还剩26页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
江苏省盐城市东台市第五教育联盟2022-2023学年九年级上学期第一次质检数学试卷（含答案）
展开
这是一份江苏省盐城市东台市第五教育联盟2022-2023学年九年级上学期第一次质检数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省盐城市东台市第五教育联盟九年级（上）第一次质检数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，合计24分）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+＝2 B．3x3＝1 C．2x2﹣x＝1 D．xy＝4
2．（3分）关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠±1 B．m＝1 C．m≠1 D．m≠﹣1
3．（3分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
4．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（ ）
A．（x﹣3）2＝15 B．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝15 D．（x+3）2＝3
5．（3分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
6．（3分）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，合计24分）
9．（3分）一元二次方程x2＝1的解为 ．
10．（3分）⊙O的半径为4，圆心O到直线的距离为3，则直线与⊙O的位置关系是 ．
11．（3分）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
12．（3分）已知x＝1是方程x2+2mx﹣3＝0的一个根，则m＝ ．
13．（3分）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 ．
14．（3分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 厘米．
15．（3分）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 cm．
16．（3分）如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为 ，折痕CD的长为 ．
三、简答题（本大题共11小题，合计102分）
17．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝6；
（2）2x2+3x﹣1＝0；
（3）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）；
（4）x2﹣2x﹣1＝0．
18．（6分）已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：∠A＝∠B．
19．（8分）如图，在⊙O中．
（1）若＝，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数；
（2）若⊙O的半径为13，且BC＝10，求点O到BC的距离．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2m2＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若x＝1是该方程的根，求代数式4m2+2m+5的值．
21．（8分）某花卉中心计划建造如图所示的矩形温室，要求长与宽的比为2：1．在温室前侧墙内保留3m宽的空地，其他三侧墙内各保留1m宽的通道．问：当矩形温室的长为多少时，花卉种植区域的面积恰是242m2？
22．（8分）某商场将某种商品的售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，
（1）若该商场两次调价的百分率相同，求这个百分率．
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多售10件，若该商品原来每月可售500件，求第一次调价后可售多少件？
23．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．
（1）求证：BG与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．
24．（10分）课本再现
（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；
知识应用
（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．
25．（10分）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．
（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？
26．（12分）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB＝AC，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．
问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB＝AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由： ．
27．（12分）已知CH是⊙O的直径，点A、点B是⊙O上的两个点，连接OA，OB，点D，点E分别是半径OA，OB的中点，连接CD，CE，BH，且∠AOC＝2∠CHB．
（1）如图1，求证：∠ODC＝∠OEC；
（2）如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC＝FH；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是一点，连接AG，BG，HG，OF，若AG：BG＝5：3，HG＝2，求OF的长．
2022-2023学年江苏省盐城市东台市第五教育联盟九年级（上）第一次质检数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，合计24分）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+＝2 B．3x3＝1 C．2x2﹣x＝1 D．xy＝4
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠±1 B．m＝1 C．m≠1 D．m≠﹣1
【分析】根据一元二次方程定义可得m+1≠0，再解可得答案．
【解答】解：由题意得：m+1≠0，
解得：m≠﹣1，
故选：D．
3．（3分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求值即可．
【解答】解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，
由根与系数的关系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．
故选：A．
4．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（ ）
A．（x﹣3）2＝15 B．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝15 D．（x+3）2＝3
【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：x2﹣6x＝6，
配方得：x2﹣6x+9＝15，即（x﹣3）2＝15，
故选：A．
5．（3分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：设该快递店揽件日平均增长率为x，
