吉林省白山市临江市第二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

临江二中2022-2023上学期第一次月考试题

高二数学试题

一、选择题（每题5分，共60分）

1.已知向量与共线，则实数（    ）

A.0 B.1 C.或2 D.或1

2.直线与直线的距离为（    ）

A. B. C. D.

3.在平行六面体中，其中，，，，，则的长为（    ）

A. B. C. D.

4.若向量，，则（    ）

A. B.5 C. D.

5.在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（    ）

A. B. C. D.

6.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（    ）

A. B.4 C. D.10

7.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ）

A. B. C.4 D.6

8.已知直线：的方向向量为，则直线的倾斜角为（    ）

A. B. C. D.

9.已知直线：与直线：，若，则（    ）

A.1 B. C.1或2 D.或

10.已知直线，不论取何值时，恒经过点（    ）

A. B. C. D.不确定

11.下列说法中正确的有（    ）

（1）若两条直线斜率相等，则两直线平行；

（2）若，则；

（3）若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；

（4）若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

12.若直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ）

A. B.3 C.5 D.

二、填空题（每题5分，共20分）

13.已知，两点到直线：的距离相等，则________.

14.在直三棱柱中，若，，，则________.（用，，表示）.

15.过且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有________条.

16.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则斜率的取值范围是________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

求满足下列条件的直线的方程：

（1）经过点，且与直线平行；

（2）经过，且与直线垂直。

18.（本小题满分12分）

已知直线：，试求：

（1）点关于直线的对称点坐标；

（2）直线关于点对称的直线方程.

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，面，，，为的中点.

（1）求证：面；

（2）求异面直线和所成角的大小.

20.（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，为线段的中点.

（1）求点到直线的距离；

（2）求直线到平面的距离.

21.（本小题满分12分）

过点作直线分别交轴，轴正半轴于，两点，为坐标原点.

（Ⅰ）当面积最小时，求直线的方程；

（Ⅱ）当取最小值时，求直线的方程.

22.（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，是的中点，点满足.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

参考答案

1.D

【分析】根据空间共线向量的坐标表示可得，即可求出的值.

【详解】因为、共线，

所以，解得或1.

故选：D

2.D

3.D

【分析】根据空间向量基本定理、加法的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】因为是平行六面体，

所以，，

所以有：，

因此有：

，

因为，，，，，

所以，

所以，

故选：B

4.C

5.A

【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.

6.B

【分析】由，可得直线的方向向量与平面的法向量平行，然后列式计算即可得解.

【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量平行，

所以，解得，.

故选B.

7.C  8.B

9.A

【分析】若，则，从而即可求解

【详解】若，则，从而，即，解之得：.

10.【答案】B

11.A

12.C  因为直线与直线互相垂直，

所以，化简得，

所以，当且仅当时取“=”，所以的最小值为5.

故选：C.

13.或

14.

15.过且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有________条.

解：设直线方程为，则直线与坐标轴的交点为、.

由，可得①，或②.

解①可得，或.解②可得或.

综合可得或，或.

综上，满足条件的直线共有3条.

16.

17.（1）；（2）.

18.解：（1）设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且.

所以解得

即点点的坐标为.

（2）设直线关于点的对称直线为，则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上，反之也成立.

由得

将代入直线的方程得，，

即直线的方程为.

19.（1）如图所示，

连接交于点，连接则是的中点又∵是的中点，∴，∵面，，∴.

（2）建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

∴，∴异面直线和所成角.

20.解：根据题意，设直线的方程为，因为直线过点，从而有.

（Ⅰ）因为，

由基本不等式可得，即，当且仅当，即，等号成立，

此时的面积刚好取得最小值，此时直线的方程为，即

（Ⅱ）因为

当且仅当，即，等号成立.

此时直线的方程为，即.

22.【分析】（1）证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）证明出平面，以为原点，分别以、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.

（1）由题意得，，，在中，由余弦定理可得，∵，则，∵，，平面，∴平面，平面，所以平面平面.

（2）由（1）知平面，∵平面，∴，又，，平面，所以平面，以为原点，分别以、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，

连接，在平行四边形中，由余弦定理可得，在直角三角形中，，于是、、，由得，设平面的法向量，则，取得，，易知平面的一个法向量，则，由图可知，二面角的平面角为钝角，所以，二面角的余弦值为.