人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形当堂检测题

这是一份人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形当堂检测题，共14页。试卷主要包含了下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
1．如图，若AB∥EF，AE＝AC，∠E＝65°，则∠CAB的度数为（ ）
A．25°B．50°C．60°D．65°
2．下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BD＝4，则AD长是（ ）
A．4B．5C．6D．8
5．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5B．6C．8D．9
6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝15，AC＝18，则△AMN的周长为（ ）
A．15B．18C．30D．33
8．如图将长方形ABCD沿EF折叠，B、C分别落在点H、G的位置，延长EH交边CD于点M．下列说法不正确的是（ ）
A．∠1＜∠2B．∠2＝∠3C．∠MEB＝2∠2D．∠2与∠4互补
9．如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
11．如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠DEC的度数为（ ）
A．60°B．75°C．105°D．115°
12．下列对△ABC的判断，错误的是（ ）
A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠B＝50°
C．若AB＝BC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形
D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则△ABC是等腰三角形
13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．1.8B．2.2C．3.5D．3.8
二．填空题（共8小题）
14．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，直线MN垂直平分边AC，分别交AB，AC于点D，E，则∠BCD＝ ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BC＝8，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是 ．
16．定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为15cm，AB＝7cm，则它的“优美比”k＝ ．
17．已知等腰三角形的两条边的长度分别为2和4，则它的周长为 ．
18．在△ABC中，∠A＝46°．当∠B为 度时，△ABC为等腰三角形．
19．如图，已知ABC为等边三角形，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝ ．
20．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为 ．
21．如图，等边△ABC中，D为AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E，若AF＝3，则线段BE的长为 ．
三．解答题（共5小题）
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E求证：AE＝2CE．
23．如图，△ABC是等边三角形，点D、E在边AB、AC的延长线上，连接DE，且DE∥BC．证明：△ADE是等边三角形．
24．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：
变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
（1）请你解答上面的变式题．
（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为 ．
（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．
25．把下面的说理过程补充完整：
已知：如图，AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，求证：CD＝BD．
证明：连结BC，
∵AC＝AB（已知），
∴ ；
∵∠ACD＝∠ABD（已知），
∴∠ACD﹣∠ACB＝∠ABD﹣∠ABC（等式的性质），
即： ；
∴CD＝BD（ ）．
26．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）如图1，图中所有的等腰三角形有 个．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图2，AB≠AC，图中等腰三角形是 ，（1）中的EF与BE、CF之间的关系还存在吗？
（3）如图3，△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们，写出EF与BE、CF关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．【解答】解：∵AE＝AC，
∴∠E＝∠ACE＝65°，
∵AB∥EF，
∴∠CAB＝∠ACE＝65°，
故选：D．
2．【解答】解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故A错误，符合题意；
B、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故B正确，不符合题意；
C、等腰三角形的两个底角相等，故C正确，不符合题意；
D、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，故D正确，不符合题意，
故选：A．
3．【解答】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8，
∴BD+CD＝8﹣3＝5，
∵AD＝BD，
∴AD+DC＝5，
∴AC＝5，
∵AB＝AC，
∴AB＝5，
∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴AE＝AB＝2.5，
故选：A．
4．【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，
∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，
∴∠A＝∠ABD＝15°，
∴AD＝BD＝4，
故选：A．
5．【解答】解：如图：
分三种情况：
当BA＝BC时，以点B为圆心，BA长为半径作圆，点C1，C2，C3即为所求；
当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，点C4，C5，C6，C7，C8即为所求；
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，
综上所述：满足条件的格点C的个数是8，
故选：C．
6．【解答】解：在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，
∴AC＝AB＝3．
故选：B．
7．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，
∴MB＝MO，NO＝NC，
∵AB＝15，AC＝18，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN
＝AM+MO+NO+AN
＝AM+MB+NC+AN
＝AB+AC
＝33，
故选：D．
8．【解答】解：过点F作FN⊥EH，垂足为N，且点N在线段EH上，
∴∠FNE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，
由折叠得：
∠B＝∠GHE＝90°，
∴∠GHE＝∠FNE＝90°，
∴GH∥FN，
∴∠1＝∠MFN，
∵∠2＝∠MFN+∠EFN，
∴∠1＜∠2，
故A不符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠FEB，
由折叠得：
∠FEB＝∠3，
∴∠2＝∠3，
故B不符合题意；
∵∠FEB＝∠3，
∴∠MEB＝2∠3，
∵∠3＝∠2，
∴∠MEB＝2∠2，
故C不符合题意；
∵ME≠EF，
∴∠2≠∠EMF，
∵∠4+∠EMF＝180°，
∴∠4与∠2不一定互补，
故D符合题意；
故选：D．
9．【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠DMA＝∠MAC，∠EMC＝∠MCA，