根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，
故选：A．
6．（3分）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【分析】根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：连接BC，
∵∠AOC＝80°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠P＝30°，
∴∠BCD＝10°，
∴的度数20°．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝3，
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴3＜r＜5，
故选：C．
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠B＝25°，由垂径定理得：＝，最后由圆周角定理可得结论．
【解答】解：∵OF⊥BC，
∴∠BFO＝90°，
∵∠BOF＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠B＝50°．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，合计24分）
9．（3分）一元二次方程x2＝1的解为 ±1 ．
【分析】利用直接开平方的方法求出其解就可以了．
【解答】解：直接开平方得：
x＝±1，
故答案为：±1
10．（3分）⊙O的半径为4，圆心O到直线的距离为3，则直线与⊙O的位置关系是 相交 ．
【分析】由⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，利用直线和圆的位置关系：若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离判断即可求得答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，
又∵3＜4，
∴直线l与⊙O的位置关系是：相交．
故答案为：相交．
11．（3分）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 2 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣8m＝0，
解得：m＝2．
∴m＝2．
故答案为：2．
12．（3分）已知x＝1是方程x2+2mx﹣3＝0的一个根，则m＝ 1 ．
【分析】根据一元二次方程的解，把x＝1代入方程x2+2mx﹣3＝0得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入x2+2mx﹣3＝0得1+2m﹣3＝0，解得m＝1．
故答案为：1．
13．（3分）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 cm ．
【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），
所以圆形镜面的半径为cm，
故答案为：cm．
14．（3分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 26 厘米．
【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．
【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，
由题意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
15．（3分）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 cm．
【分析】连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，利用矩形的判定与性质得到BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm，设⊙O的半径为rcm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列出方程即可求解．
【解答】解：连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，如图，
∵长边与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∵AC⊥BC，AD⊥OB，
∴四边形ACBD为矩形，
∴BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm．
设⊙O的半径为rcm，
则OA＝OB＝rcm，
∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣6）cm，
在Rt△OAD中，
∵AD2+OD2＝OA2，
∴82+（r﹣6）2＝r2，
解得：r＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为 60° ，折痕CD的长为 4 ．
【分析】设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H，可得OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，根据切线的性质可证明∠EOF＝60°，则可得的度数；然后根据垂径定理和勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H，
∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，
∵将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．
∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EO′F＝60°，
则的度数为60°；
∵∠AOB＝120°，
∴∠O′OF＝60°，
∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6，
∴OO′＝＝＝4，
∴O′H＝2，
∴CH＝＝＝2，
∴CD＝2CH＝4．
故答案为：60°，4．
三、简答题（本大题共11小题，合计102分）
17．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝6；
（2）2x2+3x﹣1＝0；
（3）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）；
（4）x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝6，
x﹣2＝±，
x﹣2＝或x﹣2＝﹣，
x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）2x2+3x﹣1＝0，
∵Δ＝32﹣4×2×（﹣1）
＝9+8
＝17＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（3）3x（x﹣2）＝2（x﹣2），
3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
x1＝2，x2＝；
（4）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
x1＝1+，x2＝1﹣．
18．（6分）已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：∠A＝∠B．
【分析】首先根据全等三角形的判定方法证明△AOD≌△BOC，由全等三角形的性质即可得到∠A＝∠B．
【解答】证明：∵OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，
∴OA＝OB，OC＝OD．
在△AOD与△BOC中，
∵，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
∴∠A＝∠B．
