基于数学抽象素养提升的空间角教学

这是一份基于数学抽象素养提升的空间角教学，共31页。PPT课件主要包含了课程标准分析，数学分析，教材安排分析，异面直线所成角，直线与平面所成角，难点抽象出研究对象，抽象几何模型，引导定性观察，构造垂直关系，寻求函数表达等内容，欢迎下载使用。
杭州市高中数学青年教师核心组
《课程标准(2017版)》中明确提岀数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.
数学抽象主要表现为： 获得数学概念和规则，提出数学命题和模型， 形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。
通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简御繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题.
数学抽象素养的一般表现
概念析取:从情境中获得概念、规则、命题、运算、关系
语言表达:用数学语言对概念、规则、推理、论证进行表达
方法普适:利用或创造数学方法解决问题并对其进行解释
二、空间角教学要素分析
空间角呈现出空间中几何元素（线线、线面、面面相对倾斜程度）位置关系。空间角的相关概念形成过程有着一致的思路：先定义角的存在性:即可以找到一个角来刻画直线与直线、直线与平面或平面与平面之间的位置关系;再是定义角的唯一性:即所定义的角是确定的,对于相同的倾斜程度,度量的角度是固定的。
教材是实施教学计划和实现课程目标的重要资源。原教材的空间三角内容被安排在必修二第二章“点、直线、平面之间的位置关系”一章空间中直线与直线之间的位置关系——“异面直线所角”2.3.1直线与平面垂直的判定——“直线与平面所成角”2.3.2平面与平面垂直的判定——“二面角”新教材空间三类角内容被安排在第二册第八章第六节,8.6.1直线与直线垂直——“异面直线所角”8.6.2直线与平面垂直——“直线与平面所成角”8.6.3平面与平面垂直——“二面角”
在熟悉及关联的情境中提出问题——如何刻画空间中一条直线相对于另一直线倾斜的程度？
空间角教学过程中的“大问题”.
空间等角定理保证了所度量的异面直线成角的唯一性！
从一般到特殊，定义两条异面直线的互相垂直.
指明了空间角度量的基本思想方法
体现了在空间中观察两条异面直线的相对倾斜程度，由两条异面直线唯一确定，与O点位置无关.
直接给出定义的同时提出问题，重在引导理性思考，理解线面角定义的合理性存在且唯一线面角是斜线与该平面内所有直线所成角中的最小角
(1)如何理解直线AB可以表示平面内的任意一条直线？
(2)如何定量刻画直线AB与射影AO的相对位置关系？
对于平面α内任意一直线m，总能找到过A的直线AB//直线m.
直线AB与射影AO所成角为β，0°≤β≤90°
难点：如何度量二面角的大小。
“平面化”思想用“平面角”定量刻画两个半平面间的相对倾斜程度.
已在线面角研究中获得成功
度量一个量：存在且唯一
教师教学用书，数学必修第二册
在半平面β内任取直线AB
由线面角的研究经验：平面β内绕着A点旋转的直线可以代替平面内的任意直线.
动态演示使学生直观感知随B点的运动，也可以让学生操作用折纸减去一角的方法直观呈现，感知直线AB与平面α所成角的唯一性，从而直观猜想B点的位置.
学生能在知识发生发展的过程中，经历将“空间角”转化为“平面角”的过程，经历“角的存在性”“角的唯一性”的发现过程与“角的唯一性”的证明过程，从而提升数学抽象素养.
共同确认二面角的平面角的作法，并体会与点O的位置无关
鳖臑（biē nà）：在我国三角锥体的古称.现代白话文：四个面均为直角三角形的三棱锥.
直线a//b,对于确定的平面α，则a,b与平面α所成的角相等.
对于同一条直线，与两个平行的平面所成的角相等.
有助于在向量法研究空间角的过程中对直线方向向量、平面法向量的理解.