江西省名校联考2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份江西省名校联考2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省名校联考九年级（上）第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）已知：是关于的一元二次方程，则的值是　　A．1 B．2 C．3 D．42．（3分）抛物线与轴的交点坐标是　　A． B． C． D．3．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是　　A． B． C． D．4．（3分）疫情形势下，我国坚持“动态清零”总方针，很多地区疫情得以有效控制，正有序恢复正常生产生活秩序，某商店今年5月份的销售额仅为2万元，恢复生产后，7月份的销售额为4.5万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，根据题意，以下方程正确的是　　A． B． C． D．5．（3分）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点，的运动时间为　　A． B． C．4  D．6．（3分）已知抛物线为常数，与轴交于，两点（点在点的左侧），下列关于该抛物线的描述中，说法正确的是　　A．该抛物线的开口向下 B． C．点在轴的正半轴 D．当时，函数随的增大而增大二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　．8．（3分）将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为 　　．9．（3分）将二次函数化为的形式，则　　．10．（3分）如图，抛物线与轴交于点，过点且与轴平行的直线交抛物线于，两点，则线段的长为 　　．11．（3分）对于实数，，先定义一种新运算“※”如下：※，若※，则实数的值为 　　．12．（3分）如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线上的动点，若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为　 　．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）解方程；（2）已知抛物线与轴的一个交点为，求该抛物线的顶点坐标．14．（6分）已知是方程的一个根，求代数式的值．15．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，，请仅用无刻度的直尺按要求画出图中抛物线的对称轴：（1）如图1，点，在抛物线上；（2）如图2，四边形为矩形． 16．（6分）二次函数，，是常数，且的自变量和函数的部分对应值如表所示．01545（1）根据以上信息可知，　　．（2）求此二次函数的解析式．17．（6分）如图，因疫情防控需要，某校利用围墙和隔离带围成一个矩形隔离区，已知墙长，，矩形隔离区的一边靠墙，另三边共用了长的隔离带，所围成的矩形隔离区的面积为，求所利用围墙的长．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．（1）求的取值范围；（2）若，求的值．19．（8分）我们称顶点相同的抛物线为共顶抛物线，已知抛物线．（1）下列四个抛物线中，与是共顶抛物线的是 　　（填序号）．①②③④（2）若抛物线与是共顶抛物线，且抛物线经过点，求抛物线的解析式．20．（8分）某服装店销售一款服装，每件成本为50元．经市场调研，当该款服装每件的售价为60元时，每个月可销售300件；若每件的售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件．（1）若该服装店某月销售该款服装200件，求这个月每件服装的售价；（2）若该服装店希望销售该款服装每月获利3000元，且尽量给客户实惠，则每件服装的售价应定为多少？五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，连接，．（1）用含的代数式求；（2）若，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，当时，的最大值是2，求的值．22．（9分）问题提出若一元二次方程的两根为，，我们可以由一元二次方程根与系数的关系得，．已知方程的两根为，，则　　，　　．探究引申若多项式中，存在，，则多项式可在实数范围内分解因式，分解结果为，而其中．即为一元二次方程的两根．例如：把多项式分解因式，可以令，解该方程得，，故多项式在实数范围内可分解为．请利用上述方法在实数范围内把下列多项式分解因式．（1）．（2）．应用拓展已知二次函数与轴的两个交点坐标分别为和，请直接写出该抛物线的解析式．六、解答题（本大题12分）23．（12分）已知抛物线且为常数）的顶点为，且经过两定点，（点在点的左侧）．（1）抛物线的对称轴：直线 　　，顶点的坐标：　　．（用含的式子表示）（2）求抛物线所经过的定点，的坐标．（3）①若是等腰直角三角形，请求出抛物线的解析式，并在如图所给定的平面直角坐标系中画出该抛物线；②在①的条件下，若为对称轴上一点，为抛物线上一点，是否存在以，，，四点组成的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年江西省名校联考九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）已知：是关于的一元二次方程，则的值是　　A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据一元二次方程的定义得到，然后求解即可得出答案．【解答】解：方程是关于的一元二次方程，．解得．故选：．2．（3分）抛物线与轴的交点坐标是　　A． B． C． D．【分析】欲求抛物线与轴的交点，即令，解方程即可．【解答】解：令，则．解得．所以抛物线与轴的交点坐标是．故选：．3．