江苏省南京十三中集团校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份江苏省南京十三中集团校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京十三中集团校九年级（上）
第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+y＝1 B．3x+y2＝2 C．2x﹣x2＝3 D．D，x+＝4
2．（2分）⊙O的半径为3，点A到圆心O的距离为4，点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O上 D．不能确定
3．（2分）已知圆的半径是2．则该圆的内接正六边形的边长是（　　）
A．2 B．2 C．3 D．4
4．（2分）如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠D＝130°，则∠B的度数为（　　）

A．130° B．128° C．115° D．116°
5．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝27°，则∠DCA的度数为（　　）

A．36° B．38° C．40° D．42°
6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝3，AF＝10，则△ABC的面积是（　　）

A．60 B．13 C．13 D．30
二、填空题（术大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答卡相应位置上）
7．（2分）一元二次方程x2＝﹣x的根是 　 　．
8．（2分）把方程x2+2x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是 　 　．
9．（2分）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的大小为 　 　．

10．（2分）设m，n分别为一元二次方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣n＝　 　．
11．（2分）如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝4，EM＝6，则⊙O的半径为 　 　．

12．（2分）如图：AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，已知AB＝2DE，∠E＝16°，则∠AOC的大小是　 　°．

13．（2分）如图，连接正十边形的对角线AC与BD交于点E，则∠AED＝　 　°．

14．（2分）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若AD＝3，BC＝6，则AB+CD的值是　 　．

15．（2分）⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，∠ABO＝28°，则∠C的度数为 　 　，
16．（2分）如图，A（1，0）、B（5，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点，当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．
18．（6分）解方程：x （2﹣x）＝3x﹣6．
19．（8分）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，求∠AOC的度数．

20．（8分）如图，要设计一幅宽20cm，长40cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为1：2．如果要使得彩条之外的面积为512cm2，求设计横彩条的宽度．

21．（8分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是　 　．

22．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：AB＝CD．

23．（8分）（1）在图①中，已知⊙O1，点P在⊙O1上，过点P作⊙O1的切线l1；
（2）在图②中，已知⊙O2，点Q在⊙O2外，过点Q作⊙O2的切线l2．
（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）

24．（8分）商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利45元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1800元，那么这种衬衫每件的价格应降价多少元？
25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求AC的长．

26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E为CD边上的一个动点（不与C、D重合），⊙O是△BCE的外接圆．
（1）若CE＝2，⊙O交AD于点F、G，求FG的长度．
（2）若CE的长度为m，⊙O与D的位置关系随着m值的变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．

27．（11分）【问题提出】
苏科版（数学）九年级（上册）习题2.1有这样一道练习题：

如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？

在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”只需证明　 　．
【初步思考】
如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE，求证：∠ADE＝∠ABC．（请你在空白处根据小敏的思路完成证明过程）．
【推广运用】
如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，连接DE、EF、FD，猜想∠EFB与∠DFC之间存在的关系，并说明理由．


2022-2023学年江苏省南京十三中集团校九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+y＝1 B．3x+y2＝2 C．2x﹣x2＝3 D．D，x+＝4
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【解答】解：A．该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B．该方程是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、该方程是分式方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（2分）⊙O的半径为3，点A到圆心O的距离为4，点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O上 D．不能确定
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，点A到圆心O的距离为4，
即点到圆心的距离大于圆的半径，
所以点A在⊙O外．
故选：A．
3．（2分）已知圆的半径是2．则该圆的内接正六边形的边长是（　　）
A．2 B．2 C．3 D．4
【分析】根据圆的内接正六边形的边长等于半径，即可求得边长．
【解答】解：圆内接正六边形的半径为2，则边长是2．
故选：B．
4．（2分）如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠D＝130°，则∠B的度数为（　　）

A．130° B．128° C．115° D．116°
【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据等腰三角形的性质求出∠AEC，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：连接AC、CE，
∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，
∴∠CAE+∠D＝180°，
∵∠D＝130°，
∴∠CAE＝180°﹣130°＝50°，
∵＝，
∴∠ACE＝∠AEC＝×（180°﹣50°）＝65°，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，
∴∠AEC+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣65°＝115°，
故选：C．

