江苏省启东中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份江苏省启东中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年度江苏省启东中学高三第一学期第一次月考 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   已知集合，，若，则(    )A.  B.  C.  D.    若，设，则(    )A.  B.  C.  D.    牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间单位：，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度，假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要，则的值为(    )A.   B.   C.  D.    已知平面和平面不重合，直线和不重合，则的一个充分条件是(    )A. ，且 B. ，且，
C. ，且 D. ，且   设是定义在实数集上的函数，且满足，，则是(    )A. 奇函数，又是周期函数 B. 奇函数，但不是周期函数
C. 偶函数，又是周期函数 D. 偶函数，但不是周期函数   若，则的值为(    )A.  B.  C.  D.    在中，，为的平分线，，则(    )A.  B.  C.  D.    已知，，，则(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）   函数的图象如图所示，则(    )
A.  B.
C. 对任意的都有 D. 在区间上的零点之和为已知，是边的三等分点，点在线段上，若，则的值可以是(    )A.  B.  C.  D. 公比为的等比数列，其前项和为，前项积为，满足，，则下列结论正确的是(    )A.  B.
C. 的最大值为 D. 的最大值为已知定义域为的函数的图象连续不断，且，，当时，，若，则实数的取值可以为(    )A.  B.  C.  D.  三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知数列满足，，则数列的通项公式为          ．如图，的外接圆的圆心为，，，，则          ．
 三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的表面积          ．不等式的解集中只存在两个整数，则正数的取值范围是          ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分已知函数，若在处的切线斜率为，求的值若在处取得极值，求在上的最大值．本小题分如图所示，在梯形中，，，点是上的一点，，．求的大小；若的面积为，求．本小题分
如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面，，点在上，且平面．

求的值
求二面角的正弦值．本小题分已知各项都为正数的数列的前项和为，且对任意的，都有其中，且为常数，记数列的前项和为求数列的通项公式及当时，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前项，记的前项和为，若存在，使得对任意，总有恒成立，求实数的取值范围本小题分
已知椭圆的离心率为，点，，分别为的上，左，右顶点，且．
求的标准方程；
点为线段上异于端点的动点，过点作与直线平行的直线交于点，，求的最大值．本小题分
已知函数．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ证明：当时，．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本题考查由集合的交集求参数，属于基础题．
由题干得，将代入求，从而求集合．【解答】解：因为，所以，
把代入得，
所以，
故选C．
   2.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查复数的模，考查共轭复数，考查复数的四则运算，属于基础题．
先求，再求即可．【解答】解：因为，
所以，
所以，
故选B．  3.【答案】 【解析】【分析】本题考查指数函数的实际应用，考查对数的运算，属于基础题．
根据冷却模型公式可以将数据代入直接计算即可．【解答】解：由题意，把，，，代入中，
可得，
解得．
故选：．  4.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行垂直的位置关系是解决本题的关键，属于基础题．
根据空间直线和平面平行、垂直的判定定理以及性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：：当，且时，则与相交或，A错误，
：当，且，时，则与相交或，B错误，
：当且时，可得，又，则，C正确，
：当，且时，则与相交或，D错误，
故选C．  5.【答案】 【解析】【分析】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
将题中两个等式相结合，运用变量代换的方法可证出，从而得出是周期的周期函数，再根据结合，可证出，从而得到本题的答案．【解答】解：因为，，
所以，
所以，
故，所以周期为，
因为，
所以是奇函数，
故选：．  6.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
方法一：由二倍角公式求得的值，由同角三角函数的基本关系求得的值，结合二倍角公式可得结果．
方法二：由二倍角公式求得的值，再利用，把转化为形式，代入即可求得．【解答】解：方法一： ，，
，即，，
又，即，
且，，，
则．
方法二： ，，
则．
故选：．  7.【答案】 【解析】【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式，属中档题．
设后，用余弦定理求出，再求出，，，接着在中用正弦定理得，则．【解答】解：设，则，
在三角形中由余弦定理得，
，
，
．
在中由正弦定理得，
，
，
．
故选：．  8.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查利用导数判断函数的单调性比较大小，以及利用指数函数的单调性比较大小，属于中档题．
构造函数，求导判断其单调性，进而可判断，由指数函数在定义域内单调递增可得，即可得到答案．【解答】解：设，则，
当时，，
故可得函数在单调递增，
所以，即，
化为，即，
由指数函数在定义域内单调递增，
故，即，
故．
故选：．  9.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查由正弦型部分图象确定解析式，考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
根据三角函数的图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：由图可得，解得，A正确．
，把代入得，
，，B正确．
，当时，，而，
故不满足对任意的都有，C错误．
， ，
则共有个零点，不妨设为、、、，
且，，
两式相加，整理得，
故的所有零点之和为，D错误，
故选：．  10.【答案】 【解析】【分析】本题考查了平面向量的基本定理及其运用以及二次函数的应用，属于中档题．
利用平面向量的基本定理得且，再利用二次函数在闭区间上的最值得结论．【解答】解： 由题意知，，三点共线，则存在实数使，所以，即，又因为，所以，即且．因此，所以当时，取得最大值；当或时，取得最小值．所以的取值范围为．
故选：．  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查等比数列的概念，考查等比数列的性质，属于中档题．
推导出，，可判断；利用等比数列的性质，可判断；由数列为正项递减数列，可判断，由，，可判断．【解答】解：由于，所以，
所以、中一个比大，一个比小，
因为等比数列的公比为，且，
所以，，故，故A正确；
，故，故B错误；
因为，，所以数列为正项递减数列，所以无最大值，故C错误；
由于，，所以为数列中的最大项，故的最大值为，故D正确，
故选AD．  12.【答案】 【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性问题及函数性质，函数的奇偶性，属于较难题．
构造函数 为奇函数，利用导数及奇函数的性质可知，在上单调递减，则 ，解得范围，即可得出结果．【解答】解：依题意， ，
所以 ，
即 为奇函数，
，
当 时， ， 在， 为减函数，
又，
根据奇函数的性质可知，在上单调递减，
因为 ，
即 ，
所以 ，
解得，
故选ABC．  13.【答案】 【解析】【分析】本题考查数列递推式，考查数列的通项，属于基础题．
把变为，得到，和原式相减得到，得到奇数项成等差，偶数项也成等差，公差为，即可得解．【解答】解：把变为，得到，
和原式相减得到，
得到奇数项成等差，偶数项也成等差，公差为，
由得到奇数项，
得到偶数项，
从而．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查向量数量积，属于中档题．
根据向量数量积可得，，即可得到答案．【解答】解：
，   
因为，所以在上的投影为，
所以，
同理，
故．
故答案为．  15.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查立体几何中线面垂直的证明与运用，同时考查锥体外接球的表面积计算，属于中档题．
先证明平面，求出三角形外接圆的半径，进而求出球的半径，再求出球的表面积．【解答】解：由 ，，得．
由点是的中点及，
求得，又，
，得，
又，且，平面，
平面．
球心到底面的距离，
由正弦定理得的外接圆半径，
球的半径为，
球的表面积为．
故答案为：．  16.【答案】 【解析】【分析】本题考查分段函数，函数图象的应用，涉及数形结合和转化的思想，属于中档题．
分别画出与的图象，则只存在两个整数，使得在直线的下方，结合图象即可求出函数的取值范围．【解答】解：