19．（8分）如图，在⊙O中．
（1）若＝，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数；
（2）若⊙O的半径为13，且BC＝10，求点O到BC的距离．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ABC＝∠ACB＝80°，则利用三角形内角和可计算出∠A＝20°，然后根据圆周角定理可得∠BOC的度数；
（2）作OH⊥BC于H，如图，根据垂径定理得到BH＝CH＝5，然后利用勾股定理计算出OH即可．
【解答】解：（1）∵＝，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°，
∴∠A＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
∴∠BOC＝2∠A＝40°；
（2）作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝5，
在Rt△OBH中，OH＝＝＝12，
即点O到BC的距离为12．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2m2＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若x＝1是该方程的根，求代数式4m2+2m+5的值．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）将x＝代入原方程可求出2m2+m＝1，然后整体代入原式即可求出答案；
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m2
∴b2﹣4ac＝（m）2﹣4×1×（2m2）＝9m2，
∵不论m为何值，m2≥0，即9m2≥0，
∴b2﹣4ac≥0；
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根
（2）因为x＝1是x2﹣mx﹣2m2＝0的根
所以1﹣m﹣2m2＝0，
即2m2+m＝1，
所以4m2+2m+5＝2（2m2+m）+5＝2×1+5＝7；
21．（8分）某花卉中心计划建造如图所示的矩形温室，要求长与宽的比为2：1．在温室前侧墙内保留3m宽的空地，其他三侧墙内各保留1m宽的通道．问：当矩形温室的长为多少时，花卉种植区域的面积恰是242m2？
【分析】设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．
【解答】解：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）＝242，
解得：x1＝﹣9（不合题意，舍去），x2＝13，
所以x＝13，2x＝2×13＝26．
答：当矩形温室的长为26m时，蔬菜种植区域的面积是242m2．
22．（8分）某商场将某种商品的售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，
（1）若该商场两次调价的百分率相同，求这个百分率．
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多售10件，若该商品原来每月可售500件，求第一次调价后可售多少件？
【分析】（1）设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解．
（2）根据第一问的条件求出第一次降价多少，从而求出多售出多少，从而得到答案．
【解答】解：（1）设调价百分率为x，
列方程：40（1﹣x）2＝32.4
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意舍去）．
故每次降价10%．
（2）500+10×40×（0.1÷0.2）＝700 （件）．
第一次调价后可售出700件．
23．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．
（1）求证：BG与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．
【分析】（1）连接BE，根据四边形ABCD是正方形，得到∠BAE＝90°，从而得到BE是圆O的直径，结合∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，证明∠FBG+∠EBF＝90°即可；
（2）连接OA，OF，证明∠FED＝45°，从而证明∠AOF＝90°，利用勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝90°，
∴BE是圆O的直径，
∵∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，
∴∠FBG+∠EBF＝90°，
∴∠OBG＝90°，
故BG是圆O的切线；
（2）如图，连接OA，OF，
∵四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径，
∴∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，
∴∠FED＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵OA＝OF＝1，
∴AF2＝AO2+FO2＝1+1＝2，
∴AF＝，AF＝﹣（舍去）．
24．（10分）课本再现
（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；
知识应用
（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．
【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论；
（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB＝120°，由切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，可得∠OPA＝30°，从而得PA的长．
【解答】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠ACO+2∠BCO＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝2∠ACO﹣2∠BCO＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
（2）如图4，连接OA，OB，OP，
∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝2∠C＝120°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝（180°﹣120°）＝30°，
∵OA＝2，
∴OP＝2OA＝4，
∴PA＝＝2．
25．（10分）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．
（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？
【分析】（1）根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100﹣2（x﹣50）]件，根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）（60﹣40）×[100﹣（60﹣50）×2]＝1600（元）．
答：每天的销售利润为1600元．
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100﹣2（x﹣50）]件，
依题意，得：（x﹣40）[100﹣2（x﹣50）]＝1350，
整理，得：x2﹣140x+4675＝0，
解得：x1＝55，x2＝85（不符合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为55元．
26．（12分）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB＝AC，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．
