f(x)的对称轴为直线x＝a，所以f(x)min＝f(a)＝5－a2，f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}，又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，所以f(x)max＝f(1)＝6－2a.因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，所以f(x)max－f(x)min≤4，即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为[2，3]