(新高考)高考数学二轮专项复习(一)《应用基本不等式的八种变形技巧》(含详解)

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　　　　　　　　　　　应用基本不等式的八种变形技巧基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：技巧一　加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f(x)＝＋x(x<3)的最大值是(　　)A．－4  B．1 C．5  D．－1【解析】　因为x<3，所以3－x>0，所以f(x)＝－＋3≤－2＋3＝－1.当且仅当＝3－x，即x＝1时等号成立，所以f(x)的最大值是－1.【答案】　D技巧二　平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值． 若x>0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值．[思路点拨]　由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值．【解】　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·＝3×.当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为.技巧三　展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值． 已知a>0，b>0且a＋b＝2，求的最小值．[思路点拨]　由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值．【解】　由题得＝＋＋＋1＝＋＋1＝＋1，因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以2≥2，所以ab≤1，所以≥1.所以≥4(当且仅当a＝b＝1时取等号)，所以的最小值是4.技巧四　变形后使用基本不等式 设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)A．a＋b有最小值2(＋1)  B．a＋b有最大值(＋1)2C．ab有最大值＋1  D．ab有最小值2(＋1)【解析】　因为ab－(a＋b)＝1，ab≤()2，所以－(a＋b)≥1，它是关于a＋b的一元二次不等式，解得a＋b≥2(＋1)或a＋b≤2(1－)(舍去)，所以a＋b有最小值2(＋1)．又因为ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2，所以ab－2≥1，它是关于的一元二次不等式，解得≥＋1或≤1－(舍去)，所以ab≥3＋2，即ab有最小值3＋2.【答案】　A技巧五　形如型函数变形后使用基本不等式若y＝中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值． 求函数y＝(x≠－1)的值域．[思路点拨]　将(x＋5)(x＋2)用(x＋1)来表示再变形为f(x)＝Ax＋＋C的形式，然后运用基本不等式求解．【解】　因为y＝＝＝＝x＋1＋＋5，当x＋1>0时，即x>－1时，y≥2＋5＝9(当且仅当x＝1时取等号)；当x＋1<0，即x<－1时，y≤5－2＝1(当且仅当x＝－3时取等号)．所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．技巧六　用“1”的代换法求最值 已知＋＝1，且x>0，y>0，求x＋y的最小值．【解】　法一：因为x>0，y>0，所以x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.当且仅当＝，且＋＝1，即x＝＋1，y＝2＋时，上式等号成立．故x＋y的最小值是3＋2.法二：因为＋＝1，所以x＝.因为x>0，y>0，所以y－2>0.所以x＋y＝＋y＝＝＝y－2＋＋3≥3＋2.求以形如或可化为＋＝1型为条件的cx＋dy(a，b，c，d都不为0)的最值可利用“1”的代换求乘法．本题中的条件＋＝1也可化为2x＋y－xy＝0. 若a，b为常数，且0<x<1，求f(x)＝＋的最小值．[思路点拨]　根据待求式的特征及0<x<1知x>0，1－x>0.又1＝x＋(1－x)，因此可考虑利用“1”的代换法．【解】　因为0<x<1，所以1－x>0.所以＋＝·1＋·1＝·[x＋(1－x)]＋·[x＋(1－x)]＝a2＋＋＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.上式当且仅当＝时，等号成立．所以＋≥(a＋b)2.故函数f(x)的最小值为(a＋b)2. 若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)·(b＋2)的最小值是__________．[思路点拨]　由于所给条件式中含两个变量a，b，因此可以用一个变量表示另一个变量，将待求式转化为含一个变量的式子后求其最值．【解析】　因为ab－4a－b＋1＝0，所以b＝＝4＋.又因为a>1，所以b>0.所以(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋＋9＝6(a－1)＋＋15.因为a－1>0，所以6(a－1)＋＋15≥2＋15＝27.当且仅当6(a－1)＝(a>1)，即a＝2时取等号．【答案】　27已知条件含形如ax＋bxy＋cy＋d＝0(abc≠0)型的关系式，求关于x、y一次式的和或积的最值问题．常将关系式中ax＋bxy＋cy＋d＝0变形，用一个变量x(或y)表示另一个变量y(或x)后求解．技巧七　代换减元求最值 设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为__________．【解析】　x2－3xy＋4y2－z＝0⇒z＝x2－3xy＋4y2，①所以＝＝＋－3≥2－3＝1.等号成立条件为x＝2y，代入到①可得z＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2，所以x＝2y，z＝2y2，所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y2－2y)＝－2(y－1)2＋2≤2.【答案】　2在含有两个以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解．技巧八　建立求解目标不等式求最值 已知x，y均为正实数，且xy＝x＋y＋3，则xy的最小值为__________．【解析】　因为x，y均为正实数，所以x＋y≥2，xy＝x＋y＋3可化为xy≥2＋3，即(－3)(＋1)≥0，所以≥3，xy≥9，当且仅当x＝y时，xy取得最小值9.【答案】　9利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．