问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB＝AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由： 垂直平分弦的直线经过圆心 ．
【分析】问题解决：
（1）以B为顶点，以AB为一边，用三角板作∠ABD是直角，∠ABD的另一边与圆交于D，连接AD，BC，AD，BC的交点即是圆心O；
类比迁移：
（2）方法同（1）；
拓展探究：
（3）连接AC，AB，作AC，AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，根据是垂直平分弦的直线经过圆心．
【解答】解：问题解决：
（1）如图：
O即为圆心；
类比迁移：
（2）如图：
O即为所求作的圆心；
拓展探究：
（3）如图：
O即为所求作的圆心，理由是垂直平分弦的直线经过圆心，
故答案为：垂直平分弦的直线经过圆心．
27．（12分）已知CH是⊙O的直径，点A、点B是⊙O上的两个点，连接OA，OB，点D，点E分别是半径OA，OB的中点，连接CD，CE，BH，且∠AOC＝2∠CHB．
（1）如图1，求证：∠ODC＝∠OEC；
（2）如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC＝FH；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是一点，连接AG，BG，HG，OF，若AG：BG＝5：3，HG＝2，求OF的长．
【分析】（1）欲证明∠ODC＝∠OEC，只要证明△ODC≌△OEC（SAS）即可；
（2）证明∠H＝∠OCE＝30°，根据等角对等边可得结论；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△MHG是等边三角形，设AG＝5x，BG＝3x，再证明△HAM≌△HBG（SAS），根据AG＝AM+MG列方程可得x的值，最后再证明BH＝3OF，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵点D，点E分别是半径OA，OB的中点，
∴OD＝OA，OE＝OB，
∵OA＝OB，
∴OE＝OD，
∵∠AOC＝2∠CHB，∠BOC＝2∠CHB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△OCD≌△OCE（SAS），
∴∠ODC＝∠OEC；
（2）证明：∵CD⊥OA，
∴∠CDO＝90°，
由（1）知：∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴sin∠OCE＝＝，
∴∠OCE＝30°，
∴∠COE＝60°，
∵∠H＝∠COE＝30°，
∴∠H＝∠OCE，
∴FC＝FH；
（3）解：∵CO＝OH，FC＝FH，
∴FO⊥CH，
∴∠FOH＝90°，
如图，连接AH，
∵∠AOC＝∠BOC＝60°，
∴∠AOH＝∠BOH＝120°，
∴AH＝BH，∠AGH＝60°，
∵AG：BG＝5：3，
∴设AG＝5x，BG＝3x，
在AG上取点M，使得AM＝BG，连接MH，过点H作HN⊥CM于N，
∵∠HAM＝∠HBG，
∴△HAM≌△HBG（SAS），
∴MH＝GH，
∴△MHG是等边三角形，
∴MG＝HG＝2，
∵AG＝AM+MG，
∴5x＝3x+2，
∴x＝1，
∴AG＝5，BG＝AM＝3，
∴MN＝GM＝×2＝1，HN＝，
∴AN＝MN+AM＝4，
∴HB＝HA＝＝＝，
∵∠FOH＝90°，∠OHF＝30°，
∴∠OFH＝60°，
∵OB＝OH，
∴∠BHO＝∠OBH＝30°，
∴∠FOB＝∠OBF＝30°，
∴OF＝BF，
在Rt△OFH中，∠OHF＝30°，
∴HF＝2OF，
∴HB＝BF+HF＝3OF＝，
∴OF＝．
2022-2023学年江苏省盐城市东台市第五教育联盟九年级（上）第一次质检数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，合计24分）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+＝2 B．3x3＝1 C．2x2﹣x＝1 D．xy＝4
2．（3分）关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠±1 B．m＝1 C．m≠1 D．m≠﹣1
3．（3分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
4．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（ ）
A．（x﹣3）2＝15 B．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝15 D．（x+3）2＝3
5．（3分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
6．（3分）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，合计24分）
9．（3分）一元二次方程x2＝1的解为 ．
10．（3分）⊙O的半径为4，圆心O到直线的距离为3，则直线与⊙O的位置关系是 ．
11．（3分）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
12．（3分）已知x＝1是方程x2+2mx﹣3＝0的一个根，则m＝ ．
13．（3分）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 ．
14．（3分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 厘米．
15．（3分）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 cm．
16．（3分）如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为 ，折痕CD的长为 ．
三、简答题（本大题共11小题，合计102分）
17．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝6；
（2）2x2+3x﹣1＝0；
（3）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）；
（4）x2﹣2x﹣1＝0．
18．（6分）已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：∠A＝∠B．
19．（8分）如图，在⊙O中．
（1）若＝，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数；
（2）若⊙O的半径为13，且BC＝10，求点O到BC的距离．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2m2＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若x＝1是该方程的根，求代数式4m2+2m+5的值．
21．（8分）某花卉中心计划建造如图所示的矩形温室，要求长与宽的比为2：1．在温室前侧墙内保留3m宽的空地，其他三侧墙内各保留1m宽的通道．问：当矩形温室的长为多少时，花卉种植区域的面积恰是242m2？
22．（8分）某商场将某种商品的售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，
（1）若该商场两次调价的百分率相同，求这个百分率．
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多售10件，若该商品原来每月可售500件，求第一次调价后可售多少件？
23．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．
（1）求证：BG与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．
24．（10分）课本再现
（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；
