浙江省温州市2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份浙江省温州市2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题（含答案），共16页。

温州市2022学年第一学期九年级学业水平第一次检测
数 学 试 题2022．9（课改班卷）
本卷共4页，满分150分。请在规定时间内于答题区域内作答，全程不得使用计算器，考试时间120分钟。
选择题部分
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，选择正确才给分）
1．有10张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字：1至10，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取三张卡片a，b，c，则这三张卡片a，b，c的数字正好是直角三角形的三边长的概率是（ ）
A．1120 B．160 C．145 D．172
2．已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则四边形ACDB的面积是（ ）
A．119 B．289 C．77或119 D．119或289
3．如图，△ADC是由等腰直角△EOG经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴，已知EO=1，D点坐标为D2,0，位似比为1:2，则两个三角形的位似中心的坐标是（ ）

A．23,0 B．1,0 C．0,0 D．13,0
4．我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A0,2，点C2,0，则互异二次函数y=x-m2-m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）

A．4，-1 B．5-172，-1 C．4，0 D．5+172，-1
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D，E分别在AC和BC上，CD=2，若以DE为直径的⊙O交AB的中点F，可知⊙O的直径是（ ）

A．23 B．2 C．25 D．5
6．如图，在△ABC中∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为（ ）

A．10-2 B．3-2 C．75 D．23-2
（第7题）
7．如图1，是清代数学家李之铉在他的著作《几何易简集》中研究过的一个图形，小圆同学在研究该图形后设计了图2，延长正方形ABCD的边BC至点M，作矩形ABMN，以BM为直径作半圆O交CD于点E，以CE为边做正方形CEFG，G在BC上，记正方形ABCD，正方形CEFG，矩形CMND的面积分别为S1，S2，S3，则S1S2+S3=（ ）

A．3+54 B．1+52 C．3+24 D．1+22
8．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P（即连接OP有OP⊥AD）．若AB=6，BC=33，其中正确的结论数量为（ ）
①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=3CE；④S阴影=32．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，抛物线y=-x²+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（ ）

A．6 B．42 C．30 D．27
10．如图，正方形ABCD边长为6，E、F是对角线AC的三等分点，连接BE并延长交AD于点G，连接GF并延长交BC于点H，记△GEF的面积为m，△CHF的面积为n，m＋n=（ ）

A． B．6 C． D．7
非选择题部分
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．若实数a是一元二次方程x2-3x+1=0的一个根，则a3+的值为____________．
12．温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数N的最大值_____________。
阅读理解:任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为________．
13．如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB=CD=80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为__________cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为____________cm．

14．已知抛物线y1：y=2（x-3）2+1和抛物线y2：y=-2x2-8x-3，若无论k取何值，直线y=kx+km+n被两条抛物线所截的两条线段都保持相等，则m=___________，n=___________．
15．工人师傅在修茸一人字架屋顶BAC时需要加固，计划焊接三根钢条AD，DE，FG．在如图所示的△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC于点D，点E，F，G分别是AB，BD，AC上的点，连接DE，GF，交于点H，GF与AD交于点M，当H为FM的中点，BF∶CF=1∶5，AG：AE=5：7时，△AGM的面积为___________．

16．设计师工作台灯的主要构件是上下两条旋转臂和一盏条形灯．设计师工作时，常常通过转动旋转臂和灯来调节光源的位置，获得需要的光照效果图，设计师两次调节中，他先转动下旋转臂，使点到桌面的距高，然后转动上旋转臂和灯，使与桌面平行，且．调好后他感觉光照效果不佳，于是再转动上旋转臂和灯，使得上旋转臂，同时灯．若已知上旋转臂，第二次调整后灯向右移动的水平距离，则第二次调整结束后灯距高桌面的高度______________．

三、解答题（本题共8小题，共80分，无特定要求的解答时需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（本题8分）如图，已知二次函数G1：y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-1，0）和（0，3），对称轴为直线x=1．

（1）二次函数G1的解析式为_____________；
（2）当-1＜x＜2时，函数G1中y的取值范围____________；
（3）将G1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新二次函数G2，则函数G2的解析式是______________．
（4）当直线y=n与G1、G2的图象共有4个公共点时，直接写出n的取值范围_________________．
18．（本题10分）已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BC=AO，点D为BC的中点，

（1）如图，连接AC、OD，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD；
（2）如图，当点B为的中点时，求点A、D之间的距离．
（第18题）
（第19题）
（3）如果AD的延长线与圆O交于点E，以O为圆心，AD为半径的圆与以BC为直径的圆有且只有一个交点，求弦AE的长．
19．（本题6分）已知如图，E、F分别在四边形ABCD边AB、BC上，在CD上求作一点P，使∠EPF=∠BEF．（不写作法，保留作图痕迹）