由，可得，
分别画出与的图象，如图所示，
不等式的解集中只存在两个整数，
只存在两个整数，使得在直线的下方
当时，，
当，即时，此时有个整数使得，即或，
结合图象可知不合题意，
再观察图象可得，的取值范围为
故答案为：．  17.【答案】解：因为，则，
因为在处的切线斜率为，所以，
解得或．
因为在处取得极值，即，解得，
所以，令解得，，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
． 【解析】本题考查函数的最值，导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，属于中档题．
利用导数的几何意义，结合切线的斜率，计算得结论；
利用导数研究函数的极值得，从而得，再利用导数研究函数的单调性，从而得最值．
 18.【答案】解：
，
，，则．
设，则，，
，
，，
的面积，
由已知得：，
，由，则，即，
此时，，
在中，由余弦定理得
． 【解析】本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角恒等变换，是中档题．
由余弦定理化简得，可得的大小；
设，则，，代入的面积公式可得，进而得出、，再由余弦定理可得的值．
 19.【答案】解：因为在四棱柱中，底面为正方形，平面，
如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

因为，点在上，
可设，而，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则有，取，得，
因为平面，
所以，即，
解得，所以，．
由平面
可得平面的一个法向量为，而平面的一个法向量，
设二面角的大小为，
则，
所以二面角的正弦值为． 【解析】本题考查线面垂直的应用，考查二面角的余弦值的求法，属于中档题．
以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，结合平面，即可求解．
求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即能求出二面角的正弦值．
 20.【答案】解：当时，，，，解得．
当时，由，，
可得，化为，
，都有，
，
数列是等差数列，
，
，
，
即，．
当时，，，，，，
只有，，成等比数列，数列的首项，公比，
．
．
是关于的单调递增数列，．
又的最小值为．
存在，使对任意，总有恒成立，
． 【解析】本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式和前项和公式、“裂项求和”、数列的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
利用递推式及当时，可得，再利用等差数列的通项公式和前项和公式可得、，再利用“裂项求和”可得．
当时，，可得，，，，只有，，成等比数列，利用等比数列的通项公式和前项和公式可得、再利用及的单调性即可．
 21.【答案】解：由题意得：，解得，
又因为，所以，
则，
所求的标准方程为；
可得，，，
则，直线的方程为：，
设直线的方程为，
联立方程组，整理可得，即，
由直线与线段有公共点，得，
联立方程组，解得点的坐标为，
设，，由知，
又，
所以，
代入，得，
所以当时，有最大值． 【解析】本题考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于较难题．
利用已知建立等式关系，求出，，，从而可以求解；
由得出，，三点坐标，由此设直线的方程，并联立直线的方程与椭圆，利用有公共点求出的取值范围，然后再联立直线与直线的方程，得出点的坐标，设出点，的坐标，利用几何关系以及根与系数的关系求出，根据二次函数的性质即可求解．
 22.【答案】解：Ⅰ由题意得，
设，则，
当时，；当时，，单调递增，
又因为，所以当时，，即，
当时，，即，
因此在上单调递减，在上单调递增．
Ⅱ证明：要证，即证，即证，
令，待证不等式转化为，
设则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，原命题得证． 【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，进而研究不等式恒成立问题的思路，属于中档题．
Ⅰ求出导数，然后研究导数的符号，此题需要利用导数的单调性和零点确定导数的符号，从而确定原函数的单调性；
Ⅱ问题即为不等式恒成立问题，然后转化为利用导数研究函数的单调性，进而求出最小值即可得证．