湖南省邵阳市邵东市第一中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题（含答案）

2022年上学期高三第二次月考数学试卷

考试时间：120分钟总分：150分

一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1.设，那么等于（    ）

A.    B.

C.    D.

2.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

3.“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

4.函数的图像大致是（    ）

A.    B.

C.    D.

5.已知等于（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知等差数列的前项和为，若，且，则（    ）

A.0    B.1    C.2022    D.2023
7.设函数在区间恰有三个极值点､两个零点，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知定义在上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.下列结论中，所有正确的结论有（    ）

A.若，则.

B.若，则

C.当时，

D.若，则

10.已知函数的部分图象如图所示，且经过点，则下列结论中不正确的是（    ）

A.的图象关于点对称

B.的图象关于直线对称

C.为奇函数

D.为偶函数

11.关于函数，下列说法正确的是（    ）

A.若是函数的零点，则是的整数倍

B.函数的图象关于点对称

C.函数的图象与函数的图象相同

D.函数的图象可由的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到.

12.函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（    ）

A.函数的图象关于直线对称

B.若的导函数为，定义域为，则

C.的图象关于点中心对称

D.设数列为等差数列，若，则

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.的值是___________.

14.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为___________.

15.已知的外接圆直径为是的中点，且，则___________.

16.已知函数，当时，，则实数的取值范围是___________.

四､解答题（本题共6题，共10+12+12+12+12+12 = 70分）

17.（10分）网上购物已经成为一种重要的消费方式.某网络公司通过随机问卷调查，得到不同年龄段的网民在网上购物的情况，并从参与的调查者中随机抽取了150人.经统计得到如下表格：

若把年龄大于或等于15而小于35岁的视为青少年，把年龄大于或等于35而小于65岁的视为中年人，把年龄大于或等于65岁的视为老年人，将频率视为概率.

（1）在青少年､中年人､老年人中，哪个群体网上购物的概率最大？

（2）现从某市青少年网民（人数众多）中随机抽取4人，设其中网上购物的人数为，求的分布列及期望.

18.（12分）已知数列的前项和为，若，且.

（1）求数列的通项公式

（2）若数列满足，求数列的前项和为

19.（12分）在中，内角所对的边分别为，且

（1）求；

（2）若，求的值.

20.（12分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面平面

（1）证明；

（2）若为正三角形，求二面角的正弦值.

21.（12分）已知椭圆的离心率为，点，点，点分别为椭圆的右顶点､上顶点和右焦点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与圆相切，若直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.

22.（12分）设

（1）求在上的极值；

（2）若对，都有成立，求实数的取值范围.

2022年高三上第二次月考数学试卷解析答案

1.答案：B

2.答案：C  因为，所以.

3.《优化设计》第5页答案：A

因为，所以，因此

，但，故“"cos”是

“”的充分不必要条件.

4.答案：A  解：由，排除；又，故，排除，选A.

5.答案：C  解析：因为，所以，故选C

6.答案：A  设公差为，则，故；又，故是以为首项，1为公差的等差数列，于是得，所以.选A.

本题也可用基本量法求解，借助等差数列前项和的性质运算更为简洁.

7.答案：C

解析：由，得.根据函数在区间恰有三个极值点，知，得.根据函数在区间恰有两个零点，知，得.综上，的取值范围为.

8.答案：B  由得：.又当时，，故当时，；类推得：当时，，且.如图.由得，解得或，解得或.故若对任意，都有，则.选B.

9.答案：ACD

10.《素能分级练A》第236页

ABC  解析由题意，可得，则，解得.因为，则，所以.由，所以不正确；由，此时函数为非奇非偶函数，所以C不正确；由为偶函数，所以D正确，故选ABC.

11.答案：BC  解析：

画出函数的图象，如图所示，可以得到函数的图象与轴的交点中，相邻的交点距离不等，

且不为，故错误，函数的图象关于点对称，故B正确，函数，故C正确函数的图象可由的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到，故错误.

12.答案：BCD  【解析】由导数的几何意义及的对称性，在和处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故是偶函数，对称轴为，A错：由的对称性，在和处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故为奇函数，又定义域为对；，由为奇函数知为奇函数，图像关于对称，可以看作由按向量平移而得，故对；由C选项知，当时，，由等差数列性质，以此类推倒序相加，D正确.

13.《世纪金榜》

14.《素能分级练第230页第10题

15.  解：因为的外接圆直径为是的中点，且，

且；故；

16.答案：

解：等价于，构造函数，则不等式等价于：，当时，有，所以在上为增函数，又，所以恒成立，即，而，所以，所以的取值范围为.

17.答案：（1）由题表中的数据知，青少年网上购物的概率为，

中年人网上购物的概率为，老年人网上购物的概率为，

因为，所以青少年网上购物的概率最大.

（2）由题意及（1）知，，

故的分布列为

18.（12分）

解：（1）方法一：

由得：

，变形得

①.

又且

②.

由①②知：对任意，恒有，且

数列是首项与公比均为2的等比数列.

方法二：

由变形得：

又，故

数列是以4首项，2为公比的等比数列

，故

当时，

又也适合上式

.

（2）方法一：

由（1）知，

.

两式相减得：.

.

方法二：

由（1）知，.

裂项变形得：

即.

19.（12分）

解：（1）由，可得，

由正弦定理得，即，.

由余弦定理，得，

因为，可得，

（2）由

及得，

又由（1），得

所以，所以，所以.

20.（12分）

【解析】（1）由题意，设，又，得，又，所以，

又平面平面，且平面平面平面，

所以平面，故.

（2）方法一（向量法）：取的中点为坐标原点，以的方向为轴正方向，过点分别作和的平行线，分别为轴和轴，建立如图所示空间直角坐标系，

由为正三角形，，得，.

则，

则，

设为平面的法向量，则有，

即，可取，.

设为平面的法向量，

则有，

即，可取，

所以，

设二面角的平面角为，

则，

故二面角的正弦值为.

21.（12分）

解（1）由已知得椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为

，则.

由已知得，所以，

所以，则.

又，

所以，所以，

所以，所以椭圆的方程为.

（2）圆的圆心坐标为，半径，由直线与圆相切，得，故.

联立得.由题意可知，

所以.

设点，则，

所以

，所以，

所以，

令，则，所以

.

当，即，即时，取得最大值，最大值为.

22.（12分）

（1）解：由

得的单调减区间是

同理，的单调增区间是

故的极小值为，极大值为.

【注：若只用得出结果至多给3分】

（2）解：由对称性，不妨设.

则即为.

设，则在上单调递增，

故，在上恒成立.

【方法一】（含参讨论）

设，

则，解得.

.

①当时，，

故当时，递增；

当时，递减；

此时，在上单调递增，故，符合条件.

②当时，同①当时，递增；当时，递减；

，

由连续函数零点存在性定理及单调性知，.

于是，当时，单调递增；

当时，单调递减.

，

，符合条件..

综上，实数的取值范围是.

【方法二】（必要性探路法）设，

则，解得.

由于时，

故只需证：.

设，

则.

设，

则.

当时，单调递增；

当时，单调递减；

.

由单调性知，当时，单调递增；当时，

单调递减..

，得证.

综上所述，实数的取值范围是.