(新高考)高考数学二轮专项复习(六)《解决数列问题的七大常用技巧》(含详解)

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解决数列问题的七大常用技巧技巧一　巧用性质减少运算等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从整体上使用公式． (1)等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　)A．1　　　　　　　　　 B．2C．3  D．5(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S7＞S5，则满足SkSk＋1＜0的正整数k＝__________．[点拨]　(1)可直接把a1＋a3看作一个整体，利用等比数列的性质求解公比，然后代入即可；也可直接将已知转化为首项和公比所满足的方程，求出公比后再求和．(2)利用等差数列的前n项和的性质．【解析】　(1)法一：因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)·(a9＋a11)，故a9＋a11＝＝＝2.同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故a13＋a15＝＝＝1.所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.法二：设等比数列{an}的公比为q，则a5＝a1q4，a7＝a3q4，所以q4＝＝＝.又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8×＝2，a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×＝1，所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.(2)依题意得a6＝S6－S5＞0，a7＝S7－S6＜0，a6＋a7＝S7－S5＞0，则S11＝＝11a6＞0，S12＝＝＞0，S13＝＝13a7＜0，所以S12S13＜0，即满足SkSk＋1＜0的正整数k＝12.【答案】　(1)C　(2)12技巧二　巧用升降角标法实现转化在含有an，Sn对任意正整数n恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再得出一个等式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式求得数列的通项公式和解决其他问题． 设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．【解】　当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3，得an＝2Sn－1＋3，两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，所以an＋1＝3an，所以＝3.当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则＝3.所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列．所以an＝3×3n－1＝3n.技巧三　巧用不完全归纳找规律解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律． 在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos[(n＋1)π]，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝__________．[点拨]　根据递推式计算数列的前面若干项，发现规律，然后求S2 018的值．【解析】　由a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos [(n＋1)π]，得a2＝a1＋cos 2π＝1＋1＝2，a3＝－a2＋cos 3π＝－2－1＝－3，a4＝a3＋cos 4π＝－3＋1＝－2，a5＝－a4＋cos 5π＝2－1＝1，…由此可知，数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2，所以S2 018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 017＋a2 018＝504×(－2)＋a1＋a2＝－1 005.【答案】　－1 005技巧四　巧用辅助数列求通项已知数列的递推式求数列的通项公式时，基本思想就是通过变换递推式把其转化为等差数列、等比数列(辅助数列)，求出辅助数列的通项，再通过变换求出原数列的通项公式．(1)当出现an＝an－1＋m(n≥2)时，构造等差数列；(2)当出现an＝xan－1＋y(n≥2)时，构造等比数列． (1)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－4an＝3×2n＋1，求数列{an}的通项公式．(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．【解】　(1)由an＋1－4an＝3×2n＋1得，－＝3，设bn＝，则bn＋1＝2bn＋3，设bn＋1＋t＝2(bn＋t)，所以2t－t＝3，解得t＝3，所以bn＋1＋3＝2(bn＋3)，所以＝2，又b1＋3＝＋3＝1＋3＝4，所以数列{bn＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－3，所以an＝bn·2n＝(2n＋1－3)×2n＝22n＋1－3×2n.(2)因为an＋1＝(n∈N*)，所以＝＋1，设＋t＝3，所以3t－t＝1，解得t＝，所以＋＝3，又＋＝1＋＝，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1＝，所以an＝.技巧五　巧用裂项求和裂项相消法是数列求和的基本方法之一，在通项为分式的情况下，注意尝试裂项，裂项的基本原则是an＝f(n)－f(n＋1)． 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，若数列{Sn＋1}是公比为4的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn.[点拨]　(1)先求Sn，再利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求an；(2)把通项分解为两项的差，再消项求和．【解】　(1)由题意知Sn＋1＝(S1＋1)·4n－1＝4n，所以Sn＝4n－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3·4n－1，且a1＝3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3·4n－1.(2)bn＝＝＝，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝×＋×＋…＋×＝＝－.技巧六　巧用分组妙求和分组求和方法是分类与整合思想在数列求和问题中的具体体现，其基本特点是把求和目标分成若干部分，先求出部分和，再整合部分和的结果得出整体和． 若数列{an}的通项公式为an＝22n＋1，令bn＝(－1)n－1×，则数列{bn}的前n项和Tn＝____________．【解析】　由题意得bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1＝(－1)n－1，当n为偶数时，Tn＝－＋…＋－＝－，当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋＝＋，所以Tn＝－(－1)n.【答案】　－(－1)n技巧七　巧用特值验算保准确使用“错位相减法”求和的方法学生都能够掌握，但求解的结果容易出现错误，应该在求出结果后使用a1＝S1进行检验，如果出现a1≠S1，则说明运算结果一定错误，这时可以检查解题过程找出错误、矫正运算结果． 已知数列{an}的通项公式为an＝，则其前n项和Sn＝__________．【解析】　Sn＝＋＋＋…＋，2Sn＝2＋＋＋…＋，两式相减得Sn＝2＋＋＋…＋－，Sn＝2＋－＝5－.【答案】　5－