∵△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，
∴∠DAM＝∠MAC，∠ECM＝∠MCA，
∴∠DAM＝∠DMA，∠EMC＝∠ECM，
∴DA＝DM，ME＝EC，
即△ADM和△CEM都是等腰三角形；
故①正确；
∴DE＝DM+EM＝AD+CE，
∵AC＞DE，
∴AD+CE＜AC，故④错误；
∴△BDE的周长为：BD+DE+BE＝DB+DM+ME+BE＝AB+BC；故②正确；
根据已知条件无法证明AM＝2CM，故③错误．
故选：C．
10．【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，
∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，
∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴CD＝CE＝2cm，
故选：B．
11．【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，
∴∠DAC＝30°（三线合一），
在△ADE中，AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣75°＝105°，
故选：C．
12．【解答】解：A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
所以△ABC是直角三角形，故此选项正确，不符合题意；
B．若AB＝BC，∠C＝50°，
则∠A＝∠C＝50°，∠B＝80°，故此选项错误，符合题意；
C．若AB＝BC，∠A＝60°，则∠A＝∠C＝60°，∠B＝60°，
所以△ABC是等边三角形，故此选项正确，不符合题意；
D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则∠B＝80°，∠C＝∠B＝80°，
所以△ABC是等腰三角形，故此选项正确，不符合题意．
故选：B．
13．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝×4＝2，
∵点P是BC边上的动点，
∴2＜AP＜4，
∴AP的值不可能是1.8．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
14．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠B＝×（180°﹣∠A）＝65°，
∵直线MN垂直平分边AC，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°，
故答案为：15°．
15．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝CD＝BC＝4，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵AD＝8，
∴S阴影＝S△ABD＝BD•AD＝×4×8＝16．
故答案为：16．
16．【解答】解：当AB腰时，则底边＝15﹣2×7＝1cm；
此时，优美比k＝；
当AB为底边时，则腰为（15﹣7）÷2＝4cm；
此时，优美比k＝；
故答案为或．
17．【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，4，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当4为腰时，三边为4，4，2，符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2＝10．
故答案为：10．
18．【解答】解：当∠A为顶角时，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝46°，
∴∠B＝67°；
当∠B为顶角时，AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝46°，
∴∠B＝88°；
当∠C为顶角时，BC＝AC，
∴∠B＝∠A，
∵∠A＝46°，
∴∠B＝46°，
故答案为：67°或88°或46°．
19．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠1＝∠A+∠ADE，∠2＝∠A+∠AED，
∴∠1+∠2＝∠A+∠ADE+∠A+∠AED，
∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°，
∴∠1+∠2＝60°+180°＝240°，
故答案为：240°．
20．【解答】解：∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，
∴OA＝OC，
∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，
∴AC＝AO，
∴OC＝AC＝OA，
∴△AOC的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
21．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣∠A＝30°，
∴AD＝2AF＝6，
∴AB＝12，
∴AC＝BC＝12，
∴FC＝9，
在Rt△FEC中，∠EFC＝90°﹣∠C＝30°，
∴EC＝FC＝，
∴BE＝BC﹣EC＝，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
22．【解答】证明：如图，连接BE．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝60°．
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．
∴∠A＝∠ABE＝30°．
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．
∵在Rt△CBE中，∠EBC＝30°，
∴CE＝BE，
∴CE＝AE，
即AE＝2CE．
23．【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，
∵BC∥BD，
∴∠D＝∠ABC＝60°，
∵∠A＝∠D＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
24．【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时，
∠B＝＝50°；
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；
（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，
故答案为：60°．
（3）分两种情况：设∠A＝x°，
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝（）°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．
当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．
25．【解答】证明：连结BC，
∵AC＝AB（已知），
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠ACD＝∠ABD（已知），
∴∠ACD﹣∠ACB＝∠ABD﹣∠ABC（等式的性质），
即：∠DCB＝∠DBC；
∴CD＝BD（等角对等边）．
故答案为：∠ACB＝∠ABC，∠DCB＝∠DBC，等角对等边．
26．【解答】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个；
EF、BE、FC的关系是EF＝BE+FC．
理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO，
即EO＝EB，FO＝FC，
∴EF＝EO+OF＝BE+CF；
故答案为：5；
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立，
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO，
即EO＝EB，FO＝FC，
∴EF＝EO+OF＝BE+CF；
故答案为：△EOB、△FOC；
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF＝BE﹣FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC＝∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO＝∠FOC＝∠OCG，
∴FO＝FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF＝EO﹣FO＝BE﹣FC