知识应用
（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．
25．（10分）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．
（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？
26．（12分）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB＝AC，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．
问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB＝AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由： ．
27．（12分）已知CH是⊙O的直径，点A、点B是⊙O上的两个点，连接OA，OB，点D，点E分别是半径OA，OB的中点，连接CD，CE，BH，且∠AOC＝2∠CHB．
（1）如图1，求证：∠ODC＝∠OEC；
（2）如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC＝FH；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是一点，连接AG，BG，HG，OF，若AG：BG＝5：3，HG＝2，求OF的长．
2022-2023学年江苏省盐城市东台市第五教育联盟九年级（上）第一次质检数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，合计24分）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+＝2 B．3x3＝1 C．2x2﹣x＝1 D．xy＝4
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠±1 B．m＝1 C．m≠1 D．m≠﹣1
【分析】根据一元二次方程定义可得m+1≠0，再解可得答案．
【解答】解：由题意得：m+1≠0，
解得：m≠﹣1，
故选：D．
3．（3分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求值即可．
【解答】解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，
由根与系数的关系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．
故选：A．
4．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（ ）
A．（x﹣3）2＝15 B．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝15 D．（x+3）2＝3
【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：x2﹣6x＝6，
配方得：x2﹣6x+9＝15，即（x﹣3）2＝15，
故选：A．
5．（3分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：设该快递店揽件日平均增长率为x，
根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，
故选：A．
6．（3分）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【分析】根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：连接BC，
∵∠AOC＝80°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠P＝30°，
∴∠BCD＝10°，
∴的度数20°．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝3，
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴3＜r＜5，
故选：C．
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠B＝25°，由垂径定理得：＝，最后由圆周角定理可得结论．
【解答】解：∵OF⊥BC，
∴∠BFO＝90°，
∵∠BOF＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠B＝50°．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，合计24分）
9．（3分）一元二次方程x2＝1的解为 ±1 ．
【分析】利用直接开平方的方法求出其解就可以了．
【解答】解：直接开平方得：
x＝±1，
故答案为：±1
10．（3分）⊙O的半径为4，圆心O到直线的距离为3，则直线与⊙O的位置关系是 相交 ．
【分析】由⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，利用直线和圆的位置关系：若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离判断即可求得答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，
又∵3＜4，
∴直线l与⊙O的位置关系是：相交．
故答案为：相交．
11．（3分）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 2 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣8m＝0，
解得：m＝2．
∴m＝2．
故答案为：2．
12．（3分）已知x＝1是方程x2+2mx﹣3＝0的一个根，则m＝ 1 ．
【分析】根据一元二次方程的解，把x＝1代入方程x2+2mx﹣3＝0得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入x2+2mx﹣3＝0得1+2m﹣3＝0，解得m＝1．
故答案为：1．
13．（3分）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 cm ．
【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），
所以圆形镜面的半径为cm，
故答案为：cm．
14．（3分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 26 厘米．
【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．
【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，
由题意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
15．（3分）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 cm．
【分析】连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，利用矩形的判定与性质得到BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm，设⊙O的半径为rcm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列出方程即可求解．
【解答】解：连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，如图，
∵长边与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∵AC⊥BC，AD⊥OB，
∴四边形ACBD为矩形，
∴BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm．
设⊙O的半径为rcm，
则OA＝OB＝rcm，
∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣6）cm，
在Rt△OAD中，
∵AD2+OD2＝OA2，
∴82+（r﹣6）2＝r2，
解得：r＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为 60° ，折痕CD的长为 4 ．
【分析】设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H，可得OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，根据切线的性质可证明∠EOF＝60°，则可得的度数；然后根据垂径定理和勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H，
∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，
∵将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．
∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EO′F＝60°，
则的度数为60°；
∵∠AOB＝120°，
∴∠O′OF＝60°，
∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6，
∴OO′＝＝＝4，
∴O′H＝2，
∴CH＝＝＝2，
∴CD＝2CH＝4．
故答案为：60°，4．
三、简答题（本大题共11小题，合计102分）
17．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝6；
（2）2x2+3x﹣1＝0；
（3）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）；
（4）x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝6，
x﹣2＝±，
x﹣2＝或x﹣2＝﹣，
x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）2x2+3x﹣1＝0，
∵Δ＝32﹣4×2×（﹣1）
＝9+8
＝17＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（3）3x（x﹣2）＝2（x﹣2），
3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
x1＝2，x2＝；
（4）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
x1＝1+，x2＝1﹣．
18．（6分）已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：∠A＝∠B．
【分析】首先根据全等三角形的判定方法证明△AOD≌△BOC，由全等三角形的性质即可得到∠A＝∠B．
【解答】证明：∵OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，
∴OA＝OB，OC＝OD．
在△AOD与△BOC中，
∵，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
∴∠A＝∠B．
19．（8分）如图，在⊙O中．
（1）若＝，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数；
（2）若⊙O的半径为13，且BC＝10，求点O到BC的距离．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ABC＝∠ACB＝80°，则利用三角形内角和可计算出∠A＝20°，然后根据圆周角定理可得∠BOC的度数；
（2）作OH⊥BC于H，如图，根据垂径定理得到BH＝CH＝5，然后利用勾股定理计算出OH即可．
【解答】解：（1）∵＝，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°，
∴∠A＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
∴∠BOC＝2∠A＝40°；
（2）作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝5，
在Rt△OBH中，OH＝＝＝12，
即点O到BC的距离为12．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2m2＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若x＝1是该方程的根，求代数式4m2+2m+5的值．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）将x＝代入原方程可求出2m2+m＝1，然后整体代入原式即可求出答案；
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m2
∴b2﹣4ac＝（m）2﹣4×1×（2m2）＝9m2，
∵不论m为何值，m2≥0，即9m2≥0，
∴b2﹣4ac≥0；
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根
（2）因为x＝1是x2﹣mx﹣2m2＝0的根
所以1﹣m﹣2m2＝0，
即2m2+m＝1，
所以4m2+2m+5＝2（2m2+m）+5＝2×1+5＝7；
21．（8分）某花卉中心计划建造如图所示的矩形温室，要求长与宽的比为2：1．在温室前侧墙内保留3m宽的空地，其他三侧墙内各保留1m宽的通道．问：当矩形温室的长为多少时，花卉种植区域的面积恰是242m2？
【分析】设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．
【解答】解：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）＝242，
解得：x1＝﹣9（不合题意，舍去），x2＝13，
所以x＝13，2x＝2×13＝26．
答：当矩形温室的长为26m时，蔬菜种植区域的面积是242m2．
22．（8分）某商场将某种商品的售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，
（1）若该商场两次调价的百分率相同，求这个百分率．
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多售10件，若该商品原来每月可售500件，求第一次调价后可售多少件？
【分析】（1）设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解．
（2）根据第一问的条件求出第一次降价多少，从而求出多售出多少，从而得到答案．
【解答】解：（1）设调价百分率为x，
列方程：40（1﹣x）2＝32.4
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意舍去）．
故每次降价10%．
（2）500+10×40×（0.1÷0.2）＝700 （件）．
第一次调价后可售出700件．
23．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．
（1）求证：BG与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．
【分析】（1）连接BE，根据四边形ABCD是正方形，得到∠BAE＝90°，从而得到BE是圆O的直径，结合∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，证明∠FBG+∠EBF＝90°即可；
（2）连接OA，OF，证明∠FED＝45°，从而证明∠AOF＝90°，利用勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝90°，
∴BE是圆O的直径，
∵∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，
∴∠FBG+∠EBF＝90°，
∴∠OBG＝90°，
故BG是圆O的切线；
