(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习5.2《同角三角函数的基本关系与诱导公式》(含详解)

[基础题组练]

1．计算：sin ＋cos ＝(　　)

A．－1  B．1

C．0   D．－

解析：选A．原式＝sin＋cos＝－sin ＋cos＝－－cos ＝－－＝－1.

2．(多选)(2021·预测)若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)

A．cos(A＋B)＝cos C  B．sin(A＋B)＝－sin C

C．cos＝sin  D．sin＝cos

解析：选CD．因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，＝，＝，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos＝cos＝sin ，sin＝sin＝cos.

3．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　　)

A．－  B．－ 

C．   D．

解析：选D．因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，

所以－sin θ＝－cos θ，

所以tan θ＝，因为|θ|＜，所以θ＝.

4．已知f(α)＝，则f＝(　　)

A．   B． 

C．  D．－

解析：选A．f(α)＝＝＝＝cos α，则f＝cos＝.

5．已知sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为(　　)

A．－1  B．－2 

C．  D．2

解析：选D．因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝2，所以sin αcos α＝.所以tan α＋＝＋＝＝2.故选D．

6．设α是第三象限角，tan α＝，则cos(π－α)＝________．

解析：因为α为第三象限角，tan α＝，

所以cos α＝－，

所以cos(π－α)＝－cos α＝.

答案：

7．已知sincos＝，且0＜α＜，则sin α＝________，cos α＝________．

解析：sincos＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.

因为0＜α＜，所以0＜sin α＜cos α.

又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝，cos α＝.

答案：　

8．化简＝________．

解析：原式＝

＝

＝

＝

＝1.

答案：1

9．已知α为第三象限角，

f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．

解：(1)f(α)＝

＝＝－cos α.

(2)因为cos(α－)＝，

所以－sin α＝，

从而sin α＝－.

又α为第三象限角，

所以cos α＝－＝－，

所以f(α)＝－cos α＝.

10．是否存在α∈，β∈使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．

解：假设存在角α，β满足条件．

由已知条件可得

由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.

所以sin2α＝，所以sin α＝±.

因为α∈，所以α＝±.

当α＝时，由②式知cos β＝，

又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式成立；

当α＝－时，由②式知cos β＝，又β∈(0，π)，

所以β＝，此时①式不成立，故舍去．

所以存在α＝，β＝满足条件．

[综合题组练]

1．已知θ为直线y＝3x－5的倾斜角，若A(cos θ，sin θ)，B(2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB的斜率为(　　)

A．3  B．－4 

C．  D．－

解析：选D．由题意知tan θ＝3，kAB＝＝＝－.故选D．

2．A＝{sin α，cos α，1}，B＝{sin2α，sin α＋cos α，0}，且A＝B，则sin2 019α＋cos2 018α＝(　　)

A．0  B．1

C．－1  D．±1

解析：选C．当sin α＝0时，sin2α＝0，此时集合B中不符合集合元素的互异性，故舍去；当cos α＝0时，A＝{sin α，0，1}，B＝{sin2α，sin α，0}，此时sin2α＝1，得sin α＝－1，所以sin2 019α＋cos2 018α＝－1.

3．若|sin θ|＋|cos θ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝________．

解析：|sin θ|＋|cos θ|＝，两边平方得，1＋|sin 2θ|＝，所以|sin 2θ|＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin2 2θ＝1－×＝.

答案：

4．若k∈Z时，的值为________．

解析：当k为奇数时，

＝＝－1；

当k为偶数时，

＝＝－1.

答案：－1

5．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：

(1)＋的值；

(2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值．

解：(1)原式＝＋

＝＋

＝＝sin θ＋cos θ.

由条件知sin θ＋cos θ＝，

故＋＝.

(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，

sin θcos θ＝，

又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m＝.

(3)由

得或

又θ∈(0，2π)，故θ＝或θ＝.

6．在△ABC中，

(1)求证：cos2＋cos2 ＝1；

(2)若cossintan(C－π)＜0，

求证：△ABC为钝角三角形．

证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，

所以＝－，

所以cos＝cos＝sin ，

所以cos2＋cos2＝1.

(2)若cossintan(C－π)＜0，

所以(－sin A)(－cos B)tan C＜0，

即sin Acos Btan C＜0.

因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，

所以或

所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．