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是　　A． B． C． D．【分析】利用根的判别式和简单一元二次方程求解作答即可．【解答】解：选项，△，故没有实数根，符合题意；选项，，，不符合题意；选项，，，不符合题意；选项，，，不符合题意．故选：．4．（3分）疫情形势下，我国坚持“动态清零”总方针，很多地区疫情得以有效控制，正有序恢复正常生产生活秩序，某商店今年5月份的销售额仅为2万元，恢复生产后，7月份的销售额为4.5万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，根据题意，以下方程正确的是　　A． B． C． D．【分析】利用该商店7月份的销售额该商店5月份的销售额这两个月销售额的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得，故选：．5．（3分）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点，的运动时间为　　A． B． C．4  D．【分析】在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：在中，，，，．当运动时间为时，，，，依题意得：，即，整理得：，解得：，点，的运动时间为．故选：．6．（3分）已知抛物线为常数，与轴交于，两点（点在点的左侧），下列关于该抛物线的描述中，说法正确的是　　A．该抛物线的开口向下 B． C．点在轴的正半轴 D．当时，函数随的增大而增大【分析】根据抛物线中的符号判定抛物线开口方向；根据根与系数的关系判定的值；根据抛物线与轴的交点判定点的位置；根据抛物线的增减性判定选项．【解答】解：、由于无法确定的符号，所以不能判定抛物线的开口方向，原说法不正确，不符合题意；、令，由根与系数的关系知：，原说法正确，符合题意；、无法判定点与轴交点的位置，原说法不正确，不符合题意；、由抛物线的对称轴为直线知，当且时，函数随的增大而增大；当且时，函数随的增大而减小，原说法不正确，不符合题意．故选：．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　．【分析】将代入方程得到关于的方程，从而可求得的值．【解答】解：将代入得：，解得：．故答案为：．8．（3分）将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为 　　．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答．【解答】解：将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为，故答案为：．9．（3分）将二次函数化为的形式，则　　．【分析】先利用配方法把一般式化为顶点式得到和的值，然后计算和的和．【解答】解：，所以，，所以．故答案为：．10．（3分）如图，抛物线与轴交于点，过点且与轴平行的直线交抛物线于，两点，则线段的长为 　　．【分析】先由轴上点的横坐标为0求出点坐标为，再将代入，求出的值，得出、两点的坐标，进而求出的长度．【解答】解：抛物线与轴交于点，点坐标为．当时，，解得，点坐标为，，点坐标为，，．故答案为：．11．（3分）对于实数，，先定义一种新运算“※”如下：※，若※，则实数的值为 　　．【分析】分两种情况：当时，当时，然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当时，※，，，或（舍去）；当时，※，，（舍去）；综上所述：，故答案为：．12．（3分）如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线上的动点，若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为　，或，　．【分析】先计算出自变量为0时所对应的二次函数值得到点坐标，则过中点与轴平行的直线为，再利用等腰三角形的性质得点为直线与抛物线的交点，然后解方程即可确定点坐标．【解答】解：当时，，则，是以为底的等腰三角形，点为直线与抛物线的交点，当时，，解得，，点坐标为，或，．故答案为，或，．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）解方程；（2）已知抛物线与轴的一个交点为，求该抛物线的顶点坐标．【分析】（1）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把代入中求出得到抛物线解析式为，然后把一般式化为顶点式得到该抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1），，，所以，；（2）把代入得，解得，抛物线解析式为，，该抛物线的顶点坐标为．14．（6分）已知是方程的一个根，求代数式的值．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把入方程即可得到的形式，再整体代入，即可求解．【解答】解：根据题意得：，，．15．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，，请仅用无刻度的直尺按要求画出图中抛物线的对称轴：（1）如图1，点，在抛物线上；（2）如图2，四边形为矩形． 【分析】（1）连接、，它们相交于点，再画出和的延长线的交点，则利用抛物线的对称性可判断直线为抛物线的对称轴；（2）先作出和的交点，再作直线交抛物线于、，接着作出和的延长线的交点，则利用抛物线的对称性可判断直线为抛物线的对称轴．【解答】解；（1）如图1，直线为所作；（2）如图2，直线为所作．16．（6分）二次函数，，是常数，且的自变量和函数的部分对应值如表所示．01545（1）根据以上信息可知，　5　．（2）求此二次函数的解析式．【分析】（1）根据表格中对应值可知抛物线与轴的交点，即可求得的值；（2）根据表格中对应值可知对称轴的值，即可得到顶点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：（1）根据图表可知：二次函数的图象过点，，故答案为：5；（2）二次函数的图象过点，，对称轴为直线，顶点为，设，将代入得，，这个二次函数的解析式为．