5．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝27°，则∠DCA的度数为（　　）

A．36° B．38° C．40° D．42°
【分析】连接BC，如图，先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝64°，再利用折叠的性质可判断和在等圆中，则＝，所以CB＝CD，所以∠CDB＝63°，然后利用三角形外角性质可计算出∠DCA的度数．
【解答】解：连接BC，如图，

∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC+∠A＝90°，
∵∠BAC＝27°，
∴∠B＝90°﹣27°＝63°，
∵劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，
而和都对∠BAC，
∴＝，
∴CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝63°，
∵∠CDB＝∠DAC+∠DCA，
∴∠DCA＝63°﹣27°＝36°．
故选：A．
6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝3，AF＝10，则△ABC的面积是（　　）

A．60 B．13 C．13 D．30
【分析】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝3，AF＝AE＝10，
∴AB＝AF+BF＝13，
∵∠C＝90°，OD＝OE，
∴四边形OECD是正方形，
设EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2，
故（x+3）2+（x+10）2＝132，
解得：x1＝2，x2＝﹣15（舍去），
∴BC＝5，AC＝12，
∴S△ABC＝×5×12＝30，
故选：D．
二、填空题（术大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答卡相应位置上）
7．（2分）一元二次方程x2＝﹣x的根是 　x1＝0，x2＝﹣1　．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x2＝﹣x，
∴x2+x＝0，
则x（x+1）＝0，
∴x＝0或x+1＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．
8．（2分）把方程x2+2x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是 　5　．
【分析】方程配方得到结果，确定出m与n的值，即可求出m+n的值．
【解答】解：方程整理得：x2+2x＝3，
配方得：x2+2x+1＝4，即（x+1）2＝4，
∴m＝1，n＝4，
则m+n＝1+4＝5．
故答案为：5．
9．（2分）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的大小为 　140°　．

【分析】连接OB，如图，利用等腰三角形的性质得到∠A＝∠OBA＝80°，∠OBC＝∠C＝60°，然后计算∠OBA+∠OBC即可．
【解答】解：连接OB，如图，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA＝80°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝60°，
∴∠ABC＝∠OBA+∠OBC＝80°+60°＝140°．
故答案为140°．

10．（2分）设m，n分别为一元二次方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣n＝　2020　．
【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m+n＝2，m2﹣2m＝2022，将其代入原式＝m2﹣2m﹣m﹣n＝m2﹣2m﹣（m+n）计算可得．
【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m+n＝2，m2﹣2m＝2022，
则原式＝m2﹣2m﹣m﹣n
＝m2﹣2m﹣（m+n）
＝2022﹣2
＝2020，
故答案为：2020．
11．（2分）如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝4，EM＝6，则⊙O的半径为 　　．

【分析】连接OC，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：连接OC，

∵EF⊥CD，CD＝4，
∴CM＝MD＝CD＝2，
设⊙O的半径为R，则OM＝6﹣R，
在Rt△OCM中，OC2＝OM2+CM2，
即R2＝（6﹣R）2+22，
解得，R＝，
故答案为：．
12．（2分）如图：AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，已知AB＝2DE，∠E＝16°，则∠AOC的大小是　48　°．

【分析】连接OD，如图，利用半径相等得到DE＝DO，根据等腰三角形的性质得∠E＝∠DOE＝16°，则利用三角形外角性质可计算出∠CDO＝32°，加上∠C＝∠CDO＝32°，然后再根据三角形外角性质可计算出∠AOC的度数．
【解答】解：连接OD，如图，
∵AB＝2DE，
∴DE＝DO，
∴∠E＝∠DOE＝16°，
∴∠CDO＝∠E+∠DOE＝32°，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠CDO＝32°，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝32°+16°＝48°．
故答案为48．