（第20题（3））
20．（本题10分）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．

（1）问题：方程的解是：，______，_______；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．
21．（本题10分）（1）把长为的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．
（2）据统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125．48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率．
22．（本题10分）二次函数（，m为常数）图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．
（1）当，求图象G的最低点坐标；
（2）平面内有点．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行． ①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；
②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围．
23．（本题12分）某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元， 分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道销售．线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品， 可全部售完； 超过400 件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完。线上旗舰店的产品售价y （元）与月销量x （件）满足关系： y=-18x+230 （销售利润 = 销售收入-成本）
（1）分别用含a，b的代数式表示：
①线下直营店的月销量为a件． 若0⩽a⩽400， 这a件产品的销售利润为_________元； 若400 ②线上旗舰店的月销量为b件， 这b件产品的销售利润为_________元．
（2）假设800件产品每月都能售出．
①若平均分配给两个渠道进行销售， 求这800件产品的销售总利润．
②请设计一种与①不同的分配方案， 根据方案评价表， 确定方案类型并填表． （不同方案得分不同，具体见表）
线下直营店分配数量
线上旗舰店分配数量
你的方案类型 （填优秀、良好 或合格）
____________件
______________件
________________________________．
方案评价表（利润单位： 元）

优秀方案
月总利润 >46190
4 分

良好方案
44000< 月总利润 ⩽46190
2 分

合格方案
40000< 月总利润 ⩽44000
1 分

24．（本题14分）四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．
（1）如图1，四边形ABCD中，∠DAB=100°，∠DCB=130°，对角线AC平分∠DAB，求证：AC是四边形ABCD的相似对角线；
（2）如图2，直线分别与x，y轴相交于A，B两点，P为反比例函数（k＜0）上的点，若AO是四边形ABOP的相似对角线，求反比例函数的解析式；
（3）如图3，AC是四边形ABCD的相似对角线，点C的坐标为（3，1），AC∥x轴，∠BCA=∠DCA=30°，连接BD，△BCD的面积为．过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于E，F两点，记|m|=AC+1，若直线y=mx与抛物线恰好有3个交点，求实数a的值．
温州市2022学年第一学期九年级学业水平第一次检测
数学试题参考答案
2022．9（课改班卷）
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，选择正确才给分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
D
A
D
C
A
A
C
B
A
解析:3．位似中心是由位似图形的对应项点的连线的交点是解答本题的关键．
4．若二次函数y=x-m2-m与正方形OABC有交点,则共有以下四种情况:当m≤0时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有m≤0m2-m≤2，解得：-1≤m<0；当00，解得：12时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有m>2m2-m≥02-m2-m≤2，解得：2 5．作FG⊥AC，FH⊥CB，垂足分别为G、H，然后证明△DFG≌△EFH，得到DF=EF，再利用勾股定理，即可求出DE的长度．
6．延长AE交BD于点F，根据平行四边形的性质可得AE∥CD，可得∠AFB=∠BDC=90°，可以证明△AFB≌△DFE，可得∠AEB=135°，点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点E′，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得，CE′即为CE的最小值，利用勾股定理可得CM的值，得CE
的最小值．

7．连接BF、ME、BE，设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，CM=c，通过推理得出a、b、c之间的数量关系b=a-cb2=ac，S1S2+S3=a2b2+ac=a2ac+ac=a2c=3+54,8．正确的结论有①②④，共3个。
9．作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点。

10．过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，过点E作KL⊥AD于点K，交BC于点L．m＋n=3＋1.5=4.5
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11． 21 12．112 3 13． 75 25+255
14．① ②3 15． 16．
析：13．当水面恰好经过圆心时，设OD=xcm，则OC=OA=OF=80-xcm，利用勾股定理解RtΔODA求出x=30，进而求出OC=OA=OF=80-30=50cm，根据平行线分线段成比例得OCCD=OEAD，求出OE，即可求出水面宽度；作FM⊥AC于点M，DH∥AC交FM于点H，交EF于点G，利用平行四边形的性质及相似三角形对应边成比例的性质将所求线段进行转化，可得EF=EG+GF=AD+GF=AD+52HF,
结合圆的性质可知，当MF经过圆心O时，HF取得取大值，由此可解．

15．过点G作GN∥BC交AD于点N，利用已知条件易证NG∥BC，NG⊥AD，∠B=∠C，∠EAD=∠MAG，同时可求出BD，DC的长，利用勾股定理求出AD的长，结合已知求出BF，CF的长；利用直角三角形的性质，可证得DH=HF=MH，∠ADE=∠FMD=∠AMG，由此可证△BDE∽△CFG，△ADE∽△AMG，利用相似三角形的性质，可求出AM的长及BE与CG的比值；设AG=5m，则AE=7m，用含m的代数式表示出BE，AE的长，由此建立关于m的方程，解方程求出m的值；然后证明△ANG∽△ADC，利用相似三角形的性质求出NG的长，再利用三角形的面积公式求出△AMG的面积．
16．过点D作DM⊥CH于点M，过点作于点N，由题意易得，然后根据余角的性质可得，进而可证，设，则有，根据勾股定理建立方程求解x即可求解问题．