17．（6分）如图，因疫情防控需要，某校利用围墙和隔离带围成一个矩形隔离区，已知墙长，，矩形隔离区的一边靠墙，另三边共用了长的隔离带，所围成的矩形隔离区的面积为，求所利用围墙的长．【分析】设，则，根据矩形的周长公式求得和，再根据题意列方程求解即可．【解答】解：设，则，根据题意得：，解得，，当时，，不符合题意舍去，当时，，答：的长为．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．（1）求的取值范围；（2）若，求的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可；（2）利用完全平方公式由，得到，解方程即可求解．【解答】解：（1）方程有两个实数根，△，解得：，故的取值范围是；（2）原方程的两个实数根为、，，．，，，即，解得：，，，，故的值是7．19．（8分）我们称顶点相同的抛物线为共顶抛物线，已知抛物线．（1）下列四个抛物线中，与是共顶抛物线的是 　①③　（填序号）．①②③④（2）若抛物线与是共顶抛物线，且抛物线经过点，求抛物线的解析式．【分析】（1）求各函数的顶点坐标，根据顶点相同的两条抛物线为共顶抛物线，做判断；（2）根据题意得到关于、的方程组，解方程组求得、的值，进而即可求得抛物线的解析式．【解答】解：（1）抛物线，顶点为，①，顶点为，所以①是；②，顶点为，所以②不是；③，顶点为，所以③是；④，顶点为，所以④不是；故答案为：①③．（2）抛物线，，，顶点为，由抛物线与是共顶抛物线得：①，抛物线经过点，，即②，由①②构成方程组，解得，抛物线的解析式为：．20．（8分）某服装店销售一款服装，每件成本为50元．经市场调研，当该款服装每件的售价为60元时，每个月可销售300件；若每件的售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件．（1）若该服装店某月销售该款服装200件，求这个月每件服装的售价；（2）若该服装店希望销售该款服装每月获利3000元，且尽量给客户实惠，则每件服装的售价应定为多少？【分析】（1）设这个月每件服装的售价为元，由题意：当该款服装每件的售价为60元时，每个月可销售300件；若每件的售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件．列出一元一次方程，解方程即可；（2）设每件服装的售价应定为元，由题意：该服装店希望销售该款服装每月获利3000元，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）设这个月每件服装的售价为元，由题意得：，解得：，答：这个月每件服装的售价为70元；（2）设每件服装的售价应定为元，由题意得：，整理得：，解得：或（不符合题意舍去），，答：每件服装的售价应定为60元．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，连接，．（1）用含的代数式求；（2）若，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，当时，的最大值是2，求的值．【分析】（1）根据点坐标和对称轴可以求出点坐标，再把点坐标代入抛物线解析式得出，由对称轴得出，然后求出，从而得出点坐标，再用三角形面积公式求解即可；（2）由求出即可；（3）根据抛物线的轴对称性质和二次函数图象的增减性进行分析解答．【解答】解：（1），对称轴为，点的坐标为：，点在抛物线上，，函数的对称轴为：，．将代入得：．故抛物线的表达式为：，，，，； （2），，抛物线的函数表达式为； （3）对称轴为直线，当时，随的增大而减小．当时，函数有最大值．此时．解得，．，．．综上所述，．22．（9分）问题提出若一元二次方程的两根为，，我们可以由一元二次方程根与系数的关系得，．已知方程的两根为，，则　3　，　　．探究引申若多项式中，存在，，则多项式可在实数范围内分解因式，分解结果为，而其中．即为一元二次方程的两根．例如：把多项式分解因式，可以令，解该方程得，，故多项式在实数范围内可分解为．请利用上述方法在实数范围内把下列多项式分解因式．（1）．（2）．应用拓展已知二次函数与轴的两个交点坐标分别为和，请直接写出该抛物线的解析式．【分析】问题提出根据根与系数的关系写出即可；探究引申（1）令，解得方程的解，然后写出即可；（2）令，解得方程的解，然后写出即可；应用拓展根据二次函数与方程的关系以及根与系数的关系写出即可．【解答】解：问题提出已知方程的两根为，，则，，故答案为：3，．探究引申（1）令，解得，，则；（2）令，解得，，则；应用拓展，该抛物线的解析式为，六、解答题（本大题12分）23．（12分）已知抛物线且为常数）的顶点为，且经过两定点，（点在点的左侧）．（1）抛物线的对称轴：直线 　　，顶点的坐标：　　．（用含的式子表示）（2）求抛物线所经过的定点，的坐标．（3）①若是等腰直角三角形，请求出抛物线的解析式，并在如图所给定的平面直角坐标系中画出该抛物线；②在①的条件下，若为对称轴上一点，为抛物线上一点，是否存在以，，，四点组成的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由，即可求顶点为，对称轴为直线；（2）由抛物线且为常数）恒经过两个定点和，可得的系数为0，可得，，可得这两个定点的坐标；（3）①设对称轴交轴于点，根据为等腰直角三角形，可得，求得，得出抛物线解析式为，再画出抛物线即可；②分两种情况：当以为对角线时，当以为边时，根据平行四边形的性质求解即可．【解答】解：（1）且为常数），顶点的坐标为，对称轴为直线；故答案为：，； （2）抛物线恒经过两个定点和（点在点左侧），与的取值无关，即的系数为0，即，解得：，，点在点的左侧，，； （3）①设对称轴交轴于点，为等腰直角三角形，，顶点的坐标为，，解得，，，抛物线解析式为，画出抛物线如图：②存在．当以为对角线时，如图，四边形为平行四边形，，四边形为菱形，点也在对称轴上，即点为抛物线的顶点，点坐标为；当以为边时，如图，以，，，四点组成的四边形为平行四边形，，的横坐标为，的横坐标为8，对于，当时，；当时，，点坐标为或．综上所述，点坐标为或或．