13．（2分）如图，连接正十边形的对角线AC与BD交于点E，则∠AED＝　126　°．

【分析】根据正十边形的性质和五边形、六边形内角和可求∠BAE，∠ABE的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：正十边形的一个内角为（10﹣2）×180°÷10＝144°，
∠BAE＝[（5﹣2）×180°﹣144°×3]÷2＝54°，
∠ABE＝[（6﹣2）×180°﹣144°×4]÷2＝72°，
则∠AED＝54°+72°＝126°．
故答案为：126．
14．（2分）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若AD＝3，BC＝6，则AB+CD的值是　9　．

【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题．
【解答】解：∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，
∴AD+BC＝AF+DF+BH+CH＝AE+BE+DG+CG＝AB+CD，
∵AD＝3，BC＝6，
∴AB+CD＝AD+BC＝9，
故答案为9．
15．（2分）⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，∠ABO＝28°，则∠C的度数为 　62°或118°　，
【分析】分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝28°，
∴∠AOB＝124°，
∴∠C＝∠AOB＝62°，
∴∠C′＝180°﹣62°＝118°，
故答案为：62°或118°．

16．（2分）如图，A（1，0）、B（5，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点，当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 　2﹣1　．

【分析】连接MD，如图，利用垂径定理得到MD⊥EF，则∠ODM＝90°，再根据勾股定理得到点D在以A点为圆心，1为半径的圆上，利用点与圆的位置关系可判断当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣1＝2﹣1．
【解答】解：连接MD，如图，
∵D为EF的中点，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM＝90°，
∴点D在以A点为圆心，1为半径的圆，
当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣1＝2﹣1，
即CD的最小值为2﹣1．
故答案为：2﹣1．

三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．
【分析】将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，
移项得：x2﹣6x＝1，
配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，
开方得：x﹣3＝±，
则x1＝3+，x2＝3﹣．
18．（6分）解方程：x （2﹣x）＝3x﹣6．
【分析】直接利用提取公因式法分解因式解方程得出答案．
【解答】解：x （2﹣x）＝3x﹣6
x（2﹣x）﹣3（x﹣2）＝0，
则（2﹣x）（x+3）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
19．（8分）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，求∠AOC的度数．

【分析】连接OE，由弧CE的度数为40°，得到∠COE＝40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝70°．
【解答】解：连接OE，如图，
∵弧CE的度数为40°，
∴∠COE＝40°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC＝∠OCE＝70°．

20．（8分）如图，要设计一幅宽20cm，长40cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为1：2．如果要使得彩条之外的面积为512cm2，求设计横彩条的宽度．

【分析】设横彩条的宽度为x cm，则竖彩条的宽度为2x cm，彩条之外的部分可合成长为（40﹣2×2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形，根据彩条之外的面积为512cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合彩条之外的部分合成的矩形的各边为正值，即可得出设计横彩条的宽度．
【解答】解：设横彩条的宽度为x cm，则竖彩条的宽度为2x cm，彩条之外的部分可合成长为（40﹣2×2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形，
依题意得：（20﹣2x）（40﹣2×2x）＝512，
整理得：（10﹣x）2＝64，
解得：x1＝18，x2＝2．
又∵20﹣2x＞0，
∴x＜10，
∴x＝2．
答：设计横彩条的宽度为2cm．
21．（8分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是　　．

【分析】（1）作OH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，利用等量减等量差相等可得到结论；
（2）连接OC，如图，设CH＝x，利用勾股定理得到OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，则42﹣x2＝62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长．
【解答】（1）证明：作OH⊥CD于H，如图，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：连接OC，如图，设CH＝x，
在Rt△OCH中，OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，
在Rt△OAH中，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，
∴42﹣x2＝62﹣（3+x）2，解得x＝，
∴CD＝2CH＝．
故答案为：．

22．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：AB＝CD．

【分析】连接AC，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠C，从而可得＝，然后利用等式的性质可得＝，从而可得AB＝CD，即可解答．
【解答】证明：连接AC，

∵PA＝PC，
∴∠A＝∠C，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝，
∴AB＝CD．
23．（8分）（1）在图①中，已知⊙O1，点P在⊙O1上，过点P作⊙O1的切线l1；
（2）在图②中，已知⊙O2，点Q在⊙O2外，过点Q作⊙O2的切线l2．
（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【分析】（1）过P点作O1P的切线得到直线l1；
（2）连接QO2，作QO2的垂直平分线得到中点O，然后以O点为圆心，OQ为半径作圆交⊙O2于A、B，则直线QA、QB满足条件．
【解答】解：（1）如图①，l1为所作；