三、解答题（本题共8小题，共80分，无特定要求的解答时需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（1）二次函数G1的解析式为y=-x2+2x+3；（2）0＜y≤4；（3）y=-（x-4）2+2；（4）n的取值范围为或．
18．（1）如图1：连接OB、OC．
∴
∴
∴

（2）如图2：连接OB、OC、OD．
△OBC是等边三角形
∵OB=2，∴


（3）①如图3．圆O与圆D相内切时：连接OB、OC，过O点作OF⊥AE∵BC是直径，D是BC的中点，圆D的半径为1∴设AF=x

即
解得：
∴

②如图4．圆O与圆D相外切时：
连接OB、OC，过O点作OF⊥AE
∵BC是直径，D是BC的中点
∴以BC为直径的圆的圆心为D点
由（2）可得：
即
解得：
∴

19．
20．（1）


∴或或故答案为：-3，；（2）
方程的两边平方，得2x+3=x2，即x2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0，∴x-3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=-1，当x=-1时，，
所以-1不是原方程的解．
所以方程的解是x=3；
（3）因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A=∠D=90°，AB=CD=8m，
设AP=xm，则PD=（21-x）m，
因为BP+CP=27，
，，

整理，得
两边平方并整理，得
解得或6（不合题意，舍去此时AP 21．（1）
解 设其中两条线段的长为，则第3条线段的长为，于是的取值范围是
①
要使3条线段构成一个三角形的3条边，其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度之和．这等价于每条线段的长
度都小于，即
②
将视为坐标系的坐标，
而满足条件②的点在以为顶点的内，故所求概率为

答：3条线段能构成一个三角形的三边的概率为．
21（2）该市汽车拥有量的年平均增长率为20%；设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，根据题意得（108×90%+y）×90%+y≤125．48，解得y≤20．
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过
20万辆．
22．（1） （2）①点A坐标为（0，0）或（1，6）；②∵点A在图象G上，∴图象G与矩形ABCD一定有一个公共点，∵图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，∴只需图象G与矩形ABCD的边再有一个公共点即可；∵点A的横坐标为2m，∴A（2m，6m），当x=−2时，y=4+10m，当4+10m=6m时，m=−1，当m＜−1时，如图所示：

此时图象G在x≤2m时，y随x的增大而减小，
∴矩形与图象G只有一个交点A；
当m=-1时，A点坐标为（-2，-6），此时点AC平行于y轴，不符合题意；当−1＜m≤0时，如图所示：

此时图象G与边AB只有一个交点A，与另外两边只有一个交点，
∴此时图象G与矩形ABCD有两个交点；当经过点时，即当4+10m=2时，，当时，图象G与矩形ABCD有两个交点，如图，

当6m=2时，，当时，2m＞m，如图所示：

，整理得：，∵，
又∵，
∴此时，方程一定有两个不相等的实数解，
∴此时图象G与AB一定还有除A点外的另外一个点，
∴此时图象G与矩形ABCD有三个交点；当时，点的坐标为，此时AC平行于x轴，不符合题意；当时，方程一定也有两个不相等的实数解，
∴图象G与AB一定有除A点外的另外一个点，如图所示：

故为−1＜m≤0或
（1）见解析；（2）或或或；（3）或．
解：（1）如图1，设∠ACD=α，则∠ACB=130°-α，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-50°-（130°-α）=α，
在△ABC和△ACD中，∠B=∠ACD，∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴AC是四边形ABCD的相似对角线；（2）①当∠APO为直角时，
当∠OAP=30°时，
过点P作PH⊥x轴于点H，

设OH=x，则x，HA=3x，则x+3x=4，解得：x=1，故点，故；当∠AOP=30°时，同理可得：；②当∠OAP为直角时，当∠OPA=30°时，点，；当∠AOP=30°时，OA=AO，∠OAP=∠AOB=90°，∠AOP=∠OAB=30°∴△OAP≌△AOB，不符合相似对角线的定义，故舍去；
综上，反比例函数的表达式为：或或；（3）如图3，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH＝60°﹣∠BCD＝30°，

故，则，
△BCD的面积，故CD•BC＝4
而△BAC∽△ACD，故CA2＝BC•CD＝4，故CA＝2，
则点A（1，1），而点C（3，1），
将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：
抛物线的表达式为：y＝ax2﹣4ax+3a+1，
AC＝2，则m＝±3，
故直线的表达式为：y＝±3x，
直线y＝﹣3x与抛物线有两个交点，而直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，
则直线y＝3x与抛物线有一个交点，
联立直线y＝3x于抛物线的表达式并整理得：ax2﹣（4a+3）x+3a+1＝0，
△＝（4a+3）2﹣4a（3a+1）＝0，
解得：或．