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(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习10.3《二项式定理》(含详解)
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[基础题组练]1.的展开式中的常数项为( )A.-3 B.3C.6 D.-6解析:选D.通项Tr+1=C(-x4)r=C()3-r·(-1)rx-6+6r,当-6+6r=0,即r=1时为常数项,T2=-6,故选D.2.(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x4的系数为( )A.50 B.55C.45 D.60解析:选B.(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x4的系数是C+C+C=55.故选B.3.(多选)在二项式的展开式中,有( )A.含x的项 B.含的项C.含x4的项 D.含的项解析:选ABC.二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C·35-r·(-2)r·x10-3r,r=0,1,2,3,4,5,故展开式中含x的项为x10-3r,结合所给的选项,知ABC的项都含有.4.在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32∶1,则x2的系数为( )A.50 B.70C.90 D.120解析:选C.令x=1,则=4n,所以的展开式中,各项系数和为4n,又二项式系数和为2n,所以=2n=32,解得n=5.二项展开式的通项Tr+1=Cx5-r=C3rx5-r,令5-r=2,得r=2,所以x2的系数为C32=90,故选C.5.1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式的各项系数之和为( )A.2n-1 B.2n-1C.2n+1-1 D.2n解析:选C.令x=1,得1+2+22+…+2n==2n+1-1.6.的展开式中各项系数之和大于8,但小于32,则展开式中系数最大的项是( )A.6 B.C.4x D.或4x解析:选A.令x=1,可得的展开式中各项系数之和为2n,即8<2n<32,解得n=4,故第3项的系数最大,所以展开式中系数最大的项是C()2=6.7.(x2+2)展开式中的常数项是( )A.12 B.-12C.8 D.-8解析:选B.展开式的通项公式为Tr+1=C(-1)r=(-1)rCxr-5,当r-5=-2或r-5=0,即r=3或r=5时,展开式的常数项是(-1)3C+2(-1)5C=-12.故选B.8.展开式中的常数项为( )A.1 B.21C.31 D.51解析:选D.因为==C(x+1)5+C(x+1)4·+C(x+1)3·+C(x+1)2·+C(x+1)1·+C.所以展开式中的常数项为C·C·15+C·C·13+C·C·12=51.故选D.9.已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则|a0|+|a1|+…+|a5|=( )A.1 B.243C.121 D.122解析:选B.令x=1,得a5+a4+a3+a2+a1+a0=1,①令x=-1,得-a5+a4-a3+a2-a1+a0=-243,②①+②,得2(a4+a2+a0)=-242,即a4+a2+a0=-121.①-②,得2(a5+a3+a1)=244,即a5+a3+a1=122.所以|a0|+|a1|+…+|a5|=122+121=243.故选B.10.(2020·海口调研)若(x2-a)的展开式中x6的系数为30,则a等于( )A. B.C.1 D.2解析:选D.由题意得的展开式的通项公式是Tk+1=C·x10-k·=C·x10-2k,的展开式中含x4(当k=3时),x6(当k=2时)项的系数分别为C,C,因此由题意得C-aC=120-45a=30,由此解得a=2,故选D.11.若(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n等于( )A.2n B.C.2n+1 D.解析:选D.设f(x)=(1+x+x2)n,则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+a2n,①f(-1)=1=a0-a1+a2-a3+…+a2n,②由①+②得2(a0+a2+a4+…+a2n)=f(1)+f(-1),所以a0+a2+a4+…+a2n==.12.已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值为( )A.39 B.310C.311 D.312解析:选D.对(x+2)9= a0+a1x+a2x2+…+a9x9两边同时求导,得9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7+9a9x8,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+8a8+9a9=310,令x=-1,得a1-2a2+3a3-…-8a8+9a9=32.所以(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=(a1+2a2+3a3+…+8a8+9a9)(a1-2a2+3a3-…-8a8+9a9)=312,故选D.13.(x-y)4的展开式中,x3y3项的系数为________.解析:二项展开式的通项是Tk+1=C(x)4-k·(-y)k=(-1)kCx4-y2+,令4-=2+=3,解得k=2,故展开式中x3y3的系数为(-1)2C=6.答案:614.(2019·高考浙江卷)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是________,系数为有理数的项的个数是________.解析:二项式(+x)9展开式的通项为Tr+1=C()9-rxr.令r=0,得常数项为C()9=16.当r=1,3,5,7,9时,系数为有理数,共5项.答案:16 515.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=________.解析:(x+y)2m展开式中二项式系数的最大值为C,所以a=C.同理,b=C.因为13a=7b,所以13·C=7·C.所以13·=7·.所以m=6.答案:6[综合题组练]1.已知C-4C+42C-43C+…+(-1)n4nC=729,则C+C+…+C的值等于( )A.64 B.32C.63 D.31解析:选C.因为C-4C+42C-43C+…+(-1)n4nC=729,所以(1-4)n=36,所以n=6,因此C+C+…+C=2n-1=26-1=63,故选C.2.设a∈Z,且0≤a<13,若512 018+a能被13整除,则a=( )A.0 B.1C.11 D.12解析:选D.512 018+a=(52-1)2 018+a=C522 018-C522 017+…+C×52×(-1)2 017+C×(-1)2 018+a.因为52能被13整除,所以只需C×(-1)2 018+a能被13整除,即a+1能被13整除,所以a=12.3.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N*)是一个单调递增数列,则k的最大值是________.解析:由二项式定理知,an=C(n=1,2,3,…,11).又(x+1)10展开式中二项式系数最大项是第6项,所以a6=C,则k的最大值为6.答案:64.已知(2-x2)(1+ax)3的展开式的所有项系数之和为27,则实数a=________,展开式中含x2的项的系数是________.解析:由已知可得,(2-12)(1+a)3=27,则a=2.所以(2-x2)(1+ax)3=(2-x2)(1+2x)3=(2-x2)(1+6x+12x2+8x3),所以展开式中含x2的项的系数是2×12-1=23.答案:2 235.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.解:令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.①令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②(1)因为a0=C=1,所以a1+a2+a3+…+a7=-2.(2)(①-②)÷2,得a1+a3+a5+a7==-1 094.(3)(①+②)÷2,得a0+a2+a4+a6==1 093.(4)因为(1-2x)7的展开式中a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093-(-1 094)=2 187.6.已知的展开式中,前三项的系数成等差数列.(1)求n;(2)求展开式中的有理项;(3)求展开式中系数最大的项.解:(1)由二项展开式知,前三项的系数分别为C,C,C,由已知得2×C=C+C,解得n=8(n=1舍去).(2)的展开式的通项Tr+1=C()8-r·=2-rCx4-(r=0,1,…,8),要求有理项,则4-必为整数,即r=0,4,8,共3项,这3项分别是T1=x4,T5=x,T9=.(3)设第r+1项的系数为ar+1最大,则ar+1=2-rC,则==≥1,==≥1,解得2≤r≤3.当r=2时,a3=2-2C=7,当r=3时,a4=2-3C=7,因此,第3项和第4项的系数最大,故系数最大的项为T3=7x,T4=7x.
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