（2）如图②，l2为所作

24．（8分）商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利45元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1800元，那么这种衬衫每件的价格应降价多少元？
【分析】设这种衬衫每件的价格降价了x元，则每件盈利（45﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件，根据每天销售这批衬衫获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这种衬衫每件的价格降价了x元，则每件盈利（45﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件，
依题意得：（45﹣x）（30+2x）＝1800，
整理得：x2﹣30x+225＝0，
解得：x1＝x2＝15．
答：这种衬衫每件的价格应降价15元．
25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求AC的长．

【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC＝AB＝8，再用勾股定理求出BD，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
连接BD，∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠DEC＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵DE∥AC，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CB＝AB＝8，AF＝CF＝AC，
在Rt△BCD中，BD＝＝4
∴CF＝＝，
∴AC＝2CF＝．

26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E为CD边上的一个动点（不与C、D重合），⊙O是△BCE的外接圆．
（1）若CE＝2，⊙O交AD于点F、G，求FG的长度．
（2）若CE的长度为m，⊙O与D的位置关系随着m值的变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．

【分析】（1）过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG．在Rt△BCE中，利用勾股定理求出BE，再在Rt△OMG中求出MG即可解决问题．
（2）如图1中，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N．求出相切时，m的值即可判断．
【解答】（1）解：过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴BE是⊙O的直径．
∵∠C＝∠D＝∠DMN＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN⊥BC，MN＝CD＝AB＝4，
∴BN＝CN．
∵OB＝OE，
∴ON是△BCE的中位线，
∴ON＝CE＝1，
∴OM＝4﹣1＝3，
在Rt△BCE中，BE＝＝2，
∴OG＝BE＝，
在Rt△OMG中，MG＝＝1，
∴FG＝2MG＝2．

（2）解：如图1中，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N．

由（1）易得ON＝CE＝m，OB＝OM＝4﹣m，BN＝3，
在Rt△BON中，ON2+BN2＝OB2，即（m）2+32＝（4﹣m）2，
解得m＝，
∴当0＜m＜时，⊙O与AD相离，
当m＝时，⊙O与AD相切，
当＜m＜4时，⊙O与AD相交．
27．（11分）【问题提出】
苏科版（数学）九年级（上册）习题2.1有这样一道练习题：

如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？

在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”只需证明　BM＝EM＝DM＝CM　．
【初步思考】
如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE，求证：∠ADE＝∠ABC．（请你在空白处根据小敏的思路完成证明过程）．
【推广运用】
如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，连接DE、EF、FD，猜想∠EFB与∠DFC之间存在的关系，并说明理由．

【分析】【问题提出】只要证明BM＝EM＝DM＝CM即可；
【初步思考】取BC的中点M，连接EM、DM．只要证明B、C、D、E四点共圆，可得∠ABC+∠EDC＝180°，∵∠EDC+∠ADE＝180°，即可推出∠ADE＝∠ABC；
【推广运用】猜想：∠EFB＝∠DFC．利用【初步思考】中的结论即可解决问题；
【解答】【问题提出】解：连接EM、DM．
想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”只需证明BM＝EM＝DM＝CM．
故答案为BM＝EM＝DM＝CM．
【初步思考】解：取BC的中点M，连接EM、DM．

∵BD、CE是锐角△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
在Rt△BDC中，M是BC中点，
∴DM＝BM＝CM，同理可证EM＝BM＝CM，
∴BM＝EM＝DM＝CM，
∴B、C、D、E四点共圆，
∴∠ABC+∠EDC＝180°，∵∠EDC+∠ADE＝180°，
∴∠ADE＝∠ABC．
【推广运用】解：猜想：∠EFB＝∠DFC．
由上面可知，四边形A、C、F、E四点共圆，
∴∠EFB＝∠BAC，
四边形A、B、F、D四点共圆，
∴∠DFC＝∠BAC，
∴∠EFB＝∠DFC．