（2）如图，连接OA，OF，
∵四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径，
∴∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，
∴∠FED＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵OA＝OF＝1，
∴AF2＝AO2+FO2＝1+1＝2，
∴AF＝，AF＝﹣（舍去）．
24．（10分）课本再现
（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；
知识应用
（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．
【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论；
（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB＝120°，由切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，可得∠OPA＝30°，从而得PA的长．
【解答】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠ACO+2∠BCO＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝2∠ACO﹣2∠BCO＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
（2）如图4，连接OA，OB，OP，
∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝2∠C＝120°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝（180°﹣120°）＝30°，
∵OA＝2，
∴OP＝2OA＝4，
∴PA＝＝2．
25．（10分）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．
（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？
【分析】（1）根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100﹣2（x﹣50）]件，根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）（60﹣40）×[100﹣（60﹣50）×2]＝1600（元）．
答：每天的销售利润为1600元．
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100﹣2（x﹣50）]件，
依题意，得：（x﹣40）[100﹣2（x﹣50）]＝1350，
整理，得：x2﹣140x+4675＝0，
解得：x1＝55，x2＝85（不符合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为55元．
26．（12分）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB＝AC，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．
问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB＝AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由： 垂直平分弦的直线经过圆心 ．
【分析】问题解决：
（1）以B为顶点，以AB为一边，用三角板作∠ABD是直角，∠ABD的另一边与圆交于D，连接AD，BC，AD，BC的交点即是圆心O；
类比迁移：
（2）方法同（1）；
拓展探究：
（3）连接AC，AB，作AC，AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，根据是垂直平分弦的直线经过圆心．
【解答】解：问题解决：
（1）如图：
O即为圆心；
类比迁移：
（2）如图：
O即为所求作的圆心；
拓展探究：
（3）如图：
O即为所求作的圆心，理由是垂直平分弦的直线经过圆心，
故答案为：垂直平分弦的直线经过圆心．
27．（12分）已知CH是⊙O的直径，点A、点B是⊙O上的两个点，连接OA，OB，点D，点E分别是半径OA，OB的中点，连接CD，CE，BH，且∠AOC＝2∠CHB．
（1）如图1，求证：∠ODC＝∠OEC；
（2）如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC＝FH；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是一点，连接AG，BG，HG，OF，若AG：BG＝5：3，HG＝2，求OF的长．
【分析】（1）欲证明∠ODC＝∠OEC，只要证明△ODC≌△OEC（SAS）即可；
（2）证明∠H＝∠OCE＝30°，根据等角对等边可得结论；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△MHG是等边三角形，设AG＝5x，BG＝3x，再证明△HAM≌△HBG（SAS），根据AG＝AM+MG列方程可得x的值，最后再证明BH＝3OF，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵点D，点E分别是半径OA，OB的中点，
∴OD＝OA，OE＝OB，
∵OA＝OB，
∴OE＝OD，
∵∠AOC＝2∠CHB，∠BOC＝2∠CHB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△OCD≌△OCE（SAS），
∴∠ODC＝∠OEC；
（2）证明：∵CD⊥OA，
∴∠CDO＝90°，
由（1）知：∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴sin∠OCE＝＝，
∴∠OCE＝30°，
∴∠COE＝60°，
∵∠H＝∠COE＝30°，
∴∠H＝∠OCE，
∴FC＝FH；
（3）解：∵CO＝OH，FC＝FH，
∴FO⊥CH，
∴∠FOH＝90°，
如图，连接AH，
∵∠AOC＝∠BOC＝60°，
∴∠AOH＝∠BOH＝120°，
∴AH＝BH，∠AGH＝60°，
∵AG：BG＝5：3，
∴设AG＝5x，BG＝3x，
在AG上取点M，使得AM＝BG，连接MH，过点H作HN⊥CM于N，
∵∠HAM＝∠HBG，
∴△HAM≌△HBG（SAS），
∴MH＝GH，
∴△MHG是等边三角形，
∴MG＝HG＝2，
∵AG＝AM+MG，
∴5x＝3x+2，
∴x＝1，
∴AG＝5，BG＝AM＝3，
∴MN＝GM＝×2＝1，HN＝，
∴AN＝MN+AM＝4，
∴HB＝HA＝＝＝，
∵∠FOH＝90°，∠OHF＝30°，
∴∠OFH＝60°，
∵OB＝OH，
∴∠BHO＝∠OBH＝30°，
∴∠FOB＝∠OBF＝30°，
∴OF＝BF，
在Rt△OFH中，∠OHF＝30°，
∴HF＝2OF，
∴HB＝BF+HF＝3OF＝，
∴OF＝．
相关试卷
2022-2023学年江苏省盐城市东台市第五教育联盟八年级（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年江苏省盐城市东台市第五教育联盟八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省盐城市东台市第五教育联盟七年级（下）第一次质检数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年江苏省盐城市东台市第五教育联盟七年级（下）第一次质检数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省盐城市东台市第二教育联盟九年级（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年江苏省盐城市东台市第二教